3 沃尔泰拉积分方程

§3 沃尔泰拉积分方程

[第二类沃尔泰拉积分方程] 一维的第二类沃尔泰拉方程为

y(x)^ F(x)^



a^xK(x,)y()d （1）

这是Fr方程的特殊情形（当ξ >x时，K(x,ξ )=0）。假定F(x)在区间[a,b]上连续, K(x,ξ )在正方形 k₀ (a≤ x≤ b,a≤ ξ ≤ b)上连续，且当（ξ >x）时，

K(x,ξ )=0 因此，当K(x,x)≠ 0时，核有第一类不连续点x=ξ 。

积分方程（1）的解用λ 的幂级数表示为

y

 

x  y₀

 

x y₁

 

x y₂

 

x ²  （2）

对函数yn(x)有下列递推公式：

 

x F

 

x

y₀  ， yn(x)^



a^xK(x,)yn^₁()d



n1,2



设在有限区间或正方形上，连续函数F(x)和K（x,ξ ）满足

 

^{x m}

F  ， ^K

 

^x, ^M

式中m, M为常数。因此当 充分小时，级数（2）在[a, b]上绝对且一致收敛，其和y(x)是连 续函数且满足方程（1）。

也可以作预解核



^

 



0

1( , ) )

; , (

n

n

n x

K x

R     （3）

式中叠核Kn(x,ξ )由下面递推公式计算：

 

,

 

,

1 x K x

k  ； Kn(x,)^



a^xKn^₁(x,₁)K(₁,)d₁



n2,3



且从此得出当ξ >x时，Kn(x,ξ )=0。事实上，若ξ >x,则ξ 1<ξ ,因而 K(ξ ,ξ )=0

可证明级数（3）对一切λ 值绝对且一致收敛。于是，沃尔泰拉方程（1）的预解核是整 函数，并且对任何λ 有如下形式的唯一解：





 ^x

a R x F d

x F x

y( ) ( )  ( ,;) ()  所以沃尔泰拉方程没有特征值，就是说齐次方程



 ^x

a K x y d

x

y( )  ( ,) () 

对任何λ 只有平凡解y(x)≡ 0。因此，若作方程（1）的Fr分母()，则可发现它根本没有零 点。

[特殊沃尔泰拉方程] 设u(x),v(x)是定义在x≥ 0上的两个连续函数，由积分



0^xu(^x)^v()d

所定义的函数称为函数的u(x)和v(x)的卷积（或褶积）。

根据卷积的性质（即u和v的卷积的拉普拉斯变换等于u和v的拉普拉斯变换之积）可 把解特殊沃尔泰拉方程（其核只与两个变量之差有关）：



^



F x ^xK x y x

y( ) ( ) 0 ( ) ()d

的问题变为决定一个拉普拉斯变换的反演变换问题。为此，将上式两边各取拉普拉斯变换，

并利用卷积的性质，有

)]

( [ )]

( [ )]

( [ )]

(

[y x L F x L K x L y x

L  

得

)]

( [ 1

)]

( )] [

(

[ K x

x x F

y L

L L

  查拉普拉斯变换表或用其他方法便可以确定y(x)。

[第一类沃尔泰拉积分方程] 第一类沃尔泰拉积分方程

^F(^x)^



0^xK(^x,)^y()d （1）

可变为第二类沃尔泰拉积分方程。在核( x)是连续可微的假定下，有两种变换方法。一种 方法是，对（1）两边求导，便得



^ _



  ^x y

x x x K

y x x K x

F 0 ( , ) ( )d

) ( ) , ( )

(   

若K(x,x)≠ 0,这个方程可化为











 F x ^xK x y x

y( ) ( ) 0 ( , ) ( )d

式中

) , (

) ) (

( K x x

x x F

F 

 ，

x x K x x x K

K 

 

 ( , )

) , ( ) 1

,

(  

另一种方法是，设



 ^xy x

Y( ) 0 ()d 则方程（1）化为



^

 ^xK x Y x

F( ) 0 ( ,) ()d 分部积分得



^ _



 ^x K x Y

x Y x x K x

F 0 ( , ) ( )d

) ( ) , ( )

(  



 若K(x,x)≠ 0,这个方程可改写为





F x ^xK x Y x

Y 0 ~( , ) ( )d )

~( )

(   

式中

) , (

)

~ (

x x K

x

F  F ，



 



  ( , )

) , ( ) 1 ,

~( K x

x x x K

K

[阿贝耳积分方程] 形如

^{F x }



0^{x y}_x(_) d )

( 





(1)

的沃尔泰拉积分方程称为阿贝耳积分方程。对给定函数F(x)适当加以限制下，积分方程（1）

可用间接方法求解。（1）式除以 sx（s是一参数），然后两边积分，得

 



0^{s F}_s^x_x ^x 0^s_^ 0^{x y}_{x }^ _s^x_x

d d ) d (

)

( 





把上式右边的积分次序交换，并改变积分限，化为



0^{s F}_s^x_x ^x

 

0^s_^{ s} _x ^x_{sx }^y( )d )

)(

( d d

)

(  



 (2)

令x=(s-ξ )t+ξ ,则有





_{ } ^ 0¹ (1_ ) ^ d )

)(

(

d 



 t t

t x

s x

x

s

代入（2）式有





0^{sy } 1 0^{s F}_s(_^x)_xd^x d

)

(  

或者写为





0^{xy } 1 0^{x F}_x(_) d d

)

( 





 

 把这个等式求导，便得所求的解为



_

 ^x

x x F x x

y 0 ( ) d

d d ) 1

( 

 

若F(x)不能使这个等式的右边存在且连续，则方程（1）没有连续解。