106.06.03 範圍4-1 拋物線(B) 4-2 橢圓(A) 班級二年____班 - 明誠

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗       日期：106.06.03  範 

圍 

4‐1拋物線(B)  4‐2橢圓   (A)   

班級 二年____班 姓 名

  座號  

一、填充題(每題10分)

1. 拋物線y² 4x上與直線x  y 5 0距離最短的點坐標為________.

答案： (1, 2) 解析： 設點( , 2 )t² t

2 2

2 5 ( 1) 4

2 2

t t t

d    

   ， 當t 1有min此點為(1, 2)

2. 若拋物線與x²4y6x 5 0共軸且共焦點又過P(5, 6)，則此拋物線方程式為________.

答案： (x3)² 8(y2)或(x3)²  32(y8) 解析： x²6x4y5

2 6 9 4 4

x x y

     (x 3)2 4(y 1)

   

( 3, 1)

V   軸：x 3

4c4 c 1F( 3, 0)

設此新拋物線之焦距為c頂點V( 3, 0 c) 設：(x3)² 4 (c yc),P(5, 6)代入

(5 3)2 4c c( 6)

    

2 6 16 0

c c

    (c 8)(c 2) 0

      c 2, 8

：(x3)² 8(y2) 或 (x3)²  32(y8)

3. 設圓C x: ²y² 4，及直線x 6 0，若P點到圓C的切線段長等於到L的距離，求此點P之 軌跡方程式為________.

答案： y² 12x40

解析： 切線段長 ^{2 2} 6

4 1

x y x

     x² y² 4 x² 12x36y² 12x40

4. 拋物線x² 8y上有兩點A x y( ,_{1 1}), ( ,B x y_{2 2})且AB過焦點F，已知AB16，則y₁y₂  . 答案： 12

解析： 頂點在(0, 0)，準線為y 2，焦點為(0, 2)

依定義：AF  y₁2,BF  y₂ 2 AFBF 16 y₁ y₂   4 y₁ y₂ 12

5. 設拋物線焦點為F(2,1)，準線平行y軸，正焦弦長為12，則其方程式為________.

答案： (y1)² 12(x1), (y1)²  12(x5) 解析： 4c 12  c 3

c3 開口向右：頂點V( 1,1)  ：(y1)² 12(x1)

c 3開口向左：頂點V(5,1)  ：(y1)²  12(x5)

6. 錐線2(x3)²2(y3)² (x y 2)²的

(1)正焦弦長____, (2)對稱軸方程式_______________, (3)頂點坐標_____.

答案： (1) 4 2 , (2) x y 0, (3)(2,2)

解析： 2(x3)²2(y3)² (x y 2)^{2 2 2} 2

( 3) ( 3)

2 x y

x y  

    

圖形為以(3,3) 為焦點，為x y 2=0準線的拋物線

做過(3, 3)且與x  y 2 0垂直之直線x y 0即對稱軸 0

( , ) (1,1) 2 0

x y x y x y

  

     

∴頂點(^{3 1 3 1}, ) (2, 2)

2 2

   ，正焦弦長4c 4 (2 1) ²(2 1) ² 4 2

7. 一拋物線之焦距為c，焦點為F，P點在上，且滿足PF3c， 若為PF與對稱軸的夾角，則sin____.

答案： ^{2 2} 3

解析： 設L為的準線；過P對的對稱軸作垂線，H為垂足 又PF d P L( , )

cos 1

3 3

HF c PF c



    , sin ^{2 2}

 3

 

8. 若P Q, 為拋物線y² 4x上兩點，且PQ與x軸交於A點.若P Q, 到準 線的距離分別為9,3且P在第一象限，則A點的x坐標為______.

答案： 4 解析：

設P Q, 之坐標分別為( ,x y_{1 1}), (x y₂, ₂).

∵y² 4x之準線為x 1,

∴ ^{1 1}

2 2

1 9 8

1 3 2

x x

x x

  

 

    

  , ∴P(8, 4 2),Q(2, 2 2) , PQ

之斜率 ^{4 2 2 2} 2

8 2

  

 ,

∴PQ

之方程式為y2 2  2(x2).

當y0,得2 2  2(x2)  x 2 2  x 4.

9. 若c0，已知A( 2, 3) ，拋物線：y² 4cx的焦點F，若AF 5，則c_____.

答案： 2

解析： F c( , 0)

2 2 2

25 ( 2) 3

AF c

      (c 2)² 16

2 4

   c  c 2或6（不合）

10 設P點為拋物線(y2)² 4(x1)上一點. 若P點位於第四象限且與焦 點的距離為10,則P點的坐標為______.

答案： (10, 4)

解析： 拋物線之準線為x0,

設P之坐標為( ,x y_{1 1}),x₁ 0,y₁0.

∵P到準線之距離x₁ 10,

2

(y12) 4(10 1) 36

∴

1 2 6

 y   或6 y1

 4(8不合),故P(10, 4).

11. 若c0，拋物線：y² 4cx的焦點為F，A(0, 2)，若線段AF的中點M 在拋物線上，則M 到 拋物線準線的距離為________.

答案：^{3 2} 4

解析： F c( , 0)，準線L：x c， ( ,1) 2 M c

 在上

1 4 2 2

2 c c c

    ² 1

c 2

  2

c 2

 

( , ) 2 d M L c c

   3 2

2 2

  3 2

 4

12. 設O為原點，F是拋物線：y² 12x的焦點，若P在拋物線上，且FP



與x軸正向的夾角為60，

則OP



________.

答案： 3 21

解析： 4c12 c 3F(3, 0) 又m_PF tan 60  3

PF

：y 3(x3)代入中 3(x3)2 12x  x²10x 9 0

(x 1)(x 9) 0

     x 1, 9   y 2 3, 6 3 (9, 6 3)

P

2 2

9 (6 3) 3 9 12 3 21

OP



13. 設P為拋物線：4yx²上的一動點，F為焦點，則：

(1)FP的最小值為________.

(2)若A(2, 3)，則：APFP的最小值為________.

答案： (1)1 (2)4 解析：

(1)4c   4 c 1 F(0,1)準線L：y 1 當P在拋物線頂點時，PF1為最小 (2)APPF的最小值即d A L( , )  3 1 4

14. 設有一座拋物線形的拱橋，橋下水面在正常水位時寬20公尺，當水位上升3公尺時就達到警 戒線，此時水面寬10公尺. 當水位比正常水位上升1公尺，則此時的水面寬為 公尺.

答案： 10 3

解析： 如圖，建立坐標系，設拱橋最高點(0, 0), (10,A k B), (5, k 3) 設方程式yax²，代入A B,

100 1 1 2

, 4

3 25 25 25

k a

a k y x

k a

  

  

        

當水位比正常水位上升1公尺

1 4 1 3

y       k 代入 ^{1 2} y 25 x

2 25 3, 5 3

x   x ，所以水面寬10 3

15. 某彗星之軌道為一拋物線，而以太陽為焦點，當此星與太陽距離為d時，

兩者連線與軸成60，則：

(1)當兩者連線與軸垂直時，其距離為________. (以d表示)

(2)兩點最接近時，其距離為________.(以d表示)

答案： (1) 2 d (2)

4 d

解析：

(1)設焦距為c，準線L：x c

2 2

d c d

  

4 c d

  (因為與軸成60)

2 2

c d

  （正焦弦之半）

(2)即 4

VF  c d

16. y² 6x有一弦以(2, 3)為中點，求此弦所在之直線方程式________.

答案： x  y 1

解析： 點( ,x y_{1 1})及(x y₂, ₂)皆在拋物線上，且

1 2

1 2

2 2 2 3 x x y y

  

 

 



2

2 2

1 1

1 2 1 2

2

2 2

6 6( )

6

y x

y y x x

y x

 

   

 

∴ 6(y₁y₂)6(x₁x₂)

1 2

1 2

y y 1 x x m

  

∴  ，所求   x y 1

17. 若k為實數，拋物線：y² 4x的焦點為F，且F在直線L：kx  y 2 0上，則k ________.

答案： 2

解析： 4c   4 c 1 F(1, 0)L

0 2 0

   k   k 2

18. 設點P為拋物線y² 4x上的一動點，且點P在y軸上的正射影為點M， 若點 (4, )⁹

A 2 ，則PAPM 的最小值為 .

答案： ^{3 13} 1 2  解析： y²   4 1 x

(1, 0)

F ，準線L x:  1

( , ) 1

PF d P L PM 

所以PM PF1，PA PM PA PF  1 AF 1

當A,P,F成一直線時 3 13

1 1

PAPM  AF  2  最小

19. 已知P為拋物線y² 4x上一點，若P到拋物線的準線的距離為d₁，到直線：3x4y120 的距離為d₂，則d₁d₂的最小值為________.

答案： 3

解析： 4c  4 c 1F(1, 0)，準線L：x 1

1 2

d d d P L( , )d P( , ) PFd P( , ) 有最小值d F( , ) 3 12 9 16

 



15

 5 3

20. 設圓C₁:x²y²8y120及直線L₁:y 2 0，若圓C和圓C₁外切，和直線L₁相切，且圓C的 圓心軌跡為拋物線，則的方程式為 .

答案： x² 16y

解析： C₁:x²(y4)² 4

圓心C₁(0, 4)，半徑2，令L₁:y 2 圓C的圓心C，則CC₁d C L( , ₁) 2 將L₁:y 2下移2單位得L y:  4 則CC₁d C L( , ₁) 2 d C L( , )

C點形成以C₁(0, 4)為焦點L y:  4為準線的拋物線 所以頂點(0, 0)，c4,x²    4 4 y x² 16y

21. 設平面二定點F  ( 1, 3)，F( 1,5) ，動點P滿足PFPF10，則P之軌跡方程式為_________.

答案：

2 2

( 1) ( 1)

9 25 1

x  y 

解析： 2aPFPF10 a 5

2 5 ( 3) 8 4

FF c     c b² 25 16 9 中心M( 1,1) 即FF之中點 ：

2 2

( 1) ( 1)

9 25 1

x  y 

22. 一橢圓之焦點F( 2, 3)  ，長軸一頂點為A( 2, 6) ，短軸長為6，則橢圓方程式為______________.

答案：

2 2

( 2) ( 1)

9 25 1

x  y  解析：

2b  6 b 3



6 ( 3) 9

AF      a c 又a² b²c²   9 (9 a)²

18a 90

    a 5 中心M( 2,1)

：

2 2

( 2) ( 1)

9 25 1

x  y 

 9

AF   a c

又a² b²c²   9 (a 9)² 18a 90

   a 5, 4c  （不合）

23. 若一橢圓的兩焦點坐標分別為( 2, 5), ( 2, 3)   且過點( ¹, 5)

5 ，則此橢圓之標準式為__________.

答案：

2 2

( 1) ( 2)

25 9 1

y x

 

解析： F₁( 2, 5), F₂( 2, 3)  ，中心( 2,1) ，∴c4

2 2 2 2

1 1

2 ( 2) 0 ( 2) 8

5 5

 a        9 81 9 41

64 10

5 25 5 5

      5, 2 25 16 9

a b    ，

2 2

( 1) ( 2)

25 9 1

y  x 

∴

24. 橢圓：2x²y²4x4y 2 0，則：

(1)中心為_________. (2)長軸頂點為______________. (3)焦點為__________.

(4)長軸長為___________. (5)正焦弦長為________.

答案： (1) (1, 2) (2) (1, 0), (1, 4) (3) ( 1, 2   2) (4) 4 (5) 2 解析：

配方

2 2

(2x 4 ) (x  y 4 )y  2

2 2

2(x 2x 1) (y 4y 4) 4

      

2 2

( 1) ( 2)

2 4 1

x y

  

2 2

4, 2

a b

  

2 2

2, 2, 2

a b c a b

     

(1)中心M(1, 2) (2) (1, 0), (1, 4)A A 

(3) ( 1, 2F    2), ( 1, 2F   2) (4)AA 2a4

(5)

2 2 2 2 2 2 b a

  

25. 已知橢圓: (x4)²(y1)²  (x4)²(y1)² 10，試問：

(1)的中心坐標為 ． (2)的長軸頂點坐標為 ． (3)的短軸頂點坐標為 ． 答案： (1)(0,1)(2)( 5,1), (5,1) (3)(0, 2) 解析： 令P( , ),x y F₁ ( 4,1),F₂ (4,1)

原式即PF₁PF₂ 10 (1)中心OF F_{1 2}中點(0,1) (2) 2a10 a 5

∴長軸頂點A ( 5,1),B(5,1) (3)cOF₁   4 b a²c² 3

∴短軸頂點C (0,1 3) (0, 4) (0,1 3) (0, 2)

D   