第三章矩陣§3−1 線性方程組與矩陣

第三章 矩陣

§3 − 1 線性方程組與矩陣

把一群“數字”或代表數字的“文字”排成矩形的陣式 ( 兩旁加括號圍之，視為一 體 ) 就是所謂的矩陣。比如：

⎣⎢

⎢⎡

⎦⎥

⎥⎤ 4 9 2 3 5 7

8 1 6 ， ⎣⎡

⎦⎤ 1 2 0

3 7 13 ， ⎣⎡

⎦⎤ 1 2 3 4

都是矩陣，其他像“對數表”，“時刻表”…也是常見的矩陣。

“矩陣”與“向量”都是處理自然科學現象而發展出的數學工具。

現今光從“資料的列表整理、分析”這個面向來看，矩陣也能與社會科學做緊 密的結合，其應用越來越寬廣。本章將會學到矩陣的一些應用：

1. 應用矩陣解線性方程組。

2. 應用矩陣的運算，解決商業上的一些問題。

3. “二階方陣”可看成平面上的線性變換。

解“線性方程組”是代數學的基本課題，也是高中生應具備的基本功。許多“待 定係數法”的問題，就需要用到解“線性方程組”。例如

(1) 試求通過三點 ( 2，1 )，( 5，10 )，(－3，4 ) 之圓方程式 x²＋y²＋ax＋by＋c＝0。 ( 找出待定係數 a，b，c )

(2) 在高一課程學過插值多項式，我們也可以用“待定係數法”求一個二次函 數 f (x)＝ax²＋bx＋c，使得 f (2)＝1，f (5)＝10，f (－3 )＝4。

在第二章中，剛學過解“三元線性方程組”，所用的方法就是消去法 ( 代入 消去法，加減消去法 )。本節在“消去法”的根基上再引介“多元線性方程組”

的系統解法 ─ 高斯消去法，從而引進矩陣的概念。並透過矩陣的“列運算” 求解“多元線性方程組”。

(甲)矩陣的基本認識 (1)矩陣的基本概念：

M＝

⎣ ⎢

⎢ ⎡

⎦ ⎥

⎥ ⎤

a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

… … … …

am1 am2 … a_mn

← 第1列

← 第2列

…

← 第m列

↑第

n行

…

↑第

2行

↑第

1行

M中每一個元素 aij的“足碼”是“雙足碼”

(左碼「i」表“列數”，右碼「j」表“行數”) 例如：

a12是位在第 1 列，第 2 行的元素，a21是位在第 2 列，第 1 行的元素，

aij是位在第 i 列，第 j 行的元素，

(2)矩陣的基本名詞：

(a)元：矩陣中列出來的每個數稱為矩陣的元(element)。

(b)列：同一水平線各元合稱此矩陣的一列(row)。

(c)行：同一鉛直線各元合稱此矩陣的一行(column)。

(d)位於第 i 列，第 j 行的元稱為(i,j)元。

(e)當一個矩陣 M 有 n 列 m 行時，我們稱 M 為 n×m 階的矩陣。

(f)當一個矩陣 M 有 n列 n 行時，我們稱 M 為 n 階方陣。

例如：A=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

15 13 11 6

3 2 4 5

0 4 2 1

=[aij]3×4，A 是一個 3×4 階的矩陣，a21=5，a32=11。

(3)矩陣的相等：

設 A=[a_ij]_m×n，B=[b_ij]_p×q，若 m=p，n=q，且對於任意 i 與 j 恆有 a_ij=b_ij， 則稱 A和 B相等，以 A=B表示。

(練習1) 已知矩陣 B=[bij]3×4，且每個元 bij=2i−j，求 B=？Ans：

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡ − −

2 3 4 5

0 1 2 3

2 1 0 1

(練習2) 設方陣 ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

+

−

−

d c b a

3 9

1

2 = ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ +

− 19 3

5 6 1

b a

d

c ，試求 a,b,c,d。

Ans；a=2,b=3,c=4,d=5

(乙)高斯消去法與矩陣的列運算

‹ 線性方程組

數個 ( 至少 2 個 ) 方程式聯合在一起稱做方程組。聯立數個一次方程式，叫 做 一 次 方 程 組 又 稱線 性 方 程 組， 在 第 二 章 曾 學 過“三 個 變 數”的 一 次 聯 立 方 程 式，簡稱“三元”線性方程組。如

＜線性方程組＞ ＜幾何意涵＞

(A) ⎩⎪⎨⎪⎧ x－y＋z＝5

2x＋y－3z＝4。 兩平面的“交線”。

(B)

⎩⎪

⎨⎪⎧ x＋2y＋z＝3 3x－y－2z＝1 2x＋5y－3z＝－10

。 三個平面的“交點”。

(C)

⎩⎪ ⎨

⎪⎧

^x－_{4x＋7y－2z＝－}^2y＋z＝7 ₅

3x－5y＋3z＝20 x＋3y－z＝－4

。 四個平面的“交點”。

其中方程組(A)，(C)方程式的個數與變數的個數不相等，當然無法直接引用 克拉瑪公式。

當方程組中方程式的個數很多時，應用“高斯消去法”就很簡便。

‹ 高斯消去法

(1)利用高斯消去法解線性方程組：

以一次方程組

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−

−

= +

−

−

=

− +

9 9 2 3

8 2 3

2

z y x

z y x

z y x

為例來說明，

(1°)為了計算方便起見，將 2x+3y−z=−2與 x−y+z=8 兩式對調，

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−

−

= +

−

−

=

− +

9 9 2 3

8 2 3

2

z y x

z y x

z y x

⎯

⎯

⎯

⎯ →

⎯^{對調前面兩式} (L)：

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−

−

−

=

− +

= +

−

) 3 ...(

9 9 2 3

) 2 ...(

2 3

2

) 1 ...(

8 z y x

z y x

z y x

利用(1)式消去(2)式與(3)式中 x 項的係數：

(L)：⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−

−

−

=

− +

= +

−

) 3 ...(

9 9 2 3

) 2 ...(

2 3

2

) 1 ...(

8 z y x

z y x

z y x

⎯⁽⎯^1)×−⎯²⁺⁽⎯^2),(1⎯^)×−3⎯⁺⎯⁽³⁾→

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=

− +

⋅

−

=

− +

⋅

= +

−

15 12

0

18 3

5 0

8 z y x

z y x

z y x

(2°)再將上述方程組中第二式與第三式對調，

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=

− +

⋅

−

=

− +

⋅

= +

−

15 12

0

18 3

5 0

8 z y x

z y x

z y x

⎯

⎯

⎯

⎯

⎯

⎯ →

⎯^{對調第二式與第三式} (L^/)：

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=

− +

⋅

−

=

− +

⋅

= +

−

) 3 ...(

18 3

5 0

) 2 ...(

15 12

0

) 1 ...(

8

/ / /

z y x

z y x

z y x

在(L^/)中除了第一式外，其餘各式之中 x項的係數都為 0。

(3°)利用(2^/)式消去 (3^/)式中的 y 項係數：

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=

− +

⋅

−

=

− +

⋅

= +

−

) 3 ...(

18 3

5 0

) 2 ...(

15 12

0

) 1 ...(

8

/ / /

z y x

z y x

z y x

⎯

⎯

⎯

⎯ →

⎯^{(2/)×−5+(3/)} (L^//)：

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

⋅

−

=

− +

⋅

= +

−

) 3 ...(

57 57 0 0

) 2 ...(

15 12

0

) 1 ...(

8

//

//

//

z y x

z y x

z y x

在(L^//)中(3^//)式中 x,y項的係數為 0，(2^//)式中 x 項的係數為 0 將(3^//)×1

57，得

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= +

⋅ +

⋅

−

=

− +

⋅

= +

−

) 3 ...(

1 0

0

) 2 ...(

15 12

0

) 1 ...(

8

///

///

///

z y x

z y x

z y x

由(3^///)可解得 z=1，反代入(2^///)解得 y=−3，再以 z=1,y=−3

得出 x=4，故一次方程組的解為 x=4,y=−3,z=1。

回顧前例中解一次方程組的過程，過程中進行了以下幾個動作，而且這些動作 都不會改變原來一次方程組的解。

(1°)對調方程式的位置。

(2°)將某一方程式等號兩邊乘上一個不為 0 的常數。

(3°)將某一方程式乘上一個不為 0 的常數，加到另一個方程式。

並且一次用一個方程式去消去其它方程式中特定的未知數，最後可將一次方程

選擇○¹式，保持不變。

消去○²，○³兩式中的x。

組轉化成⎪

⎩

⎪⎨

⎧

=

−

=

−

= +

−

1 15 12

8 z z y

z y x

的形式。

一 般 而 言 ， 我 們 利 用 前 面(1°)(2°)(3°)的 動 作 逐 步 將 一 次 方 程 組

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−

−

= +

−

−

=

− +

9 9 2 3

8 2 3

2

z y x

z y x

z y x

轉化成一次方程組

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−

=

−

= +

−

1 15 12

8 z z y

z y x

的方法，就稱為高斯消去法。

高斯消去法

( 操作方法 ) ( 說 明 ) (A) ⎩⎪

⎨⎪⎧ a1 x＋b1 y＋c1 z＝d1 ^○1 a2 x＋b2 y＋c2 z＝d2 ^○2 a3 x＋b3 y＋c3 z＝d3 ^○3

(i) 先選擇其中一個方程式，在 運算過程中始終保持不變 ( 如a1≠0，可選第○¹式不 變 )

( A1)

⎩⎪

⎨⎪⎧ a1 x＋b1 y＋c1 z＝d1 ^○1 b2' y＋c2' z＝d2' ^○4 b3' y＋c3' z＝d3' ^○5

(ii) 利用○¹與○² ，○¹與○³之線性 組合，可消去○²，○³兩式中 的變數x化成二元方程組 ( 如○⁴ ，○⁵兩式 )。

○¹，○⁴保持不變。

利用“○⁴ 與○⁵” 消去○⁵ 式中的y。

(iii) 若b2'≠0，可再選○⁴式保持 不變，利用○⁴與○⁵之線性組 合可消去○⁵中的變數y，將

○⁵式化成一元線性方程式 ( 如○⁶式 )。

(A2)

⎩⎪

⎨⎪⎧ a1 x＋b1 y＋c₁ z＝d1 ^○1 b2' y＋c2' z＝d2' ^○4 c3"z＝d3" ^○6

(iv) 再由最後的方程組 (A2)依

序解出z，y，x的值。

一般而言，將方程組(A)經過列運算化簡為方程組(B)

(A) ⎪

⎩

⎪⎨

⎧

= + +

= + +

= + +

3 3 3 3

2 2 2 2

1 1 1 1

d z c y b x a

d z c y b x a

d z c y b x a

⎯

⎯ →

⎯^列運算 (B)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

= +

= + +

//

3 //

3

/ 2 / 2 / 2

1 1 1 1

d z c

d z c y b

d z c y b x a

方程組(A)的解(x0 , y0 , z0 )顯然必為方程組(B)的解，而由於三種列運算是可逆 的，即方程組(B)亦可經由列運算化成方程組(A)，所以方程組(B)的解(x1 , y1 , z1) 也是方程組(A)的解，故方程組(A)(B)的解是相同的。因此

○¹式保持不變。

○¹ × (－1 ) 分別加到○²，○⁴。

○¹ × (－3 ) 加到○³。

任一個線性方程組(A)經「三種列運算」消去某些變數，化成易於求解的上三角 模式(或下三角模式)之線性方程組(B)，則(A)與(B)的解完全相同。

而方程組(B)的解，一般而言比較容易用計算機來求解，這就是為何要用列運算 化成方程組(B)的形式的原因。

(練習3) 設 L_i ( x，y，z )＝a_i x＋b_i y＋c_i z，試填 內的符號。

(A)

⎩⎪

⎨⎪⎧ L1 ( x，y，z )＝d1 ○¹ L2 ( x，y，z )＝d2 ○² L3 ( x，y，z )＝d3 ○³

(B)

⎩⎪

⎨⎪⎧ L1 ( x，y，z )＝d1 ○¹ rL1 ( x，y，z )＋L2 ( x，y，z )＝rd1＋d2 ○² ' L3 ( x，y，z )＝d3 ○³

。

在第二章學過：不平行的兩個平面相交成一直線。試問空間兩條直線 l¹：

⎩⎪⎨

⎪⎧ x＋2y＋3z＝5

x＋3y＋4z＝8，與l²：

⎩⎪⎨

⎪⎧ 3x＋2y－3z＝7

x＋ y＋2z＝2，是否相交？如果相交，

又如何求l¹與l²的交點。

一般的解法是先求出l¹，l²的參數式，然後再判別它們是否有交點，求 l¹，l²的參數式也可以用高斯消去法。

[例題1] 試問：空間兩條直線 l¹：

⎩⎪⎨

⎪⎧x＋2y＋3z＝5

x＋3y＋4z＝8。 l²：

⎩⎪⎨

⎪⎧3x＋2y－3z＝7 x＋ y＋2z＝2。 是否相交，如果相交，請求交點坐標。

[分析]：l¹與l²有交點 ⇐⇒ 線性方程組

⎩⎪ ⎨

⎪⎧

^{x＋2y＋3z＝5} x＋3y＋4z＝8 3x＋2y－3z＝7 x＋ y＋2z＝2

有解。

[解法]：

用高斯消去法解線性方程組

操作方法 (A)

⎩⎪ ⎨

⎪⎧

x＋2y＋3z＝5 ○¹ x＋3y＋4z＝8 ○² 3x＋2y－3z＝7 ○³ x＋ y＋2z＝2 ^○4

○¹ × r＋○²

(A1)

⎩⎪ ⎨

⎪⎧

x＋2y＋ 3z＝5 ^○1 y＋ z＝3 ○⁵ －4y－12z＝－8 ○⁶ － y－ z＝－3 ○⁷

○¹，○⁵保持不變。

○⁵ × 4加到○⁶。

○⁵ × 1加到○⁷。

(A2)

⎩⎪ ⎨

⎪⎧

x＋2y＋3z＝5 ○¹ y＋ z＝3 ^○5 －8z＝4 ○⁸

0 ＝0 ○⁹

由方程組 (A2) 求得z＝－1

2 ，代入○⁵得y＝3－z＝7 2 ， 代入○¹得x＝5－2y－3z＝－1

2 ，故直線l¹與l²相交於一點 (－1 2 ，7

2 ，－1 2 )。

(練習4) 已知方程組(A)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

= + +

=

− +

4 5 4 3

1 3 3 2

10 2

z y x

z y x

z y x

⎯

⎯

⎯

⎯

⎯ →

⎯^{高斯消去法(列運算)} (B)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−

=

−

=

− +

12 2

19 5

10 2

z z y

z y x

試說明方程組(A)代表的幾何意涵。

Ans：三平面交於一點

(練習5) 試問空間兩條直線l¹：

⎩⎪⎨

⎪⎧ x＋2y＋3z＝5

3x＋2y－3z＝7。l²：

⎩⎪⎨

⎪⎧ x＋3y＋4z＝8

2x＋y－2z＝4。 是否相交，若是，求它們的交點。( 用高斯消去法 )。

Ans：不相交

(練習6) 平面上四點 (－1，－3 )，( 6，4 )，( 2，6 )，( 7，1 )，是否共圓？若是，

求該圓的方程式。Ans：x²＋y²－4x－2y－20＝0

‹ 矩陣與高斯消去法：

(1)矩陣的列運算：

我們使用高斯消去法求解一次方程組，在求解的過程中，運用(1°)(2°)(3°)的動 作，將原方程式變形，整個過程產生的新方程組可以它的增廣矩陣來代替，如 此就把方程組的變形過程轉成增廣矩陣的變形。

上面分離係數法中，由方程組(A)之“變數的係數”所形成的矩形格式稱為 係數矩陣，由“變數的係數及等號右邊的常數”所形成的矩形格式稱為 增廣矩陣。即

方程組 ────→ 係數矩陣 增廣矩陣 (A)

⎩⎪

⎨⎪⎧ 1x＋2y－ z＝10 2x＋3y＋3z＝1 3x＋4y＋5z＝4

──→

⎣⎢

⎢⎡

⎦⎥

⎥⎤

1 2 －1

2 3 3

3 4 5

，⎣⎢⎢⎡ 1 2 3

2 3

4 －1⎪⎪⎪⎪ 3

5 10⎦⎥⎥⎤ 1 4 。

在增廣矩陣中，為了區隔係數與常數項，可以在常數項的左方加一條鉛直線。

“方程組”與“增廣矩陣”之間構成一對一，即每一個方程組對應一個增 廣矩陣；反之，每一個增廣矩陣對應一個方程組。

前面所述的(1°)(2°)(3°)的動作對應在矩陣上的變換，稱為矩陣的基本列運算：

矩陣的基本列運算：

(a)第 i列與第 j列對調，並用 Rij表示。

(b)將第 i 列乘上一個非零常數 r，並用 rR_i表示。

(c)將第 i 列乘上一個常數 r 加到另一列，並用 rRi+Rj表示。(第 i 列沒改變)

−

根據前面的說明：

任一個線性方程組(A)經「三種列運算」消去某些變數，化成易於求解的上三角 模式(或下三角模式)之線性方程組(B)，則(A)與(B)的解完全相同。

因此

矩陣經過基本列運算之後，它們所代表的線性方程組之解完全相同。

[例題2] 下列那些選項中的矩陣經過一系列的列運算後可以化成

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

1 1 0 0

2 1 1 0

7 3 2 1

？

(1) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

5 3 2 0

2 1 1 0

7 3 2 1

(2)

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

0 7 1 3

0 1 1 1

0 1 3 1

(3)

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

5 2 1 1

2 1 1 1

5 2 1 1

(4) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

1 2 2 2

0 1 1 1

6 3 1 2

(5)

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

1 0 1 0

2 1 1 0

7 2 3 1

。(2007學科能力測驗) Ans：(1)(5)

[例題3] 試求一個二次函數f (x)，使得f (－1 )＝2，f (2)＝1，f (3)＝3。

[分析]：

在第一冊學過拉格朗日插值公式，可以依據所予條件，直接寫出二次函數。

此處，我們用待定係數法。

[解法]：

設f (x)＝ax²＋bx＋c，其中a，b，c是待定係數。

由題意f (－1 )＝2，f (2)＝1，f (3)＝3，列出方程組 (A)

⎩⎪

⎨⎪⎧1a－1b＋c＝2 4a＋2b＋c＝1

9a＋3b＋c＝3，利用方程組(A)之增廣矩陣做列運算：

⎣⎢

⎢⎡1 4 9

－1 2 3 1⎪⎪⎪⎪

1 1 2⎦⎥⎥⎤

1 3

（－4）R1＋R₂

─────→

（－9）R1＋R₃

⎣⎢

⎢⎡1 0 0

－1 6

12 1⎪⎪⎪⎪

－3

－8 2⎦⎥⎥⎤ －7

－15

(－2)R2＋R₃

────→

⎣⎢

⎢⎡1 0 0

－1 6

0 1⎪⎪⎪⎪

－3

－8 2⎦⎥⎥⎤

－7

－1 →方程組(B)

⎩⎪

⎨⎪⎧a－ b＋ c＝2 6b－3c＝－7 －2c＝－1。 故c＝1

2 ，b＝1

6 ( 3c－7 )＝－11

12 ， a＝2＋b－c＝ 7 12 ， 即f (x)＝ 7

12 x²－11 12 x＋1

2 ＝ 1

12 ( 7x²－11x＋6 )。

[例題4] (1) 兩個平面E1：x＋2y＋3z＝4與 E2：2x－y＋7z＝9是否相交？

若是，求出它們的交線。

(2) 承(1)，三個平面E1，E2及E3：x－5y＋4z＝7，是否相交？

若是，求出它們的交點。

[分析]：

(1) E1與E2之法向量n1＝( 1，2，3 ) 與n2＝( 2，－1，7 ) 不平行，

故平面E1，E2必相交於一直線。

(2) 將E1與E2之交線 ( 參數方程式 ) 直接代入平面E3，再解一元方程式”。

[解法]：

(1) ⎩⎪⎨⎪⎧1x＋2y＋3z＝4

2x－ y＋7z＝9之增廣矩陣為⎣⎡1 2

2

－1 3⎪⎪ 7 4⎦⎤

9

⎣⎡1 2

2

－1 3⎪⎪ 7 4⎦⎤

9

（－2）R1＋R₂

──────→⎣⎡1 0

2

－5 3⎪⎪ 1 4⎦⎤

1 →

⎩⎪⎨

⎪⎧x＋2y＋3z＝4

－5y＋ z＝1 ^○_○¹₂ 由○²式，令y＝t ( t任意實數 )，則z＝1＋5y＝1＋5t，

由○¹式，x＝4－2y－3z＝4－2t－3 ( 1＋5t )＝1－17t。

故兩平面E1與E2之交線為l¹²：

⎩⎪

⎨⎪⎧x＝1－17t y＝0＋1t z＝1＋5t，t∈R

。 (2) 將E1與E2交線l¹²的參數式代入平面E3的方程式 ( 1－17t )－5 (t)＋4 ( 1＋5t )＝7

⇒－2t＝2 ( t有一解，此三個平面交於一個點 )

⇒ t＝－1代回交線l¹²，

得x＝18，y＝－1，z＝－4，

故三個平面E1，E2，E3交於一點 ( 18，－1，－4 )。

[例題5] 利用增廣矩陣的列運算，求方程組之解：

(1)

2 4

2 2 1

5 3 6 6

x y z x y z

x y z

⎧⎪

⎨⎪

⎩

－ ＋ ＝

－ ＋ ＝

－ ＋ ＝ (2)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

= +

− +

= +

−

= +

−

−

= +

− +

7 7 3 9

4 4 3 7

1 3

2 2 2

u z y x

u z x

u z y x

u z y x

[解法]：

(1)

1 1 2 4

2 1 2 1

5 3 6 6

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

－

－

－

→

1 1 2 4

0 1 2 7

0 2 4 14

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

－

－ －

－ －

→

1 1 2 4

0 1 2 7

0 0 0 0

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

－

－ －

⇒ 2 4

2 7

x y z

y z

⎧⎨

⎩

－ ＋ ＝

－ ＝－ ，故令z=t，得其解為

3 7 2 x

y t

z t

⎧⎪

⎨⎪

⎩

＝－

＝－ ＋

＝

,t∈R，

所以方程組有無限多解。

(2)

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

−

−

→

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

−

−

−

−

−

−

−

−

⎢⎢

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

→

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

−

−

−

−

−

5 0 07 4

5 2 7 0

0 0 0 0

0 0 0

0 7

4 7 0 3 1

5 10

5 2

5 2 7 0

10 4

14 0

5 2 7 0

2 1 2 1

7 4 1 2

7 3 9 1

4 3 0 7

1 1 1 3

2 1 2 1

故令z=s,u=t時，得其解為

4 3 4

7 7 7

5 2 5

7 7 7

x s t

y s t

z s u t

⎧ =

⎪⎪

⎪ =

⎨⎪

=

⎪⎪ =

⎩

＋ －

＋ － （s﹐t∈R）。

[例題6] 求方程組之解：

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

− + +

−

= + +

−

= + + +

4 7 5 7 4

7 3 2

3 4

2

u z y x

u z y x

u z y x

[解法]：

1 2 4 1 3

2 1 1 3 7

4 7 5 7 4

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

－

－ －

→

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

16 3 21 15 0

1 1 7 5 0

3 1 4 2 1

－

－

－ →

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

19 0 0 0 0

1 1 7 5 0

3 1 4 2 1

－

－

此增廣矩陣相當於

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

= +

−

−

= + + +

19 0

1 7

5

3 4

2

u z y

u z y x

不合理，故無解。

高斯消去法判斷三元一次方程組解的情形：

根據前面的例子，一般三元一次方程組(含三個方程式)的增廣矩陣經過列運算 之後，最後所得的矩陣，可有下列三種情形：(*可以是任意數字)

(a)形如

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

* 0 0

*

* 0

*

*

* c b a

的矩陣，其中 a,b,c 都不為 0，，

此時原方程組恰有一組解。

(b)形如

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

d b

a

0 0 0

*

* 0

*

*

*

或

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

d b a

0 0 0

* 0

0

*

*

*

或

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

d a

0 0 0

* 0 0 0

*

*

*

的矩陣，

其中 a,b,d 都不為 0，此時方程組無解。

(c)形如

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

0 0 0 0

*

* 0

*

*

* b a

或

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

0 0 0 0

* 0

0

*

*

* b a

的矩陣，

其中 a,b 都不為 0， 此時方程式有無限多解。

使用矩陣的列運算來求解一次聯立方程組，雖然過程用人工來計算看起來並沒

有比較簡便，不過這是一個有程序的方法，因此適合用計算機來求解，尤其是 一般的 n 元一次線性方程組(m 個方程式)，這也是發展並介紹高斯消去法(矩陣 列運算)的主要目的。

[例題7] 試就實數a之值，討論方程組(L)的解，並說明所表三平面相交情形：

(L)⎪

⎩

⎪⎨

⎧

2 )

14 ( 4

2 5 3

4 3 2

2－ ＝ ＋

＋

＋

＝

＋

－

＝

－

＋

a z a

y x

z y x

z y x

[解法]：

將方程組的增廣矩陣作列運算如下：

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ +

⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

) 2 (

2 4 ) 14 ( 1 4

5 1

3

3 2

1

2 a

a

⎯

⎯

⎯

⎯ →

⎯^{11××(−−4)++ 32}

) 3 (

R R

R R

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

−

−

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

) 14 (

10 4 ) 2 ( 7 0

14 7

0

3 2

1

2 a

a

⎯

⎯

⎯

⎯ →

⎯^{R2×(−1)+R3}

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

−

−

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

) 4 (

10 4 ) 16 (

0 0

14 7

0

3 2

1

2 a

a

(1)當a＝4時，方程組(L)變形為

⎪⎩

⎪⎨

⎧ −

0 0

10 14

7

4 3 2

＝

＝－

＋

－

＝

＋ z y

z y x

∴有無限多解，

解為x＝ －t y＝ ＋2t,z＝t 7

, 10 7

8 ，t_∈R，此時，三平面恰交一直線。

(2)當a＝－4時，由矩陣第三列知0＝－8。

∴無解，此時，三平面兩兩相交於一直線且三線不共點。

(3)當a≠4且a≠−4時，方程組(L)變形為

⎪⎩

⎪⎨

⎧ + −

) 4 ( ) 16 (

10 14

7

4 3 2

2－ ＝ －

＝－

＋

－

＝ a z a

z y

z y x

解得x＝

4 1 7 8

－ ＋

a ，y＝

4 2 7 10

＋ ＋

a ，z＝

4 1

＋

a ，此時，三平面恰交一點。

[例題8] 設a,b,c為實數，考慮線性方程組

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

−

= + +

= + +

c z y x

bz y x

az y x

7 10 2

1 4

3

1 2

，試求：

(1)若方程組恰有一組解，則a,b,c的條件為何？

(2)若方程組無解，則a,b,c的條件為何？

(3)若方程組無限多解，則a,b,c的條件為何？

Ans：(1)−11a+3b+7≠0 (2) −11a+3b+7=0，c−14≠0 (3) −11a+3b+7=0，c−14=0

(練習7) 利用矩陣的列運算，求聯立方程式

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−

−

=

−

−

=

− +

13 9 3 5

5 4 2

0 7 2

z y x

z y x

z y x

的解。

Ans：x=2+3t,y=−1+2t,z=t，t 為實數

(練習8) 方程組

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= +

+

= +

=

−

a y x

a y x

a y x

4 4 5

3 5 4

9 2 3

恰有一組解，試求 a的值與方程組的解。

Ans：a=2，x=4,y=−3

(練習9) 利用增廣矩陣的列運算，求下列方程組的解。

(1)⎪

⎩

⎪⎨

⎧

= +

−

= +

−

= +

−

6 6 3 5

1 2 2

4 2

z y x

z y x

z y x

(2)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

−

−

= +

−

= +

−

2 8

3

1 4 8 2

0 2 4

z y x

z y x

z y x

Ans：(1)x=−3,y=−7+2t,z=t (2)無解

(練習10) 試求 a的值使方程組

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

= +

−

+

=

− +

= + +

a z

y x

a z

y x

a z y x

1 2

1 3 3 3

有解。Ans：a=3 2

(練習11) 求方程組之解：

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

10 2 2 4

16 4 5

7 2

5 2

＝

－

＋

＝

＋

＋

＝

＋

＋

＝

－

＋

z y x

z y x

z y x

z y x

[答案]：x＝t＋1，y＝－t＋3，z＝t，t_∈R

綜合練習

(1) 用高斯消去法解下列線性方程組，並說明各方程組對應的幾何意涵。

(a)

⎩⎪

⎨⎪⎧x＋2y＋3z＝5 2x＋3y＋4z＝7

3x－4y＋5z＝17。(b)

⎩⎪

⎨⎪⎧x＋2y＋3z＝5 2x＋3y＋4z＝7 x＋3y＋5z＝8 。(c)

⎩⎪

⎨⎪⎧x＋2y＋3z＝5 2x＋3y＋4z＝7

3x－y－5z＝4 。

(2) 下列哪些增廣矩陣所代表的一次聯立方程組恰有一組解？

(1)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

4 1 0 0

3 0 1 0

2 0 0 1

(2)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

0 3 0 0

0 0 2 0

0 0 0 1

(3)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

2 1 0 0

3 2 1 0

4 3 2 1

(4)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

5 0 0 0

1 2 3 4

4 3 2 1

(5)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

0 0 0 0

1 2 3 4

4 3 2 1

。

(3) 下列哪些選項中的矩陣經過一系列的列運算後可以化成

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

− 1 1 0 0

0 1 1 0

1 3 2 1

(1)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

0 3 3 5

0 1 1 2

0 1 1 1

(2)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

− 1 3 2 0

0 1 1 0

1 3 2 1

(3)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

5 2 1 1

2 1 1 1

5 2 1 1

(4)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

1 2 2 2

0 1 1 1

6 3 1 2

(5)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

1 0 1 0

2 1 1 0

7 3 2 1

。

(4) 已知矩陣

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

6 5 2 3

6 3 1 2

4 2 3 1

經過列運算，得

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡ − − −

b a 1 0 0

1 1 0

4 2 3 1

，

試求a,b之值。

(5) 對矩陣 ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

b a 7 3

9

4 作列運算若干次後得到 ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

1 1 0

1 0

1 ，則(a,b)= 。 (2009指定甲)

(6) 利用增廣矩陣的列運算解下列方程組：

(a)⎪

⎩

⎪⎨

⎧

=

− +

−

=

− +

−

= +

− +

1 3 7 4 3

4 3

2

7 2

u z y x

u z y x

u z y x

(b)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= +

−

−

=

− +

= +

−

6 2 3

3 3 2

5 3 2

z y x

z y x

z y x

(7) 試找出方程組

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

=

−

−

= + +

c z y x

b z x

a z y x

5 3 2

2

有解的充要條件。

(8) 在平面上，下列四點是否在同一個圓上？

A (－4，2 )，B ( 1，－3 )，C ( 4，6 )，D (－3，5 )。

如果是共圓，求出此圓的方程式x²＋y²＋ax＋by＋c＝0。

(9) 用“待定係數法”，找出一個二次函數f (x)，使其圖形通過 A ( 1，－2 )，B (－1，22 )，C ( 2，－5 ) 三點。

(10) 試討論

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

= + +

=

− +

2 3

3 3

2

1 z ay x

az y x

z y x

之解。

綜合練習解答

(1) (a)三平面交於一點(1,−1,2) (b)三平面交於一直線

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−

= +

−

= t z

t y

t x

2 3

1

，t為實數 (c)三平面沒交點

(2) (1)(2)(3) (3) (2)

(4) a=2、b=1 (5) (13,10)

(6) (a)(x,y,z)=(−s+t

5+3,s−3

5t+2,s,t) (b)(x,y,z)=(1,1,2) (7) 3a+b=c

(8) x²+y²−2x−4y−20=0 (9) f(x)=3x²−12x+7

(10) (1)a≠2且a≠−3，唯一解，

(

^{, ,}

)

^{=(1, 1}₊₃^{, 1}₊₃⁾

a z a

y

x ；

(2)a＝－3，無解；

(3)a＝2，無限多解，解為(5t,1−4t,t),t∈R。