高等数学A

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

第2章 一元函数微分学

高等数学A

2.2 中值定理

2.2.3 L’Hospital(罗必塔)法则

2.2 中值定理

L’Hospital 法则

L’Hospital 法则

2.2.3 L’Hospital法则

的极限 未定式0

0

习例1-3

的极限 未定式



习例4-6

0 , ,

1 , ,

0 ^{0 0}的极限

未定式的      ^ 

及习例7-14

内容小结

课堂思考与练习

中 值定

理—L’Hospital

法 则

 



 





等 等价无穷小替换

重要极限 根式有理化

因式分解 未定式的极限求法

0 1 , 0 1

⁰

不易求得 等

但考虑 1 sin 1 , lim

sin , lim

4 3 0

0 x

x x

x x

x x











用前面的方法不易求得 而其它的如

次项 可比较分子分母的最高

如果是多项式分式

未定式的极限求法

, lim

: ,

2

2 0

x ex

x

，









Review :

0

.未定式 0的极限

一

L’Hospital法则 I：

; 0 )

( lim

, 0 )

( lim

) 1 (

0 0



 

 f x g x

x x x

x

设

; 0 )

( ,

)

~ , ( )

( )

( ) 2

( f x 与g x 在U x₀



内可导 且 g x  ),

) ( (

) lim (

) 3 (

0



 



 A 或

x g

x f

x x

).

) ( (

) lim (

) (

) lim (

0 0



 

 



 或

则 A

x g

x f

x g

x f

x x x

x

证明: lim ( ) 0, lim ( ) 0,

0 0



 

 f x g x

x x x

 x

. )

( ),

0 是f (x g x 的连续点或可去间断点

 x

, 0 )

( , 0 )

(

, _{0 0}

0 f x  g x 

x 为连续点 则 若

, 0 )

( , 0 )

(

, _{0 0}

0 f x  g x 

x 为可去间断点 则可补充定义使 若

),

~ ,

(x₀



U x 



; 0 )

( ,

,

) ( ), (

₀

 x  g

x x

x g x

f

且 开区间内可导

间上连续

为端点的闭区 与

在以 则

, ,

Cauchy中值定理 至少存在介于 ₀与 间的点 使得

由 x x



) , (

) ( )

( )

(

) (

) ( )

( ) (

0

0





g

f x

g x

g

x f x

f x

g x f



 



 

.

, ₀

0 x

x

x  ^{时 必有}



 且当

) (

) lim (

) (

) lim (

0

0





g

f x

g x f

x x x

x 

 

   ( )

) lim (

0





 g

f

x 

 

 .

) (

) lim (

0 g x

x f

x

x 

 



注意: (1) 极限过程还包括 x  x₀^, x  x₀^,

,



x x  , x  . 可再用法则得

法则的条件时 仍满足

当导函数

, Hospital

L )

( ),

( )

2

( f  x g x 

) . (

) lim (

) (

) lim (

) (

) lim (

0 0

0 g x

x f

x g

x f

x g

x f

x x x

x x

x 

 



 







如果有必要，还可接连三次、四次以至n次应用法则.

L’Hospital 法则习例 tan .

cos lim 1

.

1 ₂

x x

x





计算 例

sin . lim

.

2 ₃

0 x

x x

x

 计算 

例

1 .

arctan lim 2

. 3

x

x

x









计算

例

tan . cos lim 1

.

1 ₂

x x

x





计算 例

解:

) (tan

) cos 1

lim( tan

cos

lim1 _{2 2}



 

 



 x

x x

x

x

x  

x x

x

x 2

sec tan

2

lim  sin

 

2 ) ( cos

lim

3 x

x 

  .

2

 1

sin . lim

.

2 ₃

0 x

x x

x

 计算 

例

解:

) (

) sin lim(

lim sin ₃

3 0

0 

 

 



 x

x x

x

x x

x x

0 3 2

cos lim1

x

x

x

 



6.

 1

在运用罗必达法则 求极限过程中, 极 限存在并且不等于 零的因子可以提出 来, 这样可使问题 简化.

1 .

arctan lim 2

. 3

x

x

x









计算

例

解:

1) (

) arctan ( 2

1 lim arctan lim 2



 

 









x

x

x

x

x x





2 2

1 1

1 lim

x x

x 

 

  2

2

lim 1

x x

x 

   1.

L’Hospital法则 II:

; )

( lim

, )

( lim

) 1 (

0 0







 

 f x g x

x x x

x

设

; 0 )

( ,

)

~ , ( )

( )

( ) 2

( f x 与 g x 在U x₀



内可导 且 g x  ),

) ( (

) lim (

) 3 (

0



 



 A 或

x g

x f

x x

).

) ( (

) lim (

) (

) lim (

0 0



 

 



 或

则 A

x g

x f

x g

x f

x x x

x

.未定式 的极限

二 



注意: (1) 极限过程还包括 x  x₀^, x  x₀^,

,



x x  , x  . (2)法则II和法则I一样，也可连续应用几次.

) . (

) lim (

) (

) lim (

) (

) lim (

:

0 0

0 g x

x f

x g

x f

x g

x f

x x x

x x

x 

 



 





如 

L’Hospital 法则习例

例4. ln ( 0), (2) lim . lim

(1)

_x

n x

x e

x x

x







 _



 计算

例5. . 2 cot lim tan

2

x x

x_

计算

例6. ;(3) lim . sin

sin 1 lim

) 2 (

; lim

(1)

2

0

0 x x

x x

x x x

x e e

e e

x x x

e x











 

计算 

例4. ln ( 0), (2) lim . lim

(1)

x

n x

x e

x x

x







 _



 计算

解:

) (

) lim (ln

lim ln

(1) 

 







  

x x x

x

x

x ¹

1

lim _



  _



x x

x

. 1 0

lim 

 ^x



x

x n x x

n

x e

nx e

x ¹

lim lim

(2)









    ^  



 x

n

x e

x n

n( 1) ² lim

x ex

n! lim

  0.

. ln 趋于 的速度快得多 比

比

说明e^x xⁿ x 

例5. . 2 cot lim tan

2

x x

x_

计算

解:

x x x

x

x

x 2csc 2

lim sec 2

cot

lim tan ₂

2

2

2  



  x

x

x

2 2

2 2cos

2 lim sin

 



) sin (

cos 2

2

2 2

cos 2

sin lim 2

2 x x

x x

x    



 



. 1 2

2 cos lim 2

2









x

x 

例6. ;(3) lim . sin

sin 1 lim

) 2 (

; lim

(1)

2

0

0 x x

x x

x x x

x e e

e e

x x x

e x











 

计算 

解: (1)lim 0;

0 

 x

x e

x

; 1 0

sin sin sin lim

sin 1 lim

) 2

( 0

2

0    



 x x

x x x

x x

x x

cos ,

cos 1 sin 1

2 )

(sin

1 ) sin (

2

x

x x x

x

x x 

 



但 不能用L’Hospital法则.

) , (

) ) (

3

( _{x x}

x x

x x

x x

e e

e e

e e

e e











 

 

 

 ^不能用L’Hospital法则.

2 2

(1 )

: lim lim 1.

(1 )

用其它方法

x x x x

x x x x

x x

e e e e

e e e e

 

 

 

 

 

 

练习：1.

解

sin . ln

sin lim ln

0 bx

ax

x

求

ax bx

b

bx ax

a

x cos sin

sin lim cos

0 

  原式 

.

 1

) ( 



ax bx bx

bx ax

ax

x x

x cos

lim cos limsin

limsin

0 0

0  

  



洛

在使用罗必达法则 时 , 要注意进行化 简工作 , 它会使问 题变得简单 .

在运用罗必达法则求极限过程中, 极限存在并且不等 于零的因子可以提出来, 这样可使问题简化.

解

tan . lim tan₂

0 x x

x x

x

 求 

0 3

lim tan

x

x x

x

  原式 

x

x x

x 6

tan sec

lim 2

2

0



2 2

0 3

1 limsec

x x

x

 



x x

x

lim tan 3

1

0

 .

3

 1

练习2 ⁾

0 ( 0

洛

有 由等价无穷小替换,

洛

洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，

效果更好.例如:在运用罗必达法则求极限过程中, 尽可能运用等价无穷 小替代方法, 它往往可使问题得到明显的简化.

分析:

0

3

2

cos lim 1

x

x

x

 

 0 3

lim

x

 x

练习3.

原式

sin x

^～

x 1 cos

lim

0





x

x

x

x  sin

2 2 2 1 0

3 lim

x

x

 x

x cos

1 

^～ ₂¹

x

²

6

 1

6 1

x x

x x

x

x 0

sin

2

) sin (

lim cos



 

下面的介绍的是利用倒数法

或取对数法将其它的不定型

转化为可以运用罗必达法则

计算的例题 .

0 , ,

1 , ,

0

.未定式的 ^{0 0}的极限

三     ^ 

则 若 lim ( ) 0,lim ( ) , .

1 f x  g x  



 



 

0 - 0 - - ) (

1 ) lim (

) ( ) ( lim

x g

x x f

g x f



 







 - - - 

) (

1 ) lim (

) ( ) ( lim

x f

x x g

g x 或 f

则 若lim ( ) ,lim ( ) , .

2 f x   g x  

0. 0 0

0

0 0

0 1 0

) 1 ( )

( 



 













 g x x

f

. ,

)]

( [ lim .

3 对于幂指函数的极限 f x ^g(x) 有两种方法

)

)] (

( [ lim

(1) f x ^{g x}

, )]

( [

(2) 令 y  f x ^g(x) 则 ln y  g(x)ln f (x)  (0), .

)]

( [

lim f x ^g(x)  e^{lim ln y}





 















 

 



 







ln 0

1 ln

0 ln 0

1 0

0 0

取对数

 0   .

) ( ln )

lime^g(^{x f x}



例7.

例8. 1 . )

1 ln(

lim 1

0 

 



  x x

x

计算

例9. ).

(cot sin lim

2

0 x

x e

x x

  计算

例10. lim ^{ln( 1)} .

1

0





ex

x x

计算

例11. sin . lim

2

1

0









^

 



 

 计算 

习例 . lim ^{2 x}

x x^ e



求 

例12. , 0

, 2

0

) , 1

ln(

1 sin

)

( 







 







x x x

e x

x f

x

设

问 f (x)在 x=0处是否连续可导?

例13. 1) . (cos

lim

ⁿ²

n^ n

计算

例14. 0, , , . )

1 (

3 )

1 (

) 1

lim ( ₂

2 2

1 a b c

x

x c

x b x

a

x

求

设 

















例7 解

. lim ^{2 x}

x x^ e



求 

( 0   )

lim 2 x x

e

 x

 原式

lim 2

x x

e



 

.



用另一种形式颠 倒行不行 ?

行 , 但繁些 .

存在一个选择问 题.

lim 2

x x

e

 x



例8. 1 . )

1 ln(

lim 1

0 

 



  x x

x

计算

解:

) 1

ln(

) 1

lim ln(

1 )

1 ln(

lim 1

0

0 x x

x x

x

x ^x

x 



 



 

 ^

 



0 2

1 x

x x

x

) lim  ln( 



_



2.

 1

x x

x 2

1 1 1

0

 

 _ lim

0 1 0

1 









0 . 0

0 0



 

例9. ).

(cot sin lim

2

0 x

x e

x x

  计算

解:

x e x

x x e

x x

x

x sin

lim cos sin )

(cot lim

2

0 2

0

 

 



x e

x ^x

x

2

0

lim cos 

 

1 2 lim sin

2

0

x x

e x 

 



.

2



例10. lim ^{ln( 1)} .

1

0





ex

x x

计算

解: ^{ln( 1)} ,

1

 x ^ex 

令 y .

) 1 ln(

ln ln

 

e x

y x 则

) 1 ln(

lim ln ln

lim0  0 



 x x

x e

y x



1 1 lim0



 

x x x

e e

x

x x

x xe

e 1 lim0

 

 lim 1

0 

 x xex

x

. lim ^{ln( 1) 1}

1

0 x ^ex e e

x  

 ^



例11. sin . lim

2

1

0









^

 



 

 计算 

解: sin ,

2

1







^



 



 

令 y sin .

1 ln ln

₂ 



 



 







y



则

0 2 0

sin ln

lim ln ln

lim











 



 y











 2

sin cos 1

lim0



 











 2 sin

cos limsin ₂

0

 

 0 2 3

cos limsin











 



0 6 2

sin cos

limcos















 

 .

6

 1

sin .

lim ⁶

1 1 0

2

 e



 



 













例12. , 0

, 2

0

) , 1

ln(

1 sin

)

( 







 







x x x

e x

x f

x

设

问 f (x)在 x=0处是否连续可导? 解:  f (0)  2,

) 1

ln(

1 limsin

) (

lim0 0 x

e x x

f

x x

x 



 





x e x ^x

x



 



1 1 limcos

0  2,

), 0 ( 2

) (

lim0 f x f

x  

  故 f (x)在 x=0处连续.

0

) 0 ( )

lim ( )

0

( 0 

 

  x

f x

f f

x x

x e x ^x

x

) 2 1

ln(

1 sin

lim0

 





 

) 1

ln(

) 1

ln(

2 1

limsin

0 x x

x e

x ^x

x 







 



x x x

e x x ^x

x

 



 

 



) 1 1

ln(

1 cos 2

lim0

x x

x

e x

x ^x

x   





 

 (1 )ln(1 )

2 )

)(cos 1

lim(

0

1 1

) 1

ln(

) sin

)(

1 ( limcos

0   









 

 x

e x

x e

x ^{x x}

x .

2

 3

故 f (x)在 x=0处可导.

例13. 1) . (cos

lim

ⁿ²

n^ n

计算

解: 1 , cos

x2

y x 



 



 

令 1 .

cos ln

ln

² 



 



  x x 则 y

1) ln(cos lim

ln

lim ²

x x y x

x  

 0 2

1

) ln(cos lim t

t

t t x







t t

t

t 2

cos sin lim0



  .

2 1 cos

2 lim sin

0  



  t t

t

t

1 . cos

lim ²

2 1





  



 



  e

x

x x

. 1)

(cos

lim ²

2 1



 

 e

n

n n

注意对数列极限

未定式不能直接用 洛必达法则,而是要 将其转化为函数形 式

例14. 0, , , . )

1 (

3 )

1 (

) 1 lim (

2

2 2

1 a b c

x

x c

x b x

a

x

求

设 

















解: lim[ ( 1)² ( 1) ² 3] 0,

1       

 a x b x c x

 x

. 2 3

lim ²

1  



c  x 从而 x

2

2 2

1 ( 1)

3 )

1 (

) 1 lim (















 x

x c

x b x

a

x

) 1 (

2 ) 3 1 (

2 lim

2

1    

  x

x b x

x a

x 2

3 3 3

2

lim ²

2 2 2

1

 





 



x

x x x

a

x

.

 0

, 0 ]

3 )

1 (

2 [ lim

1 2

 





  x

b x x

a

x

由

2. 1 3

lim1 2

 



  x

b x

x

, 2 0

3 3 3

2

lim ²

2 2 2

1    





x

x x x

a

x

16. 3 )

3 (

2 3 3

lim ₂

2 2 2

1 

 







  x

x x x

a x

内容小结

洛必达法则

0

型

0

, 1 ,

0

^



 型



 0   型

0 型 0

 型



g

g f

f   1 f

g

f

g g

f 1 1

1 1



 



f

g

y 

令

取对数

求下列极限 :

];

1 ) 1

ln(

[ lim )

1

²

x

x x

x

 





解 :

 

t t t

t

) 1 1

1 ln(

lim

0 2





  0 2

) 1

lim ln(

t

t t

t



 



cos . sec

) 1

ln(

) 1

lim ln(

) 3

2 2

0 x x

x x

x x

x 













1 ; lim

)

2

²

1 0 100

x x

e x





] 1 )

1 ln(

[ lim )

1

²

x

x x

x









) 1

( lim 2

0 t t

t

t 

 



备用题

t

t

t

2

lim

¹

1

1 0

 ^ 



2

 1



1 )

( 令 t  x

令

1 ,

x2

t  ^则

t t

e t

^





lim

50

原式 = _t

x e

t⁵⁰

lim



 

 0

 

t et

t⁴⁹

lim 50



 

2

1 0 100

lim 1 )

2

^x

x

e x





解:

t et

! lim 50



 

(用洛必达法则)

(继续用洛必达法则)

x x

x x

x

sec cos

] )

1 lim ln[(

2 2

2

0 







x x

x x

x

sec cos

) 1

( lim ln

4 2

0 



 

 x x

x x

x

lim sec cos

4 2

0 

 



0

lim





x

 

1 sec

4 2

lim sin

2

2

0 

 

  x

x x

x

x

x x

x x

x x

x

sec cos

) 1

ln(

) 1

lim ln(

) 3

2 2

0 













解: 原式 =

4

3

2 x  x

x

x tan

sec

Guillaume De l'Hôpital 1661 - 1704

Actually, L’Hôpital’s Rule was developed by his teacher

Johann Bernoulli. De l’Hôpital paid Bernoulli for private

lessons, and then published the first Calculus book based on

those lessons.

洛必达法则（l'Hôpital's rule）是利用 导数来计算具有不定型的极限的方法

。这法则是由瑞士数学家约翰·伯努 利（Johann Bernoulli）所发现的，

因此也被叫作伯努利法则（

Bernoulli's rule）。

洛必达

(1661 – 1704)

法国数学家, 他著有《无穷小分析》

(1696), 并在该书中提出了求未定式极

限的方法, 后人将其命名为“ 洛必达法

的摆线难题 , 以后又解出了伯努利提出的“ 最速降 线 ” 问题 , 在他去世后的1720 年出版了他的关于圆 锥曲线的书 .

则 ”他在. 15岁时就解决了帕斯卡提出