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(1)

臺北市立建國高級中學第 140

期通訊解題題目解答與評析 14001

已知0 a 1，且滿足

1 2 3 2017

2018 2018 2018 2018 1009

a a a a

           

       

         ，

其中[ ]x 表示不大於^x的最大整數，則[10 ]a 的值為何？

【簡答】5

【詳解】因為 1 2 3 2017

0 2

2018 2018 2018 2018

a a a a

         ，

故 1 2 3 2017

, , , ,

2018 2018 2018 2018

a a a a

           

       

         的值不是0，就

是1。

其中有1009個1，故 1008

0 1

a 2018

   且 1009

1 2

a 2018

   ，

得 1 1010

2 a 2018 10100

5 10 5.00496

a 2018

   ≒ ，所以[10 ] 5a  。

【評析】

本題屬偏易的數論題，重點在數值的估計與高斯符號性質的運用，對於運算過程中可能出現估計值的時候，同學們的論述必須更加謹慎及明確，可盡量用不等式而非〝約等於〞的方式。

本題共有下列19位同學參與徵答，全數獲得滿分：

台中市明德國中周哲煒同學、台北市仁愛國中鐘景翰同學、

台北市天母國中周誠亮同學、台北市西松高中劉得徵同學、

台北市延平高中姚慶威同學、台北市延平高中洪偉哲同學、

台北市東山高中林威辰同學、台北市蘭雅國中喬奕翔同學、

桃園市同德國中江芷芸同學、桃園市同德國中彭俊維同學、

桃園市同德國中游芔騰同學、基隆市八斗國中鐘奇恩同學、

雲林縣斗六國中張宗瑋同學、新北市中山國中劉伯晏同學、

新北市江翠國中冼秉宇同學、新北市江翠國中張程凱同學、

新北市海山國小尤耀星同學、新北市鷺江國中郭杰穎同學、

新竹市實驗高中章宏瑞同學。

14002

解不等式 8x 1 a x( ²2x3)，其中0 a 3。

【簡答】1 7 73 3 8

x +

 

【詳解】設f(a) =a(x²2x3)(8x1)，其中0 a 3，則8x 1 a x( ²2x3)與f(a)＜0同義：

(2)

y = x²-2x-3 (8x-1)

x y

x=1 8

1 y =a(8x-1)

y =1 3

O P

A

B

(1) x²2x3＞0即x＜1或x＞3時，f(a)為遞增函數，0 a 3，而知f(a) f(3)，故f(a)＜0 f(3)＜0³⁽^x²^²^x^³⁾^⁽⁸^x^¹⁾

＜0，

化簡為₃x²₁₄x₈＜0 

3 73

7 ＜x＜

3 73

7 ，

與x＜1或x＞3聯立，解得3＜x＜

3 73

7 ；

(2) x²2x3＜0即 1＜x＜3時，f(a)為遞減函數，0 a 3，而知f(a) f(0)，故f(a)＜0 f(0)＜0^⁽⁸^x^¹⁾＜0  x＞

8 1

，

與 1＜x＜3聯立，解得 8

1＜x＜3；

(3) x²2x3= 0即 x = 1或x = 3時，f(a)=^⁽⁸^x^¹⁾ ，而知x = 1時，f(a)=9；x = 3時，f(a)=23，

但f(a)＜0，故x = 3。

綜合(1)(2)(3)，解得x值的範圍為 8 1 ＜x＜

3 73

7 。

【另解】0＜a3時，8x 1 a x( ²2x3)¹⁽⁸^x^¹⁾

a ＞x²2x3，設直線L：y =¹⁽⁸^x^¹⁾

a ，

拋物線Γ：y =x²2x3，則所求為滿足L且在Γ上方的點之x坐標的範圍；

a = 0時，8x 1 a x( ²2x3)

 8x1＞0，

所求為直線8x1 = 0右側的點之x坐標的範圍。

作圖如右。

其中點P之x坐標為 8 1 ；

點A是直線y = ⁽⁸ ¹⁾ 3

1 x 與拋物線y =x²2x3的交點，聯立解之，

) 3 2 ( 3 1

8x  x² x 3x²14x8= 0，得點A之x坐標為

3 73

7 ，

由於0＜a＜3時，直線L與拋物線Γ 在右上側的交點恆在經過點A之

(3)

鉛直線的右側，在左下側的交點恆在直線8x1 = 0的左側，

故所求不等式之解為 8 1 ＜x＜

3 73

7 。

【又解】(1) a = 0時，8x 1 a x( ²2x3) 8x1＞0  x＞

8 1 。

(2) 0＜a3時，8x 1 a x( ²2x3)ax²(2a8)x(3a1)＜0

 a

a a

a4 4 ²7 16 ＜x＜

a a a

a4 4 ²7 16 ……(A)，

因為a＞0，所以

a a a

a4 4 ²7 16 =

) 16 7 4 4 (

) 16 7 4 ( ) 16 8 (

2 2 2







a a a

a

a a a

a

=

16 7 4 4

3 1

2 



 a a a

a ＜

16 7 4 4

1

2 



 a a

a ＜

8 1 ；因為0＜a3，所以

a a a

a4 4 ²7 16 =1 4 4 ⁷ ¹⁶₂ a a a  

  ₂

3 16 3 4 7 3

14  

= 3

73

7 。

綜合(1)(2)，可知所求不等式之解為 8 1 ＜x＜

3 73

7 。

【評析】

求解一元二次條件不等式，本非難事，但在其中添加了一個不定係數之後，

問題有了很大的變化，如何解題乃有懸念。

本題題設不等式之解區間的上限在a = 3時，下限在a = 0時，這一個事實可能不難查知，因此，參與徵答的同學多數直接代入a = 3與a = 0分別解題，

而得正解，這種做法雖然答案對了，但是對於0＜a＜3時的可能變化未有完整的論述，可以說是沒有抓住問題的核心，所以只能得到部分的分數。

如同上述詳解，本題以x為變元，可歸屬為二次函數；但若以a為變元，

亦可從一次函數的角度切入。以上第一種解法，反視x²2x3為一次項的係數，

從而討論函數f(a)之遞增或遞減與x值的關係，找到x值的範圍。

第二種解法，在坐標平面上描出拋物線Γ與動直線L，重點在須知動直線 L將因應a值的改變而繞著定點P 旋轉，觀察這兩個圖形的交點變化，以圖明辨，即可掌握並找到解區間的範圍。

第三種做法有硬算的味道。有些參與徵答的同學如是解題，就是直接讓不定係數a 參與運算，而得到以a表示的解之範圍，如【又解】中之(A)式，但這只能算是部分解答，如何完整說明0a3時(A)式之上限與下限，是解題重點。

本題共有8位同學參與徵答，平均得分3.5分。成績及名單如下：

6分：新竹市實驗國中章宏瑞同學。

(4)

4分：台北市東山中學林威辰同學；雲林縣斗六國中張宗瑋同學：

台北市仁愛國中鐘景翰同學；新北市海山國小尤耀星同學。

2分：基隆市八斗國中鐘奇恩同學；新北市江翠國中張程凱同學；

新北市鷺江國中郭杰穎同學。

14003

如圖，在ABC中，已知AB6,BC7, AC8，_AD為BAC的角平分線，且 D在_BC上。若過A D, 且與_BC相切的圓分別交AB AC, 於M N, ，試求AMN的周長。

M N A

B D C

【簡答】63 4

【詳解】

M N A

B D C

(1) 在ABC中，利用內分比性質，知_{AB AC}_: __{BD DC}_: ，則可得 6

6 8 7 3

BD  



(2) 在AMDN的外接圓中，利用外冪性質

BM BA BD  2，則_BM_{ }_{6 3}²，可得 3

BM 2，故 9

AM  2 (3) 連接_DM

在AMDN的外接圓中，

由MAD NAD，則MD ND  ，故 1 1 

2 2

MDB MD ND NMD

    

因此，_MN_{/ /}_BC，可得AMN~ABC

(5)

所以AMN的周長為ABC的周長 63 4 AM

 AB 

【評析】

本題作答者有13人，平均得5.69分，其中台北市仁愛國中的鐘景翰同學、

台北市西松高中的劉得徵同學、台北市延平高中的姚慶威同學、台北市延平高中的洪偉哲同學、桃園市同德國中的游芔騰同學、基隆市八斗國中的鐘奇恩同學及新北市鷺江國中的郭杰穎同學均作答完整，值得嘉許。

這個題目的解題重點是三角形的內分比性質、圓外冪性質（或切割線段性質）及三角形的相似找到答案，大部分的同學都能善用這些性質得到答案，唯有些同學表達上太過簡略，建議同學在表達上再多一點練習，可以讓閱讀的人更容易理解。另外，有同學借用高中的餘弦定理處理，也不失是一個好的方向。

14004

在  3, 2, 1,0,1, 2,3的直線排列x x₁, , ,₂  x₇中，求滿足

1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7

x x x x x x x x x x x x 的方法數。

【簡答】8

【詳解】若x x₁, ₂或x₃有一個為0，則x x x x x x_{4 5}, _{5 6}, _{6 7}均為正數，得x x x x₄, , ,₅ ₆ ₇同號但x x x x₄, , ,₅ ₆ ₇最多只有3個數同號，所以x x₁, ₂或x₃均不為0。

若x₄ 0，則x x x₅, ,₆ ₇同號，x x x₁, ,₂ ₃也同號，得x x_{1 2} 0。但x x_{1 2} x x_{3 4} 0，所以x₄ 0。

若x₅ 0，則x x x x x x_{1 2}, _{2 3}, _{3 4}均為負數，得x x x x₁, , ,₂ ₃ ₄為兩個正數兩個負數。又x x₆, ₇同號，但x x x x x x₁, , , , ,₂ ₃ ₄ ₆ ₇為三個正數三個負數，所以

5 0

x  。

若x₆ 0，則x x x x x x x x_{1 2}, _{2 3}, _{3 4}, _{4 5}均為負數，得x x x₁, ,₃ ₅為三個正數或三個負數：

(1) 若x x x₁, ,₃ ₅為三個正數，則x x₂, ₄為兩個負數。

由x x_{1 2} x x_{2 3}x x_{3 4}x x_{4 5}得x1x3x5 0且x2 x4 0，所以有3種滿足條件的排列方法。

(2) 同理，若x x x₁, ,₃ ₅為三個負數，有3種滿足條件的排列方法。

若x₇ 0，則x x x x x x x x x x_{1 2}, _{2 3}, _{3 4}, _{4 5}, _{5 6}均為負數，得x x x₁, ,₃ ₅為三個正數或三個負數：

(1) 若x x x₁, ,₃ ₅為三個正數，則x x x₂, ,₄ ₆為三個負數，

由x x_{1 2} x x_{2 3}x x_{3 4}x x_{4 5}x x_{5 6}得x1x3 x5 0且x2 x4 x6 0，所以有1種滿足條件的排列方法。

(2) 同理，若x x x₁, ,₃ ₅為三個負數，有1種滿足條件的排列方法。

所以共有8種滿足條件的排列方法。

(6)

【評析】

本題的解法主要先考慮0的位置，再討論正數與負數的情形得到滿足條件的排列方法。

本題徵答人數9人，其中4位獲得滿分7分，其餘未獲滿分同學大都有找出8

種滿足條件的排列方法，但並不能保證滿足條件的排列方法恰有8種，因此在說明上需完整交代理由。

滿分7分者4人，名單如下：

台北市西松高中劉得徵同學、基隆市八斗國中鐘奇恩同學、

新北市中山國中劉伯晏同學、新北市鷺江國中郭杰穎同學。

獲得4分以下者5人，名單如下：

桃園市同德國中游芔騰同學、台北市仁愛國中鐘景翰同學、

新北市海山國小尤耀星同學、新北市江翠國中冼秉宇同學、

台北市東山高中林威辰同學。

14005

從2018, 2017, 2016, ……寫到3, 2, 1，形成一串很大的數字201820172016……

321。將這串數字中的第1個數字「2」乘以2，加上第2個數字「0」；將此結果乘

以2，再加上第3個數字「1」；然後再將結果乘以2，加上第4個數字「8」；……

這樣繼續下去，直到加上個位數字1為止。再把這個新的數字用一樣的方法處理如此重複地操作下去，一直到最後得出一個一位數為止，請問這個一位數是多少？

【簡答】9

【詳解】設這串數字 K201820172016321 為n1位數，

則 Ka_n10ⁿa_n_₁10ⁿ^¹ a₁ 10¹a₀，其中a a_n, _n_₁,, ,a a₁ ₀為0, 1, 2, ……, 9中的數字，

由於 10ⁿ 2ⁿ (mod 8)，

因此 a_n10ⁿa_n_₁10ⁿ^¹ a₁ 10¹a₀

a_n2ⁿa_n_₁2ⁿ^¹  a₁ 2¹ a₀ (mod 8)，

再加上觀察末三位可知 K 1 (mod 8)。

所以K以及之後每次操作後的數字除以8的餘數皆為1，

故最後一個一位數可能為1或9。

但每次操作後的數字皆大於1，故答案為9。

【評析】

本題共7人參與徵答，有1人獲得滿分7分，平均得分3.86分。成績如下：

7分：基隆市八斗國中鐘奇恩同學 5分：臺北市西松高中劉得徵同學

4分：臺北市東山高中林威辰同學、臺北市仁愛國中鐘景翰同學 3分：桃園市同德國中游芔騰同學

2分：雲林縣斗六國中張宗瑋同學、新北市海山國小尤耀星同學

本題題型是屬於數論，對中學生有一點難度，故投稿作答的同學較少，此題可先由觀察，猜測出答案應該為9，再利用同餘的概念即可證出。基隆市八斗國中鐘奇恩同學不僅答案正確，也有作出完整的證明，值得讚許。其餘同學雖然有寫出正確解，但只有觀察及猜測的過程，欠缺立論充足的證明過程，故各扣

(7)

部分分數。