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中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

3.1 3.1 不定积分 不定积分

高等数学 A

第 第 3 3 章 一元函数积分 章 一元函数积分 学 学

3.1.6 有理函数的分解 3.1.7 有理函数的积分

3.1.8 三角函数的有理式的积分

3.1 不定积分

有理函数的定义

有理函数的分解 有理函数的性质

3.1.6 有理函数的分解

3.1.7 有理函数的积分 ^{有理函数的积分法}

有理函数积分习例 2-7

3.1.8 三角有理式的积分 ^{三角有理式的积分法}

三角有理式积分习例 8-10

几 类 特 殊 函 数 的 不 定 积 分

1. 有理函数的定义

).

,

; ,

; 0 ,

0 (

) (

) (

0 0

1 1

0

1 1

0

为非负整数 n

m R

b a

b a

b x

b x

b

a x

a x

a x

Q x P

i i

m m

m

n n

n

















 





. ,当 时称为真分式 时称为假分式

当n  m n  m 形如

的多项式分式称为有理函数。

一、有理函数的分解

2. 有理函数的性质

(1) 任何有理假分式可化为多项式与有理真分式的和 . (2) 实系数多项式函数 Q(x) 在实数范围内可分解为一次 因式与二次因式的乘积 .

.

) (

) , (

) ( (3)

的简单部分分式之和

可化为下列四种类型 有理真分式

分解后 Q x x x P

Q

) . IV.(

; III.

) ;

II.(

; I.

2

2 k

k

q px

x

N Mx

q px

x

N Mx

a x

A a

x A

















) ; (

) (

:

, ) (

) (

2 2 1

k k k

a x

A a

x A a

x A k

a x

x Q

 

 

 



 个部分分式之和

则分解后有下列 中含有

若

) . (

) (

:

, ) (

) (

2 2

2

2 2

2

1 1

2

k k k

k

q px

x

N x

M q

px x

N x

M q

px x

N x

M k

q px

x x

Q





 

 



 











 个部分分式之和

则分解后有下列 中含有

若

3 2

2 3

(1) 2

x

x x x



 

例 1 利用待定系数法将下列有理函数分解为简 单部分分式之和

3

(2) 4 .

4 dx x  x



3

3

(3) 1 .

( 1)

x dx

x x





3. 有理函数的分 解

3 2

2 3

(1) 2

x

x x x



 

解 ,

) 2 )(

1 (

3 2

2 3 2

2

3  

 







x x

x

x x

x x

 x

2 1

) 2 )(

1 (

3 2

 

 

 





x C x

B x

A x

x x 设 x

) , 2 )(

1 (

) 1 (

) 2 (

) 2 )(

1 (















 

x x

x

x Cx x

Bx x

x A

).

1 (

) 2 (

) 2 )(

1 (

3 2

x   A x  x   Bx x   Cx x  则

2 , 3

,

0  

 A

x 得

令

3, 5

,

1 

 B

x 得

令

6. 1

,

2  



 C

x 得

令

), 2 (

6

1 )

1 (

3

5 2

3 2

3 2

2

3  

 



 



 

x x

x x x

x

x

).

1 (

) 2 (

) 2 )(

1 (

3 2

x   A x  x   Bx x   Cx x 

则

3

(2) 4 .

4 dx x  x



解 ,

) 4 (

4 4

4

2

3  

 x x x

 x

4 )

4 (

₂4 ₂



 

  x

C Bx

x A x

设 x

) 4 (

) (

) 4 (

2 2







 

x x

C Bx

x x

A

) , 4 (

4 )

(

2 2







 

x x

A Cx

x B A















4 4

0

0 A

C

B A

从而 















0 1 1 C

B A

, 4 )

( 4

 A  B x²  Cx  A 得

4, 1

4 4

2

3   

 

x x x

x x

3

3

(3) 1 .

( 1)

x dx

x x



 

解 ³ _{3 2 3}

) 1 (

) 1 1 (

) 1 (

1

 

 

 

 



x D x

C x

B x

A x

x 设 x

) , 1 (

) 1 (

) 1 (

) 1 (

3 2 3













 

x x

Dx x

Cx x

Bx x

A

, )

1 (

) 1 (

) 1 (

1

x³   A x  ³  Bx x  ²  Cx x   Dx 得

, 1

,

0  

 A

x 得

令 令 x  1 ,得 D  2,

















0 2

3

1

C B

A B A







 

1 2 C

, B

2

3与 的系数得

再比较x x

3

3 2 3

1 1 2 1 2

( 1) 1 ( 1) ( 1)

x

x x x x x x

      

   

有理函数的积分可转化为计算简单有理分式的积分如下 ,

ln x a C a

x

dx   



), 1 (

) )(

1 (

1 )

( ¹  



 

 ^



qdx px

x

M x N

dx M q px

x

N

Mx





 

 





2 2

2 2 2

q dx px

x

M p p N

M x







 

 ₂ 2 )

( )

2 ( 2

二、有理函数的积分 1. 有理函数的积分法







 x px q

dx N Mp

q px

x

q px

x d M

2 2

2

2 ) ) (

( 2



 











4 ) (

2) (

2) (

2 ) (

2 ln ₂ ²

2

q p x p

x p Mp d

N q

px M x

q px

M x  

 ln ² 2

, 4

arctan 2 4

) 1

( 2 _{2 2} C

q p x p

q p

N Mp 













q dx px

x

N Mx

 ₍ 2 _ ^ _{ )}k



 _^ _^{   } _{ }



 _{k k}

q px

x

dx N Mp

q px

x

q px

x d M

) ) (

( 2 )

(

) (

2 ^{2 2}

2

1

2 )

)(

1 (

1

2     ^

 _k

q px

x k

M

. 4 )]

( 2)

[(

2) (

2 )

( ₂









 





p k

p q x

x p Mp d

N

这里的最后一项可用下面的递推公式算出（上节课的例 18 ）



 



  



 ₂  _{2 2 1} (2 3) _1 )

( ) 1 (

2

1

n n

n n I

a x

x n

I a

2. 有理函数的积分习例

有理函数积分的一般步骤：

先把被积函数化为部分分式之和 ( 利用待定系数法 ), 然后积分 .

xdx x

x



例2 例

3

例6 例4

例7 例5

xdx



x dx x



计算 dx

x x



x dx



计算 dx

x



解 利用有理函数的分解，得

3 2

2 3 3 5 1

2 2 3( 1) 6( 2) , x

x x x x x x

    

   





 dx

x x

dx x x x

x

x ]

) 2 (

6

1 )

1 (

3

5 2

[ 3 2

3 2

2 3

. 2

6ln 1 1

3ln ln 5

2

3 x  x   x   C





xdx x

x



例 2 计算

解 ₃ 4 1 ₂

4 4 ,

x x x  x x

 



x dx x dx x

x

x )

4 (1

4 4

2

3











 4

) 4 (

2 1 1

2 2

x x dx d

x

. 4

2ln

ln x  1 x²   C



例3 ^计算



解

3

3 2 3

1 1 2 1 2

( 1) 1 ( 1) ( 1) ,

x

x x x x x x

     

   



x dx x

x dx x

x x

x 

 _^{   } _ ^ _ ^ _

 ]

) 1 (

2 )

1 (

1 1

2 [ 1

) 1 (

1

3 2

3 3

) . 1 (

1 1

1 1 ln

2

ln ₂ C

x x x

x 

 

 









注意 :

(1)总之 , 有理函数的不定积分都已解决 , 其原函数都是初 等函数 .

(2) 并非所有有理函数的不定积分都用此方法，有时用 别的方法更方便 .

例4

x dx x



) 1 (

计算 1

解

 ³ _ ^ _ ¹ ₁ ^  ⁽

_ ^ _ ^ ₁ ^{1 )}

3

2

x x

x x

dx d x

x

x

. 1

ln x

 x   C



例5

dx

x x

 ³

x _ ^ _ ¹ ₁

计算

解 dt t

dx t x

x ^{x t}





10

3 ( 1)

) 1 (

t dt

t t



 ³ 3 ²₁₀ 3 1

dt t

t t



 ( ⁷ 3 ⁸ 3 ^{9 10})

C t

t t

t    



 ^{6 7 8 9} 9 1 8

3 7

3 6

1

) . 1 (

9

1 )

1 (

8

3 )

1 (

7

3 )

1 (

6

1

9 8

7 6

1 C

x x

x x

t

x 

 

 

 

 

^{ } 例6

x dx



) 1 计算 (

解 dt t

dx t x

x

x t







10 1 9

10 2) 1 2

(

1

10

2 10

1

1 10

1 dt





 (1 2 )

2 1

1 20

1 ₁₀

10d t

t 

 





C t 





 ln1 2 ¹⁰ 20

1

2 . 1

20ln 1

10 1

x C

x t











例7 dx

x



计算

dx nx mx

dx x

x

R





(1)

dx nx



 sin sin 或

dx nx



 cos cos 或

方法 : 用积化和差公式进行恒等变形后 , 再凑微分 . dx

x dx

x x

R





(2)

dx

m x



 cos 或

方法 :

; ,

1 cos

sin

,用 ^{2 2} 变形后 再凑微分

为奇数时

当m x  x 

. ,

,用倍角公式降幂后 再凑微分 为偶数时

当m

三、三角函数有理式的积分 1. 三角函数有理式的积分法

xdx x

dx x

x

R(sin ,cos ) sin^m cosⁿ

(3)





方法 :

;

, 1

cos sin

,

, ^{2 2}

的积分 再凑微分化为有理函数

变形后 用

中有一个为奇数时

当m n x  x 

. ,

,

, 都是偶数时 用倍角公式降幂后 再凑微分 当m n

dx x

x



(4)

, tan 2

1

tan 2 2

sin

2 x x x



  ,

tan 2 1

tan 2 1

cos

2 2

x x x



 

, arctan 2

2 , tan

x x u

u  得 

令 .

1 2

u2

dx du

 















 



 

 



2 2 2 2

1 2

1 cos 1

1 sin 2

u dx du

u x u

u x u

———— 万能代换 .

方法 : .

1 ) 2 1

,1 1

( 2 )

cos ,

(sin _{2 2}

2 2

tan2

u du u

u u

R u dx

x x

R

u x









dx x x



(5) 令u  sin x

dx x x



dx x

x R

dx x

R





(6) 或 ^{2 2} 令u  tan x

2. 三角有理式的积分习例

例8

例9

例 10

解





d x

x) cos cos cos

1

( ^{2 3 6}







x d

x x

x

x 3cos cos ) cos cos cos

3 1

( ^{2 4 6 6}







x d

x x

x

x 3cos 3cos cos ) cos cos

( ^{6 8 10 12}





. 13cos

cos 1 11

cos 3 9

cos 3 7

1 _{7 9 11 13}

C x

x x

x    



 例8

解





x dx

x





 sin⁴ sin⁶

x dx x dx





 ² )³

2 2 cos (1

2 ) 2 cos (1

dx x



 (1 2cos2 cos 2 ) 4

1 ₂

dx x

x



 (1 3cos2 3cos 2 cos 2 ) 8

1 _{2 3}



  例9

解 dx x dx x

dx x x

x

 







 x

x dx d

x 3 cos

) cos 3

( cos

3

3

x xdx ln 3 cos cos

3

3  





从而

 



 

 



u du u

dx u x

u x

2 2

2 tan2

1 2 1

3 1

3 cos

3

3 例 10

u du



 2

3

2

u  C

 arctan 2 2

3

x  C

 )

tan 2 2

arctan( 1 2

3

C x x

xdx

x    







tan 2 2

arctan( 1 2

3 cos

3

sin 3