高雄市明誠中學 高二(下)平時測驗 日期：95.02.20 班級 普二 班
範
圍 1-1拋物線
座號
姓 名 一、選擇題(每題10分)
1. 右圖為f (x) = ax2 + bx + c之函數圖形，其中a，b，c為已知實數，
若AO=OB，則下列何者正確？
(A) b > 0，ac < 0 (B) b < 0，ac < 0 (C) b = 0，ac > 0 (D) b = 0，ac < 0 (E) b = 0，ac = 0
【解答】(D)
【詳解】
(1)軸x = − a b
2 = 0 ⇒ b = 0
(2)設A(α，0)，B(β，0)，αβ < 0，則ax2 + bx + c = 0二根為α，β 由根與係數關係知αβ =
a
c ∵ αβ < 0 ∴ a
c< 0 ac < 0
⇒
2. (複選)拋物線y2 − 4x − 2y − 7 = 0，下列何者正確？
(A)開口向上 (B)頂點(−2，1) (C)正焦弦長 = 4 (D)焦點F(2，1) (E)準線ρ：x + 3 = 0
【解答】(B)(C)(E)
【詳解】
y2 − 4x − 2y − 7 = 0 ⇒ (y − 1)2 = 4× ×1 (x + 2)⇒拋物線開口向右，
頂點V(− 2，1)，c = 1，焦點F(− 1，1)，準線ρ：x = − 3，正焦弦長 = 4c = 4
二、填充題(每題10分)
1. 拋物線Γ 對稱於x − 1 = 0且過二點(2，3)，(− 1，6)，則Γ 的方程式為 。
【解答】(x − 1)2 = y − 2
【詳解】對稱軸x − 1 = 0，設頂點( 1,k )，Γ：(x − 1)2 =4 (c y k− )，
( 2，3 )，( − 1，6 )代入⇒ 1 4 (3 ) ，二是相除⇒4c = 1，k = 2，故(x − 1)
4 4 (6 )
c k
c k
= −
⎧⎨ = −
⎩
2 = y − 2
2. 準線是直線x = − 5，焦點在F(3，0)的拋物線方程式為 。
【解答】y2 = 16(x + 1)
【詳解】
準線x = − 5，焦點F(3，0)，則對稱軸y = 0，頂點(
2 3 5+
− ，0) = ( − 1，0) c = 4，開口向右 ∴ 拋物線方程式為y2 = 16(x + 1)
3. 有一拋物線的方程式為y2 + 12x − 4y + 16 = 0，則焦點坐標為 。
【解答】( − 4，2)
第 1 頁
【詳解】
∵ (y − 2)2 = − 12(x + 1) ∴ 為開口向左的拋物線，頂點 V( − 1，2)，c = − 3 焦點為( − 1 − 3，2) = ( − 4，2)
⇒
4. 頂點A(1，1)，焦點F(2，3)的拋物線其準線方程式為 ，正焦弦長為 。
【解答】x + 2y = − 2，4 5
【詳解】
頂點A(1，1)，焦點F(2，3)，則對稱軸為過A，F之直線：
1 1
−
− x y =
1 2
1 3
−
− ⇒2x − y = 1 設準線方程式為x + 2y = k，若對稱軸與準線交於B(a，b)，則頂點A(1，1)為F(2，3)與 B(a，b)之中點，∴ (a，b) = (0，− 1)代入準線方程式x + 2y = k⇒0 − 2 = k k = − 2
∴ 準線方程式：x + 2y = − 2，正焦弦長 = 4
⇒ c = 4AF= 4 12 +22 = 4 5
5. 方程式 (x−3)2 +(y−1)2 =
2 +2
−y
x 所表示之圖形為拋物線，其頂點為 ，對
稱軸的方程式為 。
第 2 頁
【解答】(2，2)，x + y − 4 = 0
【詳解】
2
2 ( 1)
) 3
(x− + y− 表動點(x，y)與定點(3，1)的距離
2 +2
−y
x 表動點(x，y)與定直線x − y + 2 = 0的距離
由拋物線定義知，焦點F(3，1)，準線L：x − y + 2 = 0
設軸方程式M為x + y + k = 0，將焦點F(3，1)代入 ⇒ k = − 4
∴ M：x + y − 4 = 0，B點坐標為 之解 B (1，3)
∴ 頂點A坐標為
⎩⎨
⎧
=
− +
= +
−
0 4
0 2 y x
y
x ⇒
BF之中點 A (2，2)
⇒ 6. 根據下列條件，求出拋物線之方程式。
(1)焦點(2，1)，準線平行於y軸，正焦弦長為8： 。
(2)頂點(0，0)，焦點在直線x − y = 2上，對稱軸為y軸： 。
【解答】(1) (y − 1)2 = 8x或(y − 1)2 = − 8(x − 4) (2) y = − 8x2
【詳解】
(1)焦點F(2，1)，準線平行於y軸 ⇒ 軸的方程式為y = 1（軸垂直y軸）
4 | c | = 8 4c = ± 8 c = ± 2
c c = 2時，拋物線開口向右，頂點在焦點F(2，1)的左方
頂點坐標為(0，1)，拋物線方程式為(y − 1)
⇒ ⇒
2 = 8x
d c = − 2時，拋物線開口向左，頂點在焦點F (2，1)的右方，
頂點坐標為(4，1)， 拋物線方程式為(y − 1)2 = − 8(x − 4)
(2)焦點在直線x − y = 2上，也在對稱軸x = 0上，焦點坐標為F(0，− 2)
頂點A(0，0) ∴ | c | =AF= 2，又拋物線開口向下⇒c = − 2，故線方程式為y = − 8x2
7. 求拋物線y2 = 6x的頂點坐標 ，焦點坐標 ，準線方程式 ， 正焦弦長 。
2
3)，y = − 2 3，6
【解答】(0，0)，(0，
【詳解】
拋物線( 0)2 4 6 ( 0)
y− = × × − ⇒4 x 頂點(0，0)，軸y = 0， c = 2 3
∵ 拋物線開口向上，焦點在頂點(0，0)的上方坐標為(0，
2 3)，
準線在頂點(0，0)的下方，準線方程式為y = −
2
3且正焦弦長 = 4c = 6
8. 焦點為(1，− 1)，準線垂直於y軸，正焦弦長為8之拋物線方程式為 。
【解答】(x − 1)2 = − 8(y − 1)或(x − 1)2 = 8(y + 3)
【詳解】
正焦弦長 = 4 | c | = 8 c = ± 2
∴ c = − 2時，頂點V(1，1)，c = 2時，頂點V(1，− 3)
∴ (x − 1)
⇒
2 = − 8(y − 1)或(x − 1)2 = 8(y + 3)即為所求
9. 拋物線Γ 過(1，1)，(3，2)，(3，−1)三點且對稱軸平行x軸，則 (1) Γ 之方程式為 。 (2) Γ 之焦點為 。
【解答】(1) x = y2 − y + 1 (2) (1，
2 1)
【詳解】
設拋物線Γ：x = ay2 + by + c，將(1，1)，(3，2)，(3，− 1)代入
∴ a = 1，b = − 1，c = 1
∴ x = y
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= +
−
=
= +
⎪ ⇒
⎩
⎪⎨
⎧
+
−
=
+ +
=
+ +
=
5 4
1 2 3
2 4 3 1
c a b
c a c
b a
c b a
c b a
⇒
2 − y + 1 ⇒ (y − 2
1)2 = x − 4
3 ∴ 頂點V(
4 3，
2
1)，故焦點F(1，
2 1)
第 3 頁
10.設拋物線Γ 的焦點為F(1，1)，準線為L：x + y + 2 = 0，則Γ 的方程式為 。
【解答】x2 − 2xy + y2 − 8x − 8y = 0
【詳解】焦點F(1，1)，準線L：x + y + 2 = 0的拋物線上的點P(x，y) 則PF= d(P，L)，即 (x−1)2 +(y−1)2 =
2
| 2
|x+y+
平方之，即2(x2 − 2x + 1 + y2 − 2y + 1) = x2 + y2 + 4 + 2xy + 4x + 4y 得x2 − 2xy + y2 − 8x − 8y = 0
第 4 頁
11.已知A(5，− 3)，B(− 1，− 3)為平面上兩點，則以A為頂點，B為 焦點的拋物線方程式為 ，而以AB為正焦弦，開口朝 下的拋物線方程式為 。
【解答】(y + 3)2 = − 24(x − 5)；(x − 2)2 = − 6(y + 2 3)
【詳解】
(1)拋物線Γ 以A(5，− 3)為頂點，B(− 1，− 3)為焦點如上圖
則c = − 6，Γ 的方程式為(y + 3)2 = 4(− 6)(x − 5)，即(y + 3)2 = − 24(x − 5) (2)以AB為正焦弦的拋物線，焦點為AB的中點(2，− 3)，且開口朝下 c =
2
−3，頂點(2，− 3 + 2
3) = (2，
2
−3 ) 拋物線方程式為(x − 2)2 = 4(
2
−3)(y + 2
3)，即(x − 2)2 = − 6(y + 2 3)
12.設A(1，− 4)，B(5，2)，點C在曲線y = x2上，欲使△ABC的面積最小，則C點坐標為
。
【解答】(
4 3，
16 9 )
【詳解】
點C在y = x2上，設C(a，a2)，又A(1，− 4)，B(5，2) 則△ABC的面積=
2 1|
4 2
4
1 5
1
2 −
− a
a | =
2
1| 2 + 20+ 5a2 − 2a − 4a − a2 | =
2
1| 4a2 − 6a + 22 | = | 2(a − 4 3)2 +
8 79|
∴ 當a = 4
3時，面積最小值為 8
79，此時C(
4 3，
16 9 )
13.一拋物線的頂點在y軸上，軸為y = 2，而焦點在x + 2y = 7上，則此拋物線的方程式為
。
【解答】(y − 2)2 = 12x
【詳解】拋物線的軸y = 2，頂點在y軸上 ⇒ 頂點(0，2)，設拋物線方程式(y − 2)2 = kx 則焦點為(
4
k ，2)，又焦點在x + 2y = 7上 ⇒ k = 12，故(y − 2)2 = 12x為所求
