龍騰文化學科能力測驗全真模擬試卷數學考科解答卷

全文

(1)龍騰文化學科能力測驗全真模擬試卷數學考科. 解答卷. 答案第壹部分：選擇題一、單選題 1.. 2.. 3.. 4.. 5.. 6.. 2. 1. 4. 4. 2. 4. 二、多選題 7.. 8.. 9.. 10.. 11.. 12.. 134. 124. 15. 245. 5. 1345. 第貳部分：選填題 13.. 14.. 15.. 16.. 17.. 18.. 19.. 20.. 21.. 22.. 23.. 24.. 25.. 26.. 27.. 28.. 29.. 30.. 31.. 32.. 1. 2. 5. 8. 1. 5. 0. . 3. 1. 2. 2. 1. . 4. 3. 1. 9. 4. 4. 解析 1.. 因為 E1 與 E2 互相垂直﹐所以. x 0 1 2 3 4 f  x  28 27 20 1 36.  2,0, 1  1,2, k   0  2  0  k  0  k  2 ﹒. 根據勘根定理﹐因為 f  3 f  4  0 ﹐所以 3    4 ﹒. 因此﹐原點到 E1 的距離與到 E2 的距離分別為. d1 . d2 . 5 22  02   1. 3 1 2 2 2. 2. 2. 2. . . 故選(4)﹒. 5  5﹔ 5. 4.. 3 1﹒ 3   由題意﹐推得  a  c   c ﹒因此  . d 得比值為 1  5 ﹐故選(2)﹒ d2 2..  4, k  1, 4  3, 1,1  0  7  k  0 ﹐. 分二類﹕. 解得 k  7 ﹐故選(4)﹒. (1) 傘數中有 0 ﹕有 C 52 1  10 個﹒ 5.. (2) 傘數中無 0 ﹕有 C  2!  20 個﹒ 5 3. 2. . 共 10  20  30 個﹐故選(1)﹒ 3.. 設 P  x, y  ﹒因為 PA  PB  4 ﹐所以. 令 f  x    x  1  x  x  1  29 ﹒ 2.  x  1. 2.  y2.   2. . 2. x 2   y  1. 2.  4 2.   x 2  2 x  1  y 2    x 2  y 2  2 y  1  4. 計算函數值﹕. -1-. 8794-A1. N.

(2) 虛線為 y   x  x  1 x  2 的圖形.  x y 2﹒ 即 P 點在直線 x  y  2 上﹒. (1) 由 y  f  x  的圖知 a  b  c  0 ﹒. 因為直線 x  y  2 與圓 x  y  4 有兩個交點﹐. (2) 因為 a, b, c 是二正數一負數﹐所以 abc  0 ﹒. 如圖所示﹐. (3) 由 y  g  x  的圖知此選項正確﹒. 2. 2. (4) 因為  ,  ,  中僅  為正﹐所以恰一正根﹒ (5) 由圖知 a, b, c 與  ,  ,  不相同﹒ 故選(1)(3)(4)﹒. 所以滿足條件的 P 點有 2 個﹒故選(2)﹒ 6.. 8.. 1 2 1  2 0 1 依題意及  BA  A1B1 ﹐得   B  0 1  ﹒ 3 4   . a1   a1  d    a1  2d    a1  3d   6  a1  3 ﹒. 又因為 a1, a4 , a13 成等比數列﹐所以 a4 2  a1  a13 ﹐即. 因此.  3  3d . 1  4 1  1 2  2 0 1  4 2  2 0  B 1     1  ﹒  0 1  3 1   0 1   3 4  2 3          2  .  1 1 1  得 B   B 1    2 1   3. 2.  3 3  12d   d 2  2d  0 ﹐. 解得 d  2 或 0 （不合）﹒ (1) a3  a1  2d  7 ．.  1  1  1 ﹐  2    4  3 4. (2) 因為 an  a1   n 1 d  3   n 1  2  2n 1﹐ 所以 an 為奇數﹒. 1 17 即 4 個元的總和為  1  3  4  ﹒故選(4)﹒ 2 2 7.. 設公差為 d ﹒因為 S3  a4  6 ﹐所以. n  a1  an  n  3   2n  1    n  n  2   n 2  2n ﹒ 2 2. (3) Sn . 將 y  x  x  1 x  2 與 y   x  x  1 x  2 的圖形分.  S   n 20. (4). 別向上平移 0.01 單位﹐. 20. n. n 1. 可得 y  f  x 與 y  g  x  的圖形﹐如下圖所示﹒. n 1.  20. (5).  2n    n2  2 n 20. 20. n 1. n 1. 20  20  1 40  1 6 20. 1. 2. 1.  2. 1. 20  20  1 2. 1.  S   n  n  2   1 3  2  4  n 1. . n 1. n. 1 1 1 1 1 1 1         2 1 3 2 4 3 5. .  3290 ﹒. 1 20  22. 1 1    20 22 . 1 1 1 1 1  1 1 1  3          ﹒ 2  1 2 21 22  2  1 2  4 故選(1)(2)(4)﹒ 9. 虛線為 y  x  x  1 x  2 的圖形. (1) 代公式 m  r .  y 3 ﹐得  0.75 y   y  8 ﹒ 2 4 x. (2) 因為 x . 5 5 x ﹐所以  x   x  5 ﹒ 4 4. (3) 因為 x . 5 x ﹐ y  y ﹐所以 r  r  0.75 ﹒ 4. (4) m  r .  y 8 6 3  0.75    ﹒  x 5 5 2. (5) 因為點  x, x  都落在斜率為. x . 5 （正）的直線 4. 5 x 上﹐ 4. 所以此兩資料為完全正相關﹐即相關係數為 1 ﹒. -2-.

(3)  220 ﹒. 故選(1)(5)﹒ 10.. 設原點到直線 L 的距離為 d ﹒由圖 1﹐得. (3) 因為當 n 是 5 的倍數或被 5 除餘 4 時﹐. 弦長  2 25  d 2 ﹒. an 為 5 的倍數﹐所以. 因為弦長小於 8 ﹐且 0  d  5 ﹐所以. b1  a4 ﹐ b2  a5 ﹐ b3  a9 ﹐ b4  a10  55 ﹐. 2 25  d 2  8  25  d 2  16  3  d  5 ﹐. (4) b40  b220  a520  a100 ﹒. 因此﹐如圖 2（內圓為 x 2  y 2  9 ﹐外圓為 x 2  y 2  25 ）﹐. (5) b99  b2501  a550 1  a249 ﹒. 只要是不碰內圓且通過圖中環狀區的非切線 L ﹐皆滿. 故選(1)(3)(4)(5)﹒. 足條件﹒. x. A.. x. 1 1 令 y     k ﹐即 y     k ﹒ 2 2 x. 1 其圖形為 y    的圖形向上平移 k 單位﹒ 2 由右圖得知﹐ 當通過可行解區域的頂點 1,1 時﹐ 圖1. 圖2. k 有最大值﹐. 將 5 個選項的圖形一一畫在圖 2﹐. 1. 1 1 且最大值為 1     ﹒ 2 2. 即可判定選項(2)(4)(5)正確﹒ 11.. b cos  3  2  cos  6cos  6 ﹒. (1) a  b  a. B.. 的情形有. (2) 因為  2, 1,  2   3, 2,1  2  0﹐. 甲,乙  3,3 , 3,4,. 這與「 a 與 a  b 垂直」矛盾﹐所以不可能﹒.  5, 4,7  .  4,3 ,  4,4 ,  4,5,. b sin  6sin  6﹐但. (3) 因為 a  b  a.  5,4 , 5,5 , 5,6 ,  6,5 ,  6,6 ﹒. 52   4  72  3 10  6 ﹐ 2. 共 2  3  3  2  10 種﹐所以 P . 所以不可能﹒. b cos  6 cos  4﹐. (4) 因為 a  b  a. C.. 10 5  ﹒ 16 8. 令 log 4 a  log8 b  log16 5a  4b   k ﹐則 a  4k ﹐ b  8k ﹐ 5a  4b  16k ﹒. 2 即 cos   ﹐ 3. 設 x  2k ﹒因為 5  4k  4  8k  16k ﹐所以. 所以 a 與 b 不平行﹒因此﹐ a  b 不是 0 ﹒. 5x2  4 x3  x4  x 2  x 2  4 x  5  0  x2  x  1 x  5  0 ﹐ 解得 x  0, 1,5 ﹒因為 x  0 ﹐所以 x  2k  5 ﹐因此. b sin  6sin  6 ﹐. (5) 因為 a  b  a. a  52  25 ﹐ b  53  125 ﹐. 即 sin  1 ﹐. 故 a  b  150 ﹒. 所以   90 ﹐即 a 與 b 垂直﹒. D.. 因此﹐ a  b  0 ﹒. (1) a20  1  2 . 得 mn4﹒.  20 . (2)因為 ak  1  2  10. a k 1. k. 因為焦點相同﹐所以橢圓與雙曲線的 c 相等﹐即. c  m 1  n  3 ﹐. 故選(5)﹒ 12.. 因為樣本空間的個數 n  S   4  4  16 ﹐且「心有靈犀」. 20  20  1. k . 2 k  k  1 2. 令 s  PF1 ﹐ t  PF2 且 s  t ﹐.  210 ﹒. 利用橢圓與雙曲線的定義﹐得.  s  t  2 m s m n ﹐t  m n ﹒   s  t  2 n. ﹐所以. 10 1  10    k 2  k  2  k 1 k 1 . 再利用餘弦定理﹐得. 1  10 10  1 20  1 10 10  1      2 6 2 . cos F1PF2 . -3-. s 2  t 2   2c  2st. 2.

(4)   . m  2.  . . mn  n  m  2 mn  n  4  n  3 2 m  n.  3 . 5 4 ﹒  3 3. 2m  2n  4  n  3  2 4 2  n  4   2n  4  n  3 . . 8. 4 1  ﹐ 8 2. 得 F1PF2  120 ﹐故 tan F1PF2   3 ﹒ E.. H.. 因為 AEF 為鈍角﹐所以. cos AEF . . x 2  22.   2. . 3  x . 2 x 2  2. 2.  12. 2. . 2. .  10 .  3  x   12 2. 則 xy  2400 ﹒. 2. 兩塊矩形綠地的總面積為. 0.  x  6 y  4  xy  4x  6 y  24  2424  2 2x  3 y  ﹒.   x 2  4  10  6 x  x 2   10  0. 利用算幾不等式﹐得.  x 2  3x  2  0. 2x  3 y  6 xy  120  2 x  3 y  240 ﹒ 2.   x  1 x  2  0. 得知當 2 x  3y  120 ﹐即 x  60 ﹐ y  40 時﹐. 解得 1  x  2 ﹒ F.. 2 x  3 y 有最小值 240 ﹒. 二次不等式的解為. 故兩塊矩形綠地的總面積有最大值. 6  36  4a 6  36  4a x 2 2. 2424  2  240  1944 平方公尺﹒. 36  4a 36  4a  x  3  3 ﹐ 2 2 因為恰 3 個整數解﹐所以. 1. 36  4a 2 2.  2  36  4a  4  4  36  4a  16 5 a 8﹒ 又因為 a 為整數﹐所以 a  6,7,8 ﹐其總和為 21 ﹒ G.. 設矩形休閒廣場的長﹑寬分別為 x, y 公尺﹐. 1 令 AB  AC  k ﹒因為 BD  AC   ﹐所以 2 1    BA  AD   AC   2   2.   AB  AC +  k  k  . 1 1 AC   2 2. k 2  k 2  22 1 2 1  k  2 k  k 2 2. 2k 2  4 1 2 1  k  2 2 2.  k 2  4  1 k  5﹒ 因此﹐. 1   CE  AB   CA  AE   AB   AC  AB  AB 3  .  5   5 5 2.   5. 2.  22. 2 5  5. . 1 3. 2.  5. 2. -4-.

(5)