PDF 學科能力測驗模擬試題 數學科

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答 案 第壹部分 第壹部分 第壹部分

第壹部分： ： ：選擇題 ： 選擇題 選擇題 選擇題

1. 4 2. 5 3. 2 4. 5 5. 1 6. 5 7. 3 8. 1345 9. 14 10. 12345

11. 25 12. 12345 13. 12345

第貳部分 第貳部分 第貳部分

第貳部分： ： ：選填題 ： 選填題 選填題 選填題

14. 4 15. 5 16. － － － － 17. 2 18. 2 19. 0 20. 9 21. 1 22. 6 23. 7

24. 1 25. 9 26. 5 27. 1 28. 1 29. 9 30. 1 31. 6 32. 9 33. － － － －

34. 1 35. 1 36. 0 37. 8

解 析

第壹部分 第壹部分 第壹部分

第壹部分： ： ： ：選擇題 選擇題 選擇題 選擇題 1.

4

概念中心 Σ的概念

解析 a₁₀＝

∑

k＝1 10

a_k－

∑

k＝1 9

a_k

＝( 100＋10－10² )－( 100＋9－9² ) ＝－18，

選(4)。

2.

5

概念中心 柯西不等式 解析 由



3x－y＋z＝－8

x＋4y－z＝3 消去z，得4x＋3y＝－5

∵ ( x²＋y² ) ( 4²＋3² ) ≥ ( 4x＋3y )²＝( －5 )²

∴ x²＋y²≥ 1

“＝”成立時， x 4 ＝ y

3 ， 得x²＋y²的最小值為1。

選(5)。

3.

2

概念中心 (1) 對數性質：log _a A＋log _a B＝log _a AB，

log a Aⁿ＝n．log _a A (2) 換底公式：log _a A＝ log b A

log b a 解析 所求式＝( 3 log ₉ 2 ) ( log 2 3＋log ₂ 27 )

＝( 3 log ₉ 2 ) ( log 2 81 )＝3 log ₉ 81 ＝3．2＝6，

選(2)。

4.

5

概念中心 排列組合

解析 ○1 甲□…□ 甲的緊鄰右邊不排乙、丙 ⇒ C⁵1×6！＝3600。

○2 □…□甲 甲的緊鄰左邊不排乙、丙 ⇒ C⁵1×6！＝3600。

○3 …□甲□… 甲的緊鄰左、右不排乙、丙 ⇒P⁵2×5！×6＝14400。

有3600＋3600＋14400＝21600 (種)。選(5)。

學 科 能 力 測 驗 模 擬 試 題 數學科

南一大考教學誌

14

5.

1

概念中心 二項式定理的應用 解析 3¹⁰⁰＝9⁵⁰＝［10＋( －1 )］⁵⁰

＝C⁵⁰0．10⁵⁰＋C⁵⁰1．10⁴⁹．( －1 )＋…＋

C⁵⁰48．10²．( －1 )⁴⁸＋C⁵⁰49．10．( －1 )⁴⁹＋ C⁵⁰50．( －1 )⁵⁰

＝100×( 正整數P )－500＋1 ＝100×( P－5 )＋1

∴ 3¹⁰⁰以100除之，餘數1 選(1)。

6.

5

概念中心 平行四邊形面積＝| OA×OB |

＝ | OA |² | OB |²－( OA．OB )² 解析 ＜法一＞

所求＝ | OA |² | OB |²－( OA．OB )² ＝ 14×21－81 ＝ 213 。

＜法二＞

OA×OB

＝(

 

 

1 3

2 －1 ,

 

 

3 －2

－1 4 ,

 

 

－2 1

4 2 )

＝( －7 , 10 , －8 )，

所求＝| OA×OB |＝ 49＋100＋64 ＝ 213 。 選(5)。

7.

3

概念中心 (1) 平面ax＋by＋cz＋d＝0的法向量為 ( a , b , c )

(2) 二向量n1與n2的夾角θ，則 cosθ＝ n₁．n₂

| n₁ | | n₂ |

解析 二平面的法向量分別為n₁＝( 3 , －1 , 2 )，

n₂＝( 1 , 4 , 1 )，其夾角α，

cosα＝ n₁．n₂

| n₁ | | n₂ | ＝ 3－4＋2

14 × 18 ＝ 1 6 7

∵θ＝α或θ＝180°－α

∴ sinθ＝sinα＝ 1－cos²α ＝ 251 252 選(3)。

8.

1345

概念中心 因式分解公式的應用：

a²－b²＝( a－b ) ( a＋b ) a³－b³＝( a－b ) ( a²＋ab＋b² ) a³＋b³＝( a＋b ) ( a²－ab＋b² )

解析 (1) 1238²－943²＝( 1238－943 ) ( 1238＋943 ) ＝295×( 1238＋943 )。

(2) 2¹⁰＋3¹⁰＝1024＋59049

＝60073←不是5的倍數。

(3) 373³－218³

＝( 373－218 ) ( 373²＋373．218＋218² ) ＝155×( 373²＋373．218＋218² )。

(4) 37³＋28³＝( 37＋28 ) ( 37²－37．28＋28² ) ＝65×( 37²－37．28＋28² )。

(5) 3⁶＋2¹²＝9³＋16³

＝( 9＋16 ) ( 9²－9．16＋16² ) ＝25×( 9²－9．16＋16² )。

選(1)(3)(4)(5)。

9.

14

概念中心 了解二次與三次函數，指數與對數函數，

二次曲線的基本圖形 解析 y＝| x－1 |，

當x ≥ 1時，

y＝x－1；

當x ≤ 1時，

y＝1－x，

圖如右：

作圖如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

選(1)(4)。

15

10.

12345

概念中心 內分點公式：

點P在 AB 上， AP ： PB ＝m：n，

則OP＝ n

m＋n OA＋ m m＋n OB 解析 利用內分點公式：

OC＝ 2

3 OA＋ 1 3 OB， 得右圖：

OD＝ 5

3 OB－ 2

3 OA⇒ OB＝ 2

5 OA＋ 3 5 OD， 得右圖：

綜合上述得下圖：

選(1)(2)(3)(4)(5)。

11.

25

概念中心 餘弦定理的應用：

△ABC 中， AB ＝c 最大邊，∠C 為鈍角

⇔ c²＝a²＋b²－2ab cos C＞a²＋b² 解析 △ABC中，最大邊c，∠C為鈍角

⇔ c²＞a²＋b²。

(1) 5²＝3²＋4²，直角△。

(2) 6²＝36＞34＝3²＋5²，鈍角△。

(3) 6²＝36＜41＝4²＋5²，銳角△。

(4) 7²＝49＜52＝4²＋6²，銳角△。

(5) 9²＝81＞74＝5²＋7²，鈍角△。

選(2)(5)。

12.

12345

概念中心 橢圓

解析 ( －2 , 0 )，( 0 , 3 ) 代入Γ，得A＝4，B＝9

⇒ 橢圓Γ： x² 4 ＋ y²

9 ＝1，

長軸長＝2×3＝6，短軸長＝2×2＝4，

如右圖，

由長方形(虛線部分)

⇒ 橢圓之周長小於 4．( 2＋3 )＝20，

由圓(虛線部分)

⇒ 橢圓的面積大於 π．2²＝4π，

橢圓Γ對稱於原點

⇒ 點 ( －p , －q ) 也在橢圓Γ上。

選(1)(2)(3)(4)(5)。

13.

12345

概念中心 二元一次方程組



 ax＋by＝c px＋qy＝r (1) 無解 ⇔ a

p ＝ b q ≠ c

r

(2) 有無限多組解 ⇔ a

p ＝ b q ＝ c

r

(3) 恰有一組解 ⇔

 

 

a b p q ≠0 解析 (1)(2)(3)(4)



x＋4y＝1

ax－8y＝b 無解 ⇔ 1 a ＝ 4

－8 ≠ 1 b

∴ a＝－2，b≠－2



x＋4y＝1

3x＋cy＝d 不只一組解 ⇒ 有無限多組解

⇒ 1 3 ＝ 4

c ＝ 1

d ∴ c＝12，d＝3 (5) 2ax＋by＝1

cx＋2dy＝－5⇔



－4x＋by＝1 12x＋6y＝－5

 

 

－4 b

12 6 ＝－24－12b＝－12 ( b＋2 )≠0 ⇒ b≠－2

選(1)(2)(3)(4)(5)。

第貳部分 第貳部分 第貳部分

第貳部分： ： ： ：選填題 選填題 選填題 選填題 A.

4

概念中心 (1) 二次式的分解 (2) 一次不等式的解法

解析 x²－2x－8＝( x－4 ) ( x＋2 ) ⇒p＝－4，q＝2，

| x－p |＜q ⇔ | x＋4 |＜2 ⇔ －2＜x＋4＜2 ⇔ －6＜x＜－2

∴ 長度為 ( －2 )－( －6 )＝4

B.

5

概念中心 (1) 平行移動的概念 (2) ax²＋bx＋c＞0恆成立 ⇔ a＞0且b²－4ac＜0 解析 y＝x²＋4x向上平移k單位，

得新圖形為y－k＝x²＋4x，即y＝x²＋4x＋k，

y＝x²＋4x＋k的圖形在直線y＝2x＋3的上方

⇒( x²＋4x＋k )－( 2x＋3 ) ＝x²＋2x＋( k－3 )＞0恆成立

∴ 判別式2²－4 ( k－3 )＝16－4k＜0，得k＞4 k的最小整數值為5。

C.

( － － －2 , 20 ) －

概念中心 (1) 實係數多項方程式若有虛根，

則必有共軛虛根

(2) ax³＋bx²＋cx＋d＝0三根α、β、γ ⇒α＋β＋γ＝－ b

a

解析 ∵ f (x)＝x³－4x²＋ax＋b＝0為實係數方程式，

有3＋pi與q－i的複數根，必為共軛複數

∴ q＝3，p＝1，即二複數根為3＋i，3－i 另一實根為α

⇒ 三根和4＝α＋( 3＋i )＋( 3－i )

⇒α＝－2，

f (x)＝( x＋2 )［x－( 3＋i )］［x－( 3－i )］

＝( x＋2 ) ( x²－6x＋10 ) ＝x³－4x²－2x＋20

∴ ( a , b )＝( －2 , 20 )

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16

D.

91 671

概念中心 (1) P ( A´ )＝1－P ( A ) (2) P ( B | A )＝ P ( A∩B )

P ( A ) (3) 獨立事件

解析 設四次中至少一次出現過5點的事件為A，

四次中第三次出現2點的事件為B。

所求機率為

P ( B | A )＝ P ( A∩B ) P ( A )

＝ P ( B )－P ( A´∩B ) 1－P ( A´ )

∵ P ( A´ )＝( 5 6 )⁴， P ( B )＝1×1× 1

6 ×1＝ 1 6 ， P ( A´∩B )＝ 5

6 × 5 6 × 1

6 × 5 6 ＝ 5³

6⁴

∴ P ( B | A )＝

1 6 － 5³

6⁴ 1－( 5

6 )⁴

＝ 91 671

E.

9， ， ，5 ，

概念中心 相關係數 解析 相關係數r

＝

∑

i＝1 8

( xi－μ_x ) ( yi－μ_y )

∑

i＝1 8

( xi－μ_x )²

∑

i＝1 8

( yi－μ_y )²

＝

∑

i＝1 8

x_i y_i－8．μ_xμ_y

∑

i＝1 8

x_i²－8μ_x²

∑

i＝1 8

y_i²－8μ_y²

∵ μ_x＝

∑

i＝1 8

x_i 8 ＝ 1

2 ，μ_y＝

∑

i＝1 8

y_i 8 ＝0

∴ r＝ 730－0

740－2 806－0 ≈ 730 771 ＝0.946… ≈ 0.95 ⇒p＝9，q＝5

F.

119 169

概念中心 (1) 三角函數的定義 (2) 二倍角的公式 解析 如右圖

∵ tanθ＝ 5 12

∴ cosθ＝－ 12 13 cos 2θ＝2 cos²θ－1 ＝2 ( － 12

13 )²－1＝ 119 169

G.

( － － －1 , 1 , 0 , 8 ) －

概念中心 矩陣的乘法 解析 A³＝

 

 

1 0 k 2

 

 

1 0 k 2

 

 

1 0 k 2 ＝

 

 

1 0 k 2

 

 

1 0

3k 4 ＝

 

 

1 0

7k 8

∴ 7k＝－7 ⇒k＝－1 a＝1，b＝0，c＝8