高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：97.04.07 班級
範
圍 1-5圓錐曲線與直線
座號
姓 名 一、填充題(每題10分)
1. 直線y = x + k與雙曲線y2 − 4x2 = 12，試就 之值討論下列各題：
(1) _______________時，有二個交點；
(2) _______________時，有一個交點；
(3) _______________時，沒有交點。
k
【解答】(1) k > 3或k < − 3 (2)k = ±3 (3) − 3 < k < 3
【詳解】
y = x + k代入y2 − 4x2 = 12 ⇒ (x + k)2 − 4x2 = 12 ⇒ − 3x2 + 2kx + k2 − 12 = 0 x的實根個數由判別式D = 4k2 + 12(k2 − 12)決定之，D = 16(k2 − 9)
(1) k > 3或k < − 3時，D > 0 ⇔ 有兩個相異交點
(2)k = ±3時，D = 0 ⇔ 恰有一個交點（相切）
(3) − 3 < k < 3時，D < 0 ⇔ 沒有交點
2. (1) 設Γ：2x2 + 3y2 + 4y − 1 = 0上一點A(1，− 1)，則切點為A之切線方程式為 。 (2) 過點( − 1，2)與錐線2x2 + xy + y2 − 4 = 0相切的直線方程式為 。
【解答】(1) 2x − y − 3 = 0 (2)2x − 3y + 8 = 0
【詳解】
(1) A(1，− 1)在橢圓：2x2 + 3y2 + 4y − 1 = 0上
⇒ 切點為A之切線方程式為2．1．x + 3(− 1)y + 4．
2
−1
y − 1 = 0⇒ 2x − y − 3 = 0
(2) 2( − 1)2 + ( − 1)．2 + 22 − 4 = 2 − 2 + 4 − 4 = 0，知點( − 1，2)在錐線2x2 + xy + y2 − 4 = 0上 切線方程式為2( − 1)x +
2 ) 1 (
2x+ − y + 2y − 4 = 0，化簡得2x − 3y + 8 = 0
3. 求過(0，4)且與 2 x2
+ 4 y2
= 1相切的直線方程式____________________。
【解答】y = ± 6x + 4
【詳解】
設切線為y = mx ± 2m2 +4，過(0，4) ⇒ 4 = ± 2m2 +4 ⇒ 16 = 2m2 + 4
⇒ m = ± 6 ∴ y = ± 6x + 4為所求
4. 橢圓 ( 2)2
8
x+ +( 3)2 18
y+ = 1在直線2x + y − 2 = 0上的正射影長為
。
【解答】8
【詳解】 與直線2x + y − 2 = 0垂直之直線斜率為 2 1，
第 1 頁
斜率為2
1的切線為y + 3 = 2
1(x + 2) ± 1 8 18
4+
． ⇒ x − 2y = 4 ± 4 5 L1：x − 2y = 4+4 5，L2：x − 2y = 4 4 5− ，
則所求為d(L1，L2) =
2 2
| (4 4 5) (4 4 5) | 8 1 ( 2)
+ − −
+ − =
5. 求與x + 2y = 0垂直，且與拋物線y2 = 16x相切之直線方程式為 。
【解答】y = 2x + 2
【詳解】
∵ 所求直線L與x + 2y = 0垂直，斜率為2，故此直線方程式為y = 2x + 2
4，即y = 2x + 2
6. 設拋物線Γ：y2 = 4x，一光線從點(5，4)射出，平行Γ 的軸射在Γ 上的 點，經反射後又射到 Γ 上的Q點，則Q的坐標為
P 。
【解答】(
4
1，− 1)
【詳解】
Γ：y2 = 4x，由(5，4)射出的光線，沿平行軸的直線y=4射到Γ 上的點 (4，4)，經反射後 反射光通過焦點 (1，0)，則 的方程式為
P F
→
←
PF ( 1)
3
4 −
= x
y 與Γ 的另一交點Q 解y2 = 4x及 ( 1)
3
4 −
= x
y ，得
4 (1
Q ，− 1)
第 2 頁
7. 雙曲線Γ： 8 x2
− 8 y2
= 1，又A∈Γ，已知A(4，2 2 )，
F(4，0)，若由F射至A之光線被雙曲線Γ 反射，反射光通過
P(8，k)，則k = 。
【解答】3 2
【詳解】
由光學性質可知反射光線必通過直線F′A，mF ′A =
) 4 ( 4
0 2 2
−
−
− = 4
2
A
F′ ：y − 0 = 4
2 (x + 4)，P(8，k)代入F′A ⇒ k = 3 2
8. 設F與F′為橢圓x2 + 4y2 = 8的兩焦點，若A的坐標為(2，1)，求∠FAF
′的角平分線方程式
【解答】2x − y = 3
【詳解】
過A(2，1)之切線L1：2x + 4y = 8，
由光學性質可知∠FAF′的角平分線為過A之法線L2
∵ L2 ⊥ L1 ∴ 設L2：y − 1 = 2(x − 2) ⇒ L2：2x − y = 3
9. 若直線y = x + k與橢圓 1 6 3
2
2 + y =
x 相切，求k之值____________，並求切點坐標____________。
【解答】k = 3時，切點為( − 1，2)；k = − 3時，切點為(1， − 2)
【詳解】
y = x + k代入橢圓2x2 + y2 = 6得2x2 + (x + k)2 = 6，即3x2 + 2kx + k2 − 6 = 0有等根 令判別式為0，得4k2 − 12(k2 − 6) = 0 ⇒ k = ± 3
(1) k = 3時，3x2 + 6x + 9 − 6 = 0 ⇒ x2 + 2x + 1 = 0 ⇒ x = − 1 代入y = x + 3得y = 2，故切點( − 1，2)
(2)k = − 3時，3x2 − 6x + 3 = 0 ⇒ x = 1代入y = x − 3，得y = − 2，故切點(1， − 2)
10雙曲線4x2 − y2 + 8x + 4y − 32 = 0的二焦點F，F′，其上一點P(2，4)，求∠FPF′ 的平分線方 程式_______________________。
【解答】6x − y − 8 = 0
【詳解】
由雙曲線的光學性質知∠FPF′ 的平分線即雙曲線在點P(2，4)的切線 即8x − 4y + 4(x + 2) + 2(y + 4) − 32 = 0，化簡得6x − y − 8 = 0
11.若點P(2，− 3)為拋物線y2 = 8x之一弦AB的中點，則直線AB方程式為 ，弦AB的
長為 。
【解答】4x + 3y + 1 = 0，
2 7 5
【詳解】
(1)設A(x1，y1)，B(x2，y2) ∵ P(2， − 3)為AB中點 ∴ x1 + x2 = 4，y1 + y2 = − 6 又 ，c − d得( y
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
2 2 2
1 2 1
8 8 x y
x
y ……c
……d 1 + y2) ( y1 − y2) = 8( x1 − x2)
⇒ AB斜率 =
2 1
2 1
x x
y y
−
− =
2 1
8 y y + =
6 8
− = − 3 4
⇒ AB：y + 3 = − 3
4(x − 2) ⇒ AB：4x + 3 y + 1 = 0 (2)由(1)，x1 − x2 = −
4
3(y1 − y2)
⇒ y
⎩⎨
⎧
=
= + +
x y
y x
8
0 1 3 4
2
2 + 6y + 2 = 0，二根為y1，y2 ∴ y1 y2 = 2且y1 + y2 = − 6 AB2 = ( x1 − x2)2 + ( y1 − y2)2 =
16
9 ( y1 − y2)2 + ( y1 − y2)2 = 16
25( y1 − y2)2 = 16
25[( y1 + y2)2 − 4 y1y2]
= 16
25[( − 6)2 − 4．2] = 4
7
25． ⇒ AB = 2
7 5
或 | |
2 4 a
ac b −
． 1 2
| | m m
+ =
2 2
1 ( 4)
6 4 1 2 3 25 3
4 28
1 | | 9
3
− × × + −
第 3 頁 AB=
⋅ = ⋅ ⋅ =4
− 2
7 5
