補充題庫解說

補充題庫解說

主題五、主題六

（CH5～CH8）

Discrete Probability Distributions

離散型機率分配

常見離散型機率分配

分配類型 適用情境說明 分配函數

均勻分配

discrete uniform distribution

無論隨機變數如何變化，其 機率值為固定常數，例如投

擲一次骰子，機率都是1/6 𝑓 𝑥 = ቐ 1

n , x = 1,2, . . , n 0 , other

二項分配

binomial distribution

在成功與失敗的機率不變情 況下，不斷重複試驗所得的 機率分配函數

𝑓 𝑥 = 𝐶_xⁿ p^x q^n−x , x=0,1,..,n

其中p為成功機率；q為失敗機率

伯努利分配

bernoulli distribution

在二項分配下，不論成功或 失敗，只做一次（n=1），

算是二項分配的特例

𝑓 𝑥 = p^x q^1−x , x=0,1

其中p為成功機率；q為失敗機率

超幾何分配

hyper geometric distribution

從N物中採抽出不放回抽樣，

抽出n個樣本，其中N物中，

有S個相同，N-S個不同。

所以每次抽樣都會受前次抽 樣影響

𝑓 𝑥 = 𝐶

C

C

,

0 ≤ x ≤ min(n,S) 波松分配

Poisson distribution

在一個單位時段或區段內，

某事件發生次數（X）的問 題

𝑓 𝑥 = 𝑒^−𝜆 𝜆^x

x ! , x = 0,1,2 … 𝜆 為平均次數

其他離散型機率分配

分配類型 適用情境說明 分配函數

多項分配

multinomial distribution

二項分配的延伸，二項分配 是把母體分成二種類別，而 多項分配則將母體分類超過 兩個以上

𝑓 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑘

= 𝑛!

𝑥₁! 𝑥₂! ⋯ 𝑥_𝑘! 𝑝₁^𝑥1𝑝₂^𝑥2 ⋯ 𝑝_𝑘^𝑥𝑘

= C_𝑥ⁿ_{1,𝑥2,…,𝑥𝑘} 𝑝₁^𝑥1𝑝₂^𝑥2 ⋯ 𝑝_𝑘^𝑥𝑘

負二項分配

negative binomial distribution

第 r 次成功所需試驗的次數

（每次都是伯努利試驗）

（X表示第 r 次事件發生時 所需試驗次數）

𝑓 𝑥 = 𝐶_r−1^x−1 p^r q^x−r ,

𝑥=r, r+1, r+2, …..

其中p為成功機率；q為失敗機率

幾何分配 geometric distribution

不斷進行伯努利分配，直到 第1次成功為止所需試驗次

數之機率函數

𝑓 𝑥 = q

p , x =0,1,2,….

其中p為成功機率；q為失敗機率

案例1

補5.3【台大財金】

三個死黨聚餐，以擲銅板決定付帳者，規定 三者中不同者付帳，三者相同就再擲，

則第一次擲即成功的機率為

(1) ；

至少需擲三次才能作決定的機率為

(2)；

平均而言，需擲

(3) 次才能決定付帳者。

案例1解說

(1) 令X表三人各自丟擲後出現正面的個數 → 𝑋~𝐵 n = 3 , p = 1 2 P X = 1 or X = 2 = P X = 1 + P X = 2

= C

1 2

3

+ C

1 2

3

= 3 4

(2) 令Y表直到決定付帳者為止所需丟擲次數 → Y~Geo p = 3 4 P Y ≥ 3 = 1 − P Y = 1 − P Y = 2 = 1 − 3

4 − 3

4 × 1

4 = 1 16

(3) 平均需擲幾次才能決定付帳者 → 求 Y

𝐸 Y = 1

p = 1 3 4

= 4

3

二項分配

幾何分配

案例2

補5.7《成大財金》

一個在袋中有20個球，其中黑球有5個，白色 球有15個，某統計教師確定以10次隨機抽取，

抽中黑球數作為本學期「當」掉幾個學生的 參考。若每次只抽一個球，令X代表抽中是黑 球數，則在抽出放回情況下，X之機率函數為 何？該教師最有可能「當」幾個學生？

案例2解說

(1)隨機變數X之機率分配 → 𝑋~𝐵 n = 10 , p = 1 4

∴ 𝑓 𝑋 = 𝐶

1 4

𝑥

3 4

10−𝑥

，x=0,1,2,3,…..,10

(2)〝最有可能「當」掉幾個〞學生 → 求取「眾數」

二項分配的「眾數」：

𝑀₀ = ቊ n + 1 p 若(n + 1)p 不為整數

n + 1 p − 1及 n + 1 p ,若(n + 1)p為整數

∴ 眾數M₀

=(n+1)p

=(10+1)×0.25

=2.75 (不為整數) M

→最有可能當掉2學生

Continuous Probability Distributions

連續型機率分配

常見連續型機率分配

分配類型 適用情境說明 分配函數

連續均勻分配

uniform distribution

隨機變數（X）在某連續區

間內所發生的機率都相同

𝑓 𝑥 =

b−a

, a ≤ x ≤ b

常態分配

normal distribution

存在於大自然間的各種現 象或狀態，都可以將母體

視為常態分配 𝑓 𝑥 = 1

2 𝜋 𝜎 e⁻

1 2

(x−𝜇)² 𝜎²

− ∞ < x < ∞, μ為平均數, 𝜎為標準差

標準常態分配

standard normal distribution

透過 z = ^x−𝜇

𝜎 的「標準

化」，將原本要利用微積 分計算求值，轉換成可以 利用查表得到結果

𝑓 𝑥 = 1

2 𝜋 e^−z

2

2 , − ∞ < z < ∞

指數分配

exponential distribution

與Poisson隨機變數相反，

指數分配的隨機變數（X）

是描述連續兩事件發生的 間隔時間

𝑓 𝑥 = 1 𝛽 e⁻

x

𝛽 , x ≥ 0

x 為第一次發生事件所需時間；

β 為事件發生的平均時間；

其他連續型機率分配

分配類型 適用情境說明 分配函數

Gamma 分配 Gamma

distribution

隨機變數（X）表示事件第 a 次發 生所需的時間。因此若「X>t」表 示事件第 a 次發生至少需要t個時 間單位；另個說法是，在 t 時間內 事件至少發生 (a-1) 次的機率

𝑓 𝑥 = 1

𝛽𝛤 𝑎 ( 𝑥

𝛽 )

𝑒

𝑥 𝛽

, 0 < 𝑥 < ∞ , 𝑎 > 0, 𝛽 > 0

x 為第 a 次發生所需時間；

𝛽 表發生一次所需的時間；

卡方分配 chi-square distribution

卡方分配可以算是Gamma分配的 特例（a = ^𝜈

2 , 𝛽 = 2），在統計應 用上，可進行單一母體變異數 𝜎² 的統計推論；可用來做適合度檢定

（goodness-of-fit test）、獨立 性檢定（test of independence）

與變異數齊一性檢定（test of homogeneity）

𝑓 𝑥 = 1

2𝛤 𝜈 2

(𝑥

2)^𝜈2−1 𝑒^−𝑥2 , 0 < 𝑥 , v 為卡方分配的自由度

案例3

補6.4【成大國企】如果某次考試有4000人 參加，成績X成常態分配，已知母體第2及第

3四分位Q2＝63.25，Q3＝72.31，求：

(1)母體平均數 μ =？

(2)標準差 σ＝？

(3)第1四分位Q1＝？

(4)約有多少學生成績高於80分？

案例3解說

(1) X～N（μ, σ

=63.25

(2) P（X＞Q

= P（X＞72.31）=

→ 72.31−63.25

𝜎

= Z

= 0674 , ∴ 𝜎 = 13.442

(3) Q

=

Z

𝜎 = 63.25 - 0.674 ×13.442 = 54.19 (2) P（X＞80） = P（Z >

13.442 ）= P（Z＞1.25）

= 0.1056

→ 4000×0.1056=422.4 ＝

422 (人)

案例4

補6.10《台北大財政》

設有一銀行，其平時的營運狀況，平均3分鐘來 一個顧客，請問：

(1)某日開始該銀行開始營業後，6分鐘內等不

(2)第一位客人會在8～12分鐘內進入銀行的機

(3)再請問：另一日，該銀行開始營業後，會在 10分鐘內等到5位客人的機率是多少？

(4)又，請問：平時該銀行每日開始營業後，平

案例4解說1

(1)

Poi(2)

P 𝑋 = 0 =

0!

= 𝑒

(2)令T表示等待第1位顧客到達的時間，則 f t =

3

e

t>0

故第一位顧客會在8～12分鐘進入銀行之機率為

P 8 ≤ T ≤ 12 = ׬

3

e

dt = −e

12

= e

− e

案例4解說2

(3)令X表示10分鐘內顧客到達人數，則 𝑋~𝑃oi 10

3

P 𝑋 = 5 =

−10 3 10

3 5

5!

(4)令Y表示等待第5位顧客到達的時間，則 𝑌~Γ 𝛼 = 5, 𝜆 = 1 3

E 𝑌 =

𝜆

=

1Τ

3

= 15

（分鐘）

註：λ＝1/β

Sampling

Distributions

抽樣分配

案例5

補7.1【中山財管】

假設元富證券之股價X為一隨機變數，並有下 列之隨機分配：

(1)試求隨機抽樣本為2時，樣本平均數 𝑥 ҧ

樣分配。

(2)根據(1)之抽樣分配試計算 E( 𝑥 ҧ ) 與 σ( 𝑥 ҧ ) 。

X 12 13 14

P( X=x ) 0.4 0.4 0.2

案例5解說

列出各種組合，記得驗證所算出項目的分配機率，

其累加總和應為「1」

E x = ෍ x f(x) Var x = 𝜎

(x) = E(𝑋

) − E(X)

利用期望值與變異數的定義，可求得答案：

案例6

補7.6《淡江企管》

淡江公司有4位員工，其薪資分別為2、3、

3、4（萬元），

(1)現自其中以不放回的方式隨機抽出兩位員

𝑥 ҧ

及薪資變異數S

²

(2)試分別求算 𝑥 ҧ

S ²

案例6解說1

列出各種組合

統合所列出上述各種組合，

將之表列出來，即為

「抽樣分配」

案例6解說2

E x = ෍ x f(x) Var x = 𝜎

(x) = E(𝑋

) − E(X)

Estimation and

Interval Estimation

估計與區間估計

補8.5【台大國發】

案例7

假設X的母體分配為常態，其期望值為μ，變異數為 σ²，考慮從隨機樣本觀察值X₁，X₂，…..，X_n估計μ，

以下為3個估計式：

ҧ

𝑥 = ¹

𝑛 σ _𝑖=1 ^𝑛 𝑥 _𝑖

𝜇 = ො ¹

𝑛+1 σ _𝑖=1 ^𝑛 𝑥 _𝑖

ҧ

𝜇 = ¹

2 𝑥 ₁ + ¹

2𝑛 σ _𝑖=2 ^𝑛 𝑥 _𝑖

試問此三個估計值是否滿足：

(1) 不偏性（unbiasedness）？

(2) 漸進不偏性（asymptotic unbiasedness）？

(3) 一致性（consistency）？

案例7解說1

E ( 𝜃 መ

) ＝ θ ,

利用滿足「不偏性」的定義，作為判斷的方式

案例7解說2

n→∞ lim E ( 𝜃 መ

) ＝ θ ,

利用滿足「漸進不偏性」的定義，作為判斷的方式

案例7解說3

P ( lim

n→∞

𝜃መ_n = 𝜃 ) = 1

limn→∞Var( መ𝜃_n) = 0

滿足「一致性」的原始定義：

滿足「一致性」的判斷：

案例8

補8.17《東吳國貿》

假設

𝜇 _𝐴

𝜎 _𝐴 ²

𝜇 _𝐵

𝜎 _𝐵 ²

B型燈泡的常態母體平均數及變異數，而且已

𝜎 _𝐴

26

𝜎 _𝐵

27

402小時。試求 𝜇 _𝐴 − 𝜇 _𝐵

案例8解說

案例9

補8.19《台大商研》

(1) 以90%的信賴水準且誤差範圍在0.03之內，請

(2) 假設你知道樣本比例值應該不會小於0.75，請

(3) 假設使用(2)的計算結果得到樣本大小．發現樣

案例9解說

樣本比例未知，所以用

p=1/2估算

利用所給的樣本比例值來估算

觀念

《淡江管科、清大工工》

Suppose that we obtain a 95% confidence of the mean μ to be (65.5, 68.4). We know that P( 65.5 ≦ μ

「錯」，看這句〝P（…）＝……..〞的意義，

μ的機率不是0，就是1

The End