2-3 多項式方程式

2-3 多 項 式 方 程 式

（每題

5

分﹐共

30

分）

1.

解下列方程式：

(1) x

²

− 2 x + = 2 0

﹒ (2)

x

²

− 2 x + 10 = 0

﹒

解：^{(1)不能分解代公式}

2 4

2 1

x = ± − = ± i

﹒

(2) 不能分解代公式

2 9 2 1 3

x = ± − = ± i

﹒

2.

試問下列各式的值﹐何者為正實數？

(1) 2 − 8 (2) − 2 − 8 (3) 8 2

−

− (4) 8

− 2

﹒ 解：^{(1) 2 − =8 2 2 2⋅ i=4i﹒}

(2) −2 − =8 2i⋅2 2i= −4﹒

(3) 8 2 2

2 2 2 i i

− = =

− ﹒

(4) 8 2 2 2

2 2 2i

i i

= = = −

− ﹒

故選(3)﹒

3.

實係數二次方程式

3 x

²

+ 2 x + = k 0

﹐若

(1)有兩相等實根時﹐試求 k

值﹒

(2)有兩共軛虛根時﹐試求 k

的範圍﹒

解：^{判別式D= − ⋅ ⋅ =4 4 3 k 4(1 3 )− k ﹒} (1) 有兩相等實根D=0﹐知 1

k=3﹒

(2) 有兩共軛虛根D<0﹐4(1 3 )− k < ⇒ −0 1 3k<0, 知 1 k>3﹒

解：^{因 5}

α β+ =2﹐ 7 αβ=2﹐

設新方程式為x²+ px+ =q 0﹐

^{1 1 5}

p α β 7

α β αβ

− = + = + = ﹐ 5

p= −7 ﹐

1 1 1 2

q 7

α β αβ

= ⋅ = = ﹐

新方程式為 ² 5 2 7 7 0

x − x+ = ﹐即7x²−5x+ =2 0﹒

5.

設

f x ( ) = x

³

− 7 x − 6

﹐則

(1)試求 f x ( )

的所有整係數一次因式﹒

(2)解方程式 f x ( ) = 0

﹒

解：由牛頓定理：若整係數一次因式

ax b f x − | ( ) ⇒ a |1, | 6 b −

1 1, 2, 3, 6 b 1, 2, 3, 6

a b

= ± = ± ± ± ± ⇒ = ± ± ± ±a

因為

f ( 1) − = 0, f ( 2) − = 0, f (3) = ⇒ 0 x + 1| ( ), f x x + 2 | ( ), f x x − 3 | ( ), f x

， 所以 f x( )=(x+1)(x+2)(x−3)﹒

(1)一次因式有x+1﹐x+2﹐x−3﹒(2) f x( )=0的三根為−1﹐−2及3﹒

6.

設

f x ( ) = x

³

− 3 x + 1

﹐已知

f x ( ) = 0

有三個相異實根﹐則

(1) ( ) f x = 0

的三根分別介於哪兩個連續整數之間？

(2)試求 f x ( ) = 0

的最小正根（四捨五入到小數點後第一位）﹒

解：⁽¹⁾

x … −2 −1 0 1 2 …

( )

f x … −1 3 1 −1 3 …

三根分別介於−2與−1﹐0與1﹐1與2之間﹒

(2)若最小正根為α﹐則0< <α 1﹐

f(0.3)=0.127>0﹐ f(0.4)= −0.136<0﹐0.3< <α 0.4﹐ 又 f(0.35)<0﹐知0.3< <α 0.35﹐得α ≈0.3﹒

（每題

5

分﹐共

30

分）

1.

實係數二次方程式

kx

²

+ 4 x + = k 0

﹐則

(1)有兩相等實根時﹐試求 k

值﹒

(2)有兩共軛虛根時﹐試求 k

的範圍﹒

解：^{判別式D=16−4k2= −4(k+2)(k−2)﹒}

(1) 有兩相等實根D=0﹐得k= −2或k=2﹒

(2) 有兩共軛虛根D<0﹐即(k+2)(k−2)>0﹐得k< −2或k >2﹒

2.

設

f x ( ) = 3 x

³

+ 5 x

²

+ 4 x − 2

﹐

(1)試求 f x ( )

的所有整係數一次因式﹒

(2)解方程式 f x ( ) = 0

﹒

解：由牛頓定理：若整係數一次因式

ax b f x − | ( ) ⇒ a | 3, | 2 b −

1 2

1, 3 1, 2 1, 2, ,

3 3

a b b

= ± ± = ± ± ⇒ = ± ± ± ±a

因為 1

( ) 0

f 3 = ，

3 x − 1| ( ) f x

，由除法 f x( )=(3x−1)(x²+2x+2)﹒ (1)一次因式有3x−1﹒

(2) f x( )=0的有理根為1

3﹐虛根為− ±1 i﹒

3.

已知

a﹐b

都是實數﹒

(1)設

3+i是方程式

x

²

+ ax b + = 0

的一根﹐試求

b

值﹒

(2)設

3+i是方程式

x

²

− + ( a i x ) − + = ( b i ) 0

的一根﹐試求

a

值﹒

解：(1)實係數方程式一根為3+i﹐則另一根為3−i﹐兩根積 b= +(3 i)(3− =i) 10﹒

(2)將3+i代入方程式中﹐(8 6 ) (+ i − a+i)(3+ − + =i) (b i) 0﹐

即(9 3− a− + −b) (2 a i) =0﹐得a=2﹒

解： ^{f x( )=0有一根為2−i﹐必有另一根為2+i﹐}

x = ± ⇒ 2 i ( x − 2)

²

= ± ( i )

²

⇒ x

²

− 4 x + = 5 0

即 f x( )有二次因式x²−4x+5﹐ 由除法 f x( )=(x²−4x+5)(x+4)﹐ f x( )=0的實根為−4﹒

5.

設

f x ( ) = x

³

− 9 x

²

+ 16 x − 14

﹐若

f x ( ) = 0

有兩相異複數根﹐a i+ ﹐1+bi﹐其中

a﹐b

是不為

0

的實數﹐試求

f x ( ) = 0

的實根﹒

解：^{虛根成對﹐知有a+i必有a−i﹐有1+bi必有1−bi﹐} 但 f x( )=0最多只有二個虛根﹐ 1

1

a i bi

a i bi

+ = −

 − = +

 ﹐得a=1﹐b= −1﹐ f x( )有二根1+i﹐1−i﹐

x = ± ⇒ 1 i ( x − 1)

²

= ± ( i )

²

⇒ x

²

− 2 x + = 2 0

( )f x 有因式x²−2x+2﹐由除法 f x( )=(x²−2x+2)(x−7)=0知實根為x=7﹒

6.

設

f x ( ) = x

⁴

− 15

﹐已知

f x ( ) = 0

有二個實根及兩虛根﹐則

(1)請問 f x ( ) = 0

的二實根分別介於哪兩個連續整數之間﹒

(2)解方程式 f x ( ) = 0

﹒ 解：⁽¹⁾

x … −2 −1 0 1 2 …

( )

f x … 1 −14 15 −14 1 …

二實根分別介於−2與−1﹐1與2之間﹒

(2)由x⁴−15=(x²− 15)(x²+ 15)=(x−⁴15)(x+⁴15)(x−⁴15 )(i x+⁴15 )i ( )f x =0的四根中﹐ 二實根±⁴15﹐二虛根±⁴15i﹒

（每題

8

分﹐共

40

分）

1.

某個十字路口的「閃黃燈秒數」以

f v ( )

表示﹐已知

f v ( )

是根據該路段的最高 時速限制每小時

v

公里而設計﹐滿足 ( ) ⁹⁰ 1

10 f v v

= + v − ﹒若測得閃黃燈秒數為

5

秒時﹐試問該路段的最高時速限制是每小時多少公里？

解：^{5 90 1} 10

v

= + v − ﹐

得v²−60v+900=0﹐即(v−30)²=0﹐v=30（公里/小時）﹒

2.

有印刷不清的試卷﹐只能看清「實係數三次方程式

x

³

− 7 x

²

+

…=0﹐有三相 異根

3 + pi

與

q i −

及…」﹐試求原來的方程式﹒

解：^{設方程式 f x( )=x3−7x2+ax+ =b 0﹐}

由複數的共軛關係知有一根為3+ pi﹐則另一根則為3−pi= −q i﹐p=1﹐q=3﹐

三根3+i﹐3−i﹐α﹐由三根和為7﹐知另一根α為1﹐

x = ± ⇒ 3 i ( x − 3)

²

= ± ( i )

²

⇒ x

²

− 6 x + 10 = 0

f x( )=(x−1)(x²−6x+10)=0﹐即 f x( )=x³−7x²+16x−10=0﹒

3.

有一張邊長為

24

公分的正方形硬紙板﹐想從四角各截去大 小相等的正方形如右圖﹐以便摺成一個無蓋的長方盒﹐且體 積為

972

立方公分﹐若截去的正方形邊長為整數﹐試求此整 數﹒

解：^{設高度為x(即四個}全等的正方形邊長)﹐

底面的邊長為24−2x﹐x(24−2 )x ²=972﹐

即x³−24x²+144x−243=0﹐(x−3)(x²−21x+81)=0﹐得x=3﹒

圖形如下：

則方程式

x

³

+ 2 x − = 1 0

的根為 0.45 （四捨五入到小數點以下第二位）﹒

解：^{設方程式 x3+2x− =1 0的根為α﹐f(0.45)<0﹐ f(0.46)>0﹐知0.45< <α 0.46﹐}

且α較接近0.45﹒

5.

某保護區梅花鹿的數量逐年增加﹒已知第n+2年與第

n

年數量的差﹐會與第 1

n+ 年的數量成正比﹐若

2008

年﹐

2009

年﹐

2011

年梅花鹿的數量分別是

39﹐

63

與

123﹒試推測 2010

年梅花鹿的數量﹒

解：^{設2010年的數量為k隻﹐依題意： 39 123 63} 63

k

k

− = − ﹐

整理得k²−39k−3780=0﹐(k+45)(k−84)=0﹐ 因數量逐年增加﹐知63< <k 123﹐得k=84（隻）﹒