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(1)

臺北市立建國高級中學第 155

^{期通訊解題題目解答}

15501

設正整數a b m n, , , 滿足a² m n( 17)，b² m n( 17)，求n的所有可能值。

【簡答】145

【詳解】設( , )a b d，令a dh 、b dk ，其中( , ) 1h k  ，因為

2 2

( 17) 17

a c d d h

b c d d k

 

  

  ，

令_d_₁₇__th²、_d_₁₇__tk²，其中t為正整數。

兩式相減得t h( ² k²) 34 ，所以t為34的因數，

又h k h k ,  為兩個不相等且奇偶性相同的正整數，所以t2，

得h k 17,h k 1，所以h9,k 8，因此( , , , ) (18,16, 2,145)a b m n  ，所以n的值為145。

15502

若n為正整數，定義n!（讀作n的階乘）為從1到n的所有正整數之連乘積，即

! 1 2 3

n    n，設0a_k k，其中ak為整數，已知

2 3 4 5 6 7 4

2! 3! 4! 5! 6! 7! 7

a a a a a a

      ，求a₂ a₃ a₄ a₅ a₆a₇之值。

【簡答】11

【詳解】等號兩邊同乘以7!，

2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 4 5 6 7 5 6 7 6 7 7 2880 7 411 3 a                    a a a a a     因(a₂                  3 4 5 6 7 a₃ 4 5 6 7 a₄ 5 6 7 a₅ 6 7 a₆ 7)是7的倍數且0a₇ 7，故a₇ 3，

代入上式化簡得

2 3 4 5 6 3 4 5 6 4 5 6 5 6 6 411 6 68 3 a              a a a a     ，

因(a₂            3 4 5 6 a₃ 4 5 6 a₄ 5 6 a₅ 6)是6的倍數且0a₆ 6，故a₆ 3，

代入上式化簡得a₂        3 4 5 a₃ 4 5 a₄ 5 a₅ 68 5 13 3   ，因(a₂       3 4 5 a₃ 4 5 a₄ 5)是5的倍數且0a₅ 5，故a₅ 3，代入上式化簡得a₂    3 4 a₃ 4 a₄ 13 4 3 1   ，

因(a₂   3 4 a₃ 4)是4的倍數且0a₄ 4，故a₄ 1，代入上式化簡得a₂ 3 a₃3，

因(a₂3)是3的倍數且0a₃3，故a₃0，代入上式化簡得a₂ 1，

2 3 4 5 6 7 1 0 1 3 3 3 11

a a a a a a

             。

1

(2)

15503

如下圖所示，四邊形ABCD為一邊長為2的正方形，_BF平行AC，且四邊形 AEFC是菱形。求AEFC的面積。

【簡答】4

【詳解】

連接_BD，交AC於O，則BO AC，且 1 1

2 2

BO AC AE(AEFC是菱形)，

過E作EG BO/ / ，又_BF平行AC，所以EGOB為平行四邊形，

則 1

EG BO 2 AE，

在直角AEG中，因為 1

EG2AE，所以__EAG_₃₀⁰，又AEFC是菱形，如下圖所示，則__FEH _₃₀⁰，可得 ¹ ¹ 2 2 2

2 2

FH  EF    ，所以AEFC的面積為2 2 2 4 。

2

(3)

15504

已知n為正整數，若在1, 2, , n的任意一個排列中，總可找到連續六個數之和大於2019，求n的最小值。

【簡答】673

【詳解】首先證明673符合題目要求。對1, 2, ,673 的任意一個排列b b₁, , ,₂  b₆₇₃，若b1673，則從b1開始將其依次分成112組，其中每組六個數，即

1 2 6 7 8 12 666 671 672

( , ,b b b ), ( , , ,b b  b ), ,( b ,b ,b )，

若b1673，則從b2開始將其依次分成112組，其中每組六個數，即

2 3 7 8 9 13 667 672 673

( , ,b b b ),( , , ,b b  b ), ,( b ,b ,b )，則這112組之和的平均值必大於1 2 672

112 2019

    ，

因此必有其中一組數之和大於2019，從而673符合題目要求。

其次將1, 2, ,672 的排列成

672, 671, 670,1, 2,3, 669,668,667, 4,5, 6, ,339,338,337,334,335,336 ，其連續六個數之和為2019 3 , k k 0,1, 2,3之一，

因此當n673時不符合題目要求。所以n的最小值為673。

15505

將5顆相同的黑棋、5顆相同的白棋任意排成一列，則其中有連續3顆棋子依序為「黑白黑」的排列方法共有幾種？

【簡答】182

【詳解】●●●●●○○○○○排成一列，共 ^10! 252

5!5! 種方法。

先考慮沒有「黑白黑」的方法數，

先將5顆黑棋排成一列●●●●●，再將白棋插入6個空隙，

沒有「黑白黑」  不可將單獨1白棋插入中間4個空隙分成5類：

插入「○○○○○」：共C₁⁶ 6方法；

插入「○○○○」、「○」：共C C₁² ₁⁵ 10方法；

3

(4)

插入「○○○」、「○○」：共P₂⁶ 30方法；

插入「○○○」、「○」、「○」：共C₁⁴ 4方法；

插入「○○」、「○○」、「○」：共C C₁² ₂⁵20方法；

沒有「黑白黑」的方法共6 10 30 4 20 70     種，故有「黑白黑」的方法共252 70 182  種。

4