6 二次曲面

§6 二 次 曲 面

一、 球面

[球面的方程、球心与半径]

方 程 与 图 形 球心与半径 x² y² z²  R²

或

x R y R z R













sin cos sin sin cos

 

 



(球面坐标方程.

式中为经 度,为余 纬度)

球心 G(0,0,0) 半径 R

   

 

^{2 2}

2 2

R c z

b y a x













或



























 cos

sin sin

cos sin R c z

R b y

R a x

(球面坐标方程式中

, 同上)

球心 G(a,b,c) 半径 R

方 程 与 图 形 球心与半径

x y z px qy rz d

p q r d

2 2 2

2 2 2

2 2 2 0

      

  

,

球心 G(p,q,r) 半径 p² q²r²d

[球面的切面与法线] 设一平面P通过球面上一点M且垂直于半径GM,则称P为球面在M

的切面.直线MG称为球面在点M的法线.

设球面方程为

x² y² z² 2px2qy2rz d 0 则球面在点M(x y z₀, ₀, ₀)的切面方程为

x x₀ y y₀ z z₀ p x( x₀)q y( y₀)r z( z₀) d 0 球面在点M(x y z₀, ₀, ₀)的法线方程为

x x x p

y y y q

z z z r



  

  



0 0

0 0

0 0

[两个球面的交角] 设两个球面

S₁ x²  y² z² 2p x₁ 2q y₁ 2r z₁ d₁=0 S₂ x² y² z² 2p x₂ 2q y₂ 2r z₂ d₂=0 两个球面的交角是指它们在交点的两个切面的夹角,记作,则

cos    

     

2 2 2

2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

2 2 2

2 2

2

p p q q r r d d

p q r d p q r d

因公式中不包含交点的坐标,所以在两个球面的交线上的各点的交角必相等.

两个球面的正交条件为

2p p_{1 2}2q q_{1 2}2r r_{1 2} d₁ d₂ 0

[球面束·两个球面的根面] 设

S_ S₁S₂ 0 式中S₁和S₂如(1)式定义,为参数,则有

0 ) (

) (

2 ) (

2 ) (

2 ) )(

1 (

2 1

2 1 2

1 2

1 2

2 2

























d d

z r r y q q x p p z

y x











对 (  1)的一个确定值,S_表示一个球面,当取一切值( 1)时,S_所表示的球面 的全体称为球面束. 1时为一平面,称为两个球面S S₁, ₂的根面,其方程为

     

2(p₁ p x₂) 2 q₁q y₂ 2 r₁r z₂  d₁d₂ 0

根面与S₁和S₂的连心线垂直,束中任一球面S_λ的中心在连心线上,且分连心线的比为λ.

[球面汇·三个球面的根轴] 设S₁和S₂如(1)式定义,又设

S₃ x² y² z² 2p x₃ 2q y₃ 2r z₃ d₃ 0 设 S_ S₁S₂  S₃0

式中 , 为二独立参数,则有

   

   

 

(1 ) 2

2 2

0

2 2 2

1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 2 3

      

     

   

   

   

 

x y z p p p x

q q q y r r r z

d d d

对 ,



^{   1}



^{的一对确定值,S}表示一个球面,当 , 取一切值



^{   1}



^时,S所 表示的球面的全体称为球面汇.

三个球面中每对球面的根面分别为

S₁S₂ 0, S₂S₃0, 和S₂S₁0 这三个平面交于一条直线,称为S S S₁, ₂, ₃的根轴.

二、 椭球面

方 程 与 图 形 基 本 元 素 特 征 [椭球面]

 

x a

y b

z c a b c

2 2

2 2

2

2 1

  

 

当a=b时为旋转椭球面

x y

a

z c

2 2

2

2

2 1

  

(在Ozx平面上的曲线

x a

z c

2 2

2

2 1

  绕z轴旋转而得到) 当a=b=c时为球面

x² y²z² a²

顶点

 

 

 

A A a

B B b

C C c

, ' , , , ' , , , ' , ,













0 0

0 0

0 0 主轴





 短轴 中轴

长轴 AA a BB b

CC c

' ' '





 2 2 2 主平面及其方程:

Oxy平面z=0 Oyz平面x=0 Ozx平面y=0 主轴的方程:

AA’ y=z=0 BB’ z=x=0 CC’ x=y=0 中心O(0,0,0)

直径平面 通过中心的 平面

任一平面与椭球面的交线 为一椭圆(特殊情况下为一 圆).

平行于一已知方向 d的一 组弦的中点在一个平面上, 该平面是一直径平面,它共 轭于方向d.

三个主平面是分别共轭于 主轴的直径平面.

椭球体的体积:

V abc

abc



 4 3 4 1888

 .

三、 双曲面

方 程 与 图 形 基 本 元 素 特 征 [单叶双曲面]

x a

y b

z c

2 2

2 2

2

2 1

  

[双叶双曲面]

x a

y b

z c

2 2

2 2

2

2 1

   

主轴





 轴 虚 实短轴 实长轴 2

2 2 a b c 中心O(0,0,0) 主平面及其方程:

Oxy平面z=0 Oyz平面x=0 Ozx平面y=0

平行于 z 轴的平面与双曲面的 交线都是双曲线(对于单叶双曲 面,可能是一对相交直线).

平行于Oxy平面的平面与双曲 面的交线都是椭圆.

单叶双曲面上有两族直母线, 它们的方程是

x a

z c

y b y

b

x a

z c

   

 



   

 













 1 1

(为参数)

与

当a=b时,为 [旋转双曲面]

(在Oxz平面上的曲线 x

a z c

2 2

2

2 1

   绕z轴旋转而得到)

x a

z c

y b y

b

x a

z c

   

 



   

 













 1 1

( 为参数)

四、抛物面

方 程 与 图 形 基 本 元 素 特 征 [椭圆抛物面]

z x

a y

 ²₂  b₂²

当a=b时,为旋转抛物面

z x y

 ²a ²

2

(在 Ozx 平 面 上 的 曲 线 z x

 a²₂ 绕z轴旋转而得到) [双曲抛物面]

z x

a y

 ²₂  b²₂

顶点O(0,0,0) 主轴 z轴 主平面及其方程:

Oyz平面x=0 Ozx平面y=0

椭圆抛物面与平行于 z 轴的平 面的交线是抛物线;与平行于Oxy 的平面的交线都是椭圆.

体积 V  1 abh

2

 2

体积 V  1 a h

2

2 2



双曲抛物面与平行于Oyz的平 面(或平行于 Ozx 的平面)的交线 是抛物线;与平行于 Oxy 的平面 的交线是双曲线.

双曲抛物面的形状呈马鞍形, 所以也称为马鞍面.

双曲抛物面上有两族直母线, 它们的方程是

x a

y b x a

y b

z

 

 











(为参数)

与

x a

y

b z

x a

y b

 

 











1 (为参数)

五、 锥面与柱面

方 程 与 图 形 基 本 元 素 特 征 [椭圆锥面]

x a

y b

z c

2 2

2 2

2

2 0

  

当a=b时, 为圆锥面 (在 Oxz 平 面 上 的 直 线

x a

z

 c 0绕z 轴旋转而得 到)

主轴 z轴 顶点 原点O

a,b 为 z=c 的平面与锥面 的交线(椭圆)的半轴

椭圆锥面与平行于Oxy的平面 z=h的交线是椭圆















 







 



 h z

c hb

y

c ha

x ₂ 1

2 2

2

与Oxy平面交于原点O.

[椭圆柱面]

x a

y b

2 2

2

2 1

 

当a=b时,为圆柱面 x²y² a²

准线的方程为

x a

y b z

2 2

2

2 1

0

 









母线的方向数为(0,0,1)

椭圆柱面与任何平行于Oxy的 平面的交线都是同样的椭圆

x a

y b z h

2 2

2

2 1

 









[双曲柱面]

x a

y b

2 2

2

2 1

  准线的方程为











 0

2 1

2 2 2

z b y a x

母线的方向数为 (0,0,1)

方 程 与 图 形 基 本 元 素 特 征

[抛物柱面]

y² 2px

准线的方程为

y px

y

2 2

0









母线的方向数为 (0,0,1)

[渐近锥面]

二次锥面 x

a y b

z c

2 2

2 2

2

2 0

  

为双曲面

x a

y b

z c

2 2

2 2

2

2 1

    的渐近锥面

与双曲线的渐近线类似,通过 z 轴的每个平面与双曲面的交线为 一对共轭双曲线,与锥面的交线 是两条直线,即这对双曲线的渐 近线.

六、 一般二次曲面

1. 二次曲面的一般性质

上面所列举的椭球面、双曲面、抛物面等,它们的方程关于x,y,z 都是二次的.关于x,y,z 的

一般二次方程的形式是

ax² by²cz² 2fyz2gzx2hxy2px2qy2rz d 0 它表示的曲面称为一般二次曲面.这里列举这些曲面的一些共同性质.

[直线与二次曲面的交点] 一直线与一个二次曲面交于两点(实的,虚的,重合的).或者这直

线全在曲面上,此时称它为二次曲面的直母线或母线.

[平面与二次曲面的交线] 任一平面与一个二次曲面的交线为一个二次曲线.

[二次曲面的直径平面与中心] 一个二次曲面的平行于已知方向的弦的中点在一个平面

上,称为直径平面,它平分某一组平行弦.设已知方向的方向数为l,m,n,则直径平面的方程为



alhmgn

 

x hlbm fn

 

y gl fmcn

 

z plqmrn



⁰ 或改写为



^{axhygz p l}

 

^{ hxby fzq m}

 

^{ gx fyczr n}



^0

当l,m,n变动时,这个方程表示一个平面把,由此二次曲面的直径平面组成一个平面把.把内任一

平面都通过下列三个平面的交点:

ax hy gz p hx by fz q gx fy cz r

   

   

    0 0 0

如果交点不在曲面上,则称它为二次曲面的中心,如果交点在曲面上,则称它为二次曲面的

顶点.凡有中心的二次曲面称为有心二次曲面,其余的都称为无心二次曲面.

[二次曲面的主平面与主轴] 如果直径平面垂直于被它所平分的弦,则称为主平面(对称平

面),每个二次曲面至少有一个实主平面,非旋转二次曲面的任两主平面是互相垂直的,它们的交 线为主轴.

[二次曲面的切面与法线] 二次曲面在一点M(x y z₀, ₀, ₀)的切面方程为

   

       

ax x by y cz z f y z z y g z x x z

h x y y x p x x q y y r z z d

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

     

         

在点M与二次曲面的切面垂直的直线称为曲面在点M的法线,它的方程可写为

x x

ax hy gz p

y y hx by fz q

z z

gx fy cz r



    

    

  

0

0 0 0

0

0 0 0

0

0 0 0

[二次曲面的圆截面] 如果一个平面与一个二次曲面的交线为一个圆,则称该平面为曲面

的圆截面.

如果二次曲面不是球面,则通过空间中一点,二次曲面有六个圆截面;其中一般有两个实圆

截面,四个虚圆截面;而且六个圆截面中有几个是重合的.

2.二次曲面的不变量 由二次曲面的一般方程

ax² by² cz² 2fyz2gzx2hxy2px2qy2rz d 0 (1) 的系数组成的下列四个函数:

2 2

, 2

,

h g f ca bc ab J c b a I

c f g

f b h

g h a D d r q p

r c f g

q f b h

p g h a























称为二次曲面的不变量,即经过坐标变换后,这些量是不变的.行列式称为二次方程(1)的判别 式.

3.二次曲面的标准方程及形状

不 变 量 坐标变换后的方程 曲 线 形 状

D0 有 心 二 次 曲 面

>0

Ax By Cz D

2 2 2

    0 式中A,B,C,为特征方程

u²Iu² Ju D 0 的三个特征根

A,B,C,异号时为单叶双曲面 A,B,C,同号时无轨迹

<0 A,B,C, 同号时为椭球面

A,B,C, 异号时为双叶双曲面

=0 A,B,C,同号时无轨迹

A,B,C,异号时为二次锥面

D = 0 无 心 二 次 曲 面

<0

Ax By

Jz

2 2

2 0

   

椭圆抛物面

(A,B都是正的时,根号前取负 号; A,B 都是负的时,根号前 取正号)

>0 双曲抛物面

=0 J 0 Ax² By²  0

 0 : A,B,C,同号时为椭圆

柱面或无轨迹, A,B,异号时为 双曲柱面

 0 : A,B,C,异号时为一对

相交平面.

A,B同号时无轨迹

J = 0

Ax py

x a

x a

x

2

2 2

2 2

2

0 0 0 0

 

 

 



抛物柱面 一对平行平面 无轨迹

一对重合平面