幻灯片 1

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

第 第 5 5 章 空间解析几 章 空间解析几 何 何

高等数学 A

5 . 4 平面与空间直线

5.4.6 两直线的夹角

5.4.7 直线与平面的夹角 5.4.8 平面束

5 . 4 平面与空间直线

两直线的夹角

空间直线及其方程

习例 1-2 直线与平面的夹角及习例 3

补充内容 1--- 点到直线的距离 补充内容 2--- 异面直线的距离

补充内容 3--- 平面束方程 习例 4-5

小结与思考题 1-2

平 面 与 空 间 直 线

习题课

内容小结 题型小结 典型习例

定义

直线 L

: ,

1 1 1

1 1

1

p z z

n y y

m x

x     

直线 L

: ,

2 2 2

2 2

2

p z z

n y y

m x

x     

2 2 2

2 2

2 2

1 2

1 2

1

2 1 2

1 2

2 1 1

| ) |

,

cos( m n p m n p

p p n

n m

L m

L     



 

^

两直线的方向向量的夹角

称之为

两直线的夹角公式

一、两直线的夹角

两直线的位置关系：

2

)

1

( L  L  m

m

 n

n

 p

p

 0 ,

2

)

2

( L // L ^,

2 1 2

1 2

1

p p n

n m

m  



直线 L

:

直线 L

:

}, 0 , 4 , 1

1

 { 

s 

}, 1 , 0 , 0

2

 { s 

2

,

1

s

s   



例如，

2

.

1

L

L 

即

习例

解

设所求直线的方向向量为 s   { m , n , p }, 根据题意知 s   n 

, s   n 

,

取 s   n 

 n 

_{ {  4 ,  3 ,  1 },}

1 . 5 3

2 4

3 

 

  y z

所求直线的方程 x

解

先作一过点

且与已知直线垂直的平面  0

) 3 (

) 1 (

2 )

2 (

3 x   y   z  

再求已知直线与该平面的交点

令 x y z  t

 

 



1 2

1 3

1 2 1 .

1 3





















t z

t y

t

x

代入平面方程得

7

 3

t 交点 )

7 , 3 7 , 13 7

( 2 

N

取所求直线的方向向量为 MN

MN 3 }

7 , 3 7 1

, 13 7 2

{ 2    

 ^},

7 , 24 7 , 6 7

{

12



所求直线方程为 .

4 3 1

1 2

2



 



y z

x

定义

直线和它在平面上的投影直线的夹 角 称为直线与平面的夹角． 

,

:

p z z

n y y

m x

L x 

 

 

, 0

:    

 Ax By Cz D

}, ,

,

{ m n p s  

}, ,

,

{ A B C n  



 _ 

 2 )

, ( s  ^ n 

 _ 

 2 )

, ( s  ^ n 

二、直线与平面的夹角







0 .

2



2 2

2 2

2 2

| sin |

p n

m C

B A

Cp Bn

Am













 



直线与平面的夹角公式

直线与平面的位置关系：



 L )

1

( .

p C n

B m

A  



 L

) 2

( // ^{ Am  Bn  Cp  0 .}

 

cos 





2

  



cos

sin 2



解

n   { 1 ,  1 , 2 }, s   { 2 ,  1 , 2 },

2 2

2 2

2 2

| sin |

p n

m C

B A

Cp Bn

Am













 



9 6

| 2 2

) 1 ( ) 1 ( 2

1

|















  .

6 3

 7

6 3 arcsin 7





 _{为所求夹角．}

k j

i

的距离

p

z z

n y y

m x

L : x 

 

 

) ,

,

(

0

x y z

M

补充 1 点

2 2

2

1

p n

m  

 x

 x

y

 y

z

 z

p n

m



s

s M

d M 



s  ( m , n , p )

) ,

,

( _{1 1 1}

1 x y z M

) ,

,

( _{0 0 0}

0 x y z

M

L

补充 2

空间两异面直线的距离

n

l1

l2 '

l1

C



设 为两异面直线，其公共法向量为

n,

分别是 上任一点，则 间的距 离 可转化为向量 在 n 上的射影长，

故

2 1,l

l l₁,l₂

CD

即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两 点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂 线的方向向量模的比值 .

1 2

1 2

1 2

1 2

( )

( , , )

CD n CD s s

d n s s

s s CD s s

  

 



 

    

  

  

 

补充 3 过直线 L 的平面束方程

设直线 L ： A

x+B

y+C

z+D

=L

(x, y, z)=0, 

A

x+B

y+C

z+D

=L

(x, y, z)=0, 

A

x+B

y+C

z+D

+  (A

x+B

y+C

z+D

)

0, 称为过直线

.

A

,B

,C

A

,B

,C

不成比例，所以对于任意一个

实数  ， 方程

习例

求直

线   







   



0 1

0 1

z y

x

z y

x _在平面

上的投影直线方程 .

 0



 y z x

例 5.

求过直线

  





  



0 4

0 5

z x

z y

x _且与平面 x  4 y  8 z

4

夹成 角的平面方程  . 0

12 



例 4.

求直 线   







   



0 1

0 1

z y

x

z y

x _在平面

上的投影直线方程 .

提示：过已知直线的平面束方程

从中选择

0 1

) 1

( 1

) 1

( 1

) 1

(              得

 

       0 0 1

z y

x

z

y _{这是投影平面}

0 )

1 ( )

1 ( )

1 ( )

1

(   x    y     z      0

) 1 (

1     





 y z x y z

x 

即

 0



 y z x

使其与已知平面垂直：



从而得投影直线方程 ,

 1

 

例 5.

求过直线

  





  



0 4

0 5

z x

z y

x _且与平面 x  4 y  8 z

4

夹成 角的平面方程  . 提示

过直线 L 的平面束方程

0 4

) 1

( 5

) 1

(   x  y    z    其法向量为

题中所给平面的法向量为 选择 使 

4

 3

 

. 0 12

7

20   

 y z 从而得所求平面方程 x

n  n 

^ ₄

0 12 



1 1

cos 4

n n

n n 

 

}.

1 , 5 , 1

1

 {     n

L

} 8 ,

4 ,

1

{  



n

平面的方程

（熟记平面的几种特殊位置的方程）

两平面的夹角

点到平面的距离公式

点法式方程 . 一般方程 . 截距式方程 .



 



（注意两平面的位置特征）

三、小结

空间直线的一般方程

空间直线的对称式方程与参数方程

两直线的夹角

直线与平面的夹角

（注意两直线的位置关系）

（注意直线与平面的位置关系）

思考题

若平面 x  ky  2 z  0 _与平面 0

3

2 x  y  z  _的夹角为

4

 ，求 k  ?

解

,

1 )

3 ( 2

) 2 ( 1

1 2

) 3 ( 2

1

cos 4

























 



k

k

14 , 5

3 2

1

2





 

k

k .

2

 70



 k

思考题 2

解

s   { 2 m , n , 6  p }, _且有 s   0  . ,

 0

 k s  

 s   i   0 ,

 







 

0 2

0 6

m

p _{ p   6 , m  0 ,}

, 0 

 s   ^{ n  0 ,}

故当 时结论成立

．

,

 0

m n  0 , p   6

1.5

空间直线及其方程

一、内容小结

1.

向量 代数















混合积 向量积

数量积

向量的表示法 向量的线性运算 向量的概念

2. 空间解 析几何











直及方程 平面及方程 直方程的化 距离

平面直的系 投影及公垂

线 线转

线关 线

二、题型及方法

1. 向量的运算及应用 2. 求空间直线方程 3. 求平面方程

4. 求距离

5. 求投影

三、典型习例

:

(1) ( ) ( ) ( )( ) (2) (2 ) ( ) ( ) (

1

) a b a b a b a b

a b c a b c a b

     

       下列各

化 式

例 简

1 1 2 2 3 3

1 1

2 2

3 3

( , ), ( , ), ( , ), 1 1

2

2 1 .

1

A x y B x y C x y x y

ABC S x y

x y xoy

  

例在平面上已知三 的面

点 试证积

1

2

4 9 0

(3,1, 4) :

2 2 0

3

.

x y z

P l

x y z P

   

    

例求 于直

的的坐 点关线 对称点标

1

2

1 2 5

: 2 3 4

7 2 1

:

3 2 2

.

x y z

l

x y z

l

  

 



 

 

 明直与

－ 位于同一平面

并求平面方程以及直之的角 例4 证线

内, 这两线间夹

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2

1 0 1 2

: :

2 3 4 0

2 2

(1) (2)

(3) .

l l

x t

x y z

l l y t

x y z

z t

l l l l

l l

  

    

   

     

   

例 已知直与的方程分

和

明与是异面直；求与的距 5

离；

求与的公垂方程 线别为

证线间

线

:

(1) ( ) ( ) ( )( ) (2) (2 ) ( ) ( ) (

1

) a b a b a b a b

a b c a b c a b

     

       下列各

化 式

例 简

解 ^{(1) 原式  a b 2  (a b)2}



2 2 sin ( , )2

a b a b

  a b^{2 2} cos ( , )² a b  a b^{2 2} . (2) 原式  2a c b c b a          b a c a c b

2a c b c a c b c

        .

 a c

1 1 2 2 3 3

1 1

2 2

3 3

( , ), ( , ), ( , ), 1 1

2

2 1 .

1

A x y B x y C x y x y

ABC S x y

x y xoy

  

例在平面上已知三 的面

点 试证积

证 _{2 1 2 1}

3 1 3 1

0 0

i j k

AB AC x x y y

x x y y

   

 

2 1 2 1

3 1 3 1

x x y y , x x y y k

 

  

1

S  2 AB AC 而

从 ^{2 1 2 1}

3 1 3 1

1 2

x x y y

x x y y

 

   

1 1

2 1 2 1

3 1 3 1

1 1 2 0

0

x y

x x y y

x x y y

   

 

1 1

2 2

3 3

1 1 2 1 .

1 x y

x y x y

 

1

2

4 9 0

(3,1, 4) :

2 2 0

3

.

x y z

P l

x y z P

   

    

例求 于直

的的坐 点关线 对称点标

解 ^{1 1 4 6 6 3 ,}

2 1 2

i j k

l s     i  j  k

 直的方向向量是线

1(3,1, 4)

P  作垂直于直的平面，其方程l  过点线为

6(x  3) 6( y  1) 3(z  4) 0, 2x  2 y z  0.

即

P1在直上的垂足即平面与直的交，线为线点l P  l

2 2 0

4 9 0,

2 2 0

x y z x y z

x y z

  

    

   

 立方程

联组 求得的坐 标为P (1,2,2).

1 2 2( , , ),2 2 2

P P P P x y z

因是段的中由中公式得线点,设点

2 2 2

3 1 4

1, 2, 2,

2 2 2

x y z

   

  

2 1, 2 3, 2 8,

x   y  z  解得

1 2( 1,3,8).

P l P 

所以于直的关线对称点为

1

2

1 2 5

: 2 3 4

7 2 1

:

3 2 2

.

x y z

l

x y z

l

  

 



 

 

 明直与

－ 位于同一平面

并求平面方程以及直之的角 例4 证线

内, 这两线间夹

解 ^记则M₁^{(1, 2,5), M}₂^(7,2,1),s₁ ^{ {2, 3,4}, s}₂ ^{ {3,2, 2},}

1 2 1 2

6 4 4

( , , ) 2 3 4 0,

3 2 2

M M s s



  



1 2, ,1 2 ,

M M s s 故三向量共面

1 2

l l 

而直与位于同一平面. 从线

1 2 2 3 4 2 16 13 ,

3 2 2

i j k

n s s i j k

        

 的法向量可取

 :

平面的方程

则为 2(x  1) 16( y  2) 13(z  5) 0, 2x  16 y  13z  31 0.

即

 ^{1 2}

1 2 1 2

1 2

cos( , ) s s

l l s s

s s

  直与的角余弦

两线夹 8 8

29 17 493 ,

 

arccos 8 . 直的角 493

则两线间夹为

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2

1 0 1 2

: :

2 3 4 0

2 2

(1) (2)

(3) .

l l

x t

x y z

l l y t

x y z

z t

l l l l

l l

  

    

   

     

   

例 已知直与的方程分

和

明与是异面直；求与的距 5

离；

求与的公垂方程 线别为

证线间

线 解 ^{先化准方程将为标l}₁ ^,

: 1 ,

2 3 4

x y z

x y z

   

     解立方程得联组 

4 5 2

, ,

3 3

z z

x  y 

  

1 1

1 ( 3,1,1) ,

z  M  l

令得在上点

1

1 1 1 1 4 3

2 1 3

, i j k

s k

l   i  j

 的方向向量为

1

3 1 1

: .

4 1 3

l x  y  z 

 

 

准方程 故的 标为

2

1 2

: ,

2 1 2

x y z

l  

 

 

准方程 的标为

2( 1,0,2), 2 {2, 1, 2}.

M  s =  

记

1 2 1 2

2 1 1

(1) ( , , ) 4 1 3 6 0,

2 1 2

M M s s



    

  因=为

1 2, ,1 2 ,

M M s s

所以不共面 l₁与 与 与 与 与 与 .l₂

1 2

(2)l 与的公垂l 线方向向量可取

1 2 4 1 3 2 2 .

2 1 2

i j k

s s i j k

s       







=

1 2

l l 下面求公垂与之的距离线长间的度,即 .

方法一

1 2

1 2

Pr _s M M s

d j M M

s

  

2 2 2

2 ( 1) 1 2 1 ( 2) ( 1) 2 ( 2) 2.

      

 

    方法二

1 2

l 与 与 与 与 与 与 与 ,l  与

s _的法向量,于是的方程 则为为

(x 3) 2( y 1) 2(z 1) 0,

       : x 2 y 2z 3 0.

    

即

d M2 

所求距离等于到平面的距离,于是

2 2 2

1 2 0 2 2 3 1 ( 2) 2 2.

d      

 

   (3) 方法一

{ 1,2, 2}, l的方向 s    公垂线 向量

1 1

l _{与的平面的}l  _{法向量可取} 过

1

1 4 1 3 8 11 7 ,

1 2 2

i j k

s

n  s    i  j  k

 

 =

1 8(x 3) 11( y 1) 7(z 1) 0,

 的 程方      

则为

8x  11y  7z  6 0.

即

2 2

l _{与的平面的}l  _{法向量可取} 过

2

2 2 1 2 6 6 3 ,

1 2 2

i j k

s s i j

n       k







=

2 6(x 1) 6( y 0) 3(z 2) 0,

 的方程      

则为

2x  2 y z  0.

即

1 2 , l  

于是公垂线为线 与的交

8 11 7 6 0

2 2 0 .

x y z

x y z

   

    其方程为

方法二

要求公垂方程需求出公垂上线,线两点 的 ,

1( , , ),1 1 1 2( 2 2 2 1, 2

( .

, )

, )

O x y z O x y z 是公垂与的l l l 交垂足

分 即

设别线 点

2 2 2

2 , 2 x x t

y y t

z z t l

 

  

  

 公垂的方程

设线参数为

1 1 1

1( , 1, ) , ,

O x y z 在l t

又因的为对应参数设为 上其

1 2 1

1 2 1

1 2 1

2 , 2

x x t

y y t

z z t

 

  

  

 与

2( ,2 2, 2) 2 , 2,

O x y z 在l t

又因的为对应参数设为 上其

2 2

2 2

2 2

1 2 , 2 2

x t

y t

z t

  

  

  

 与

1 2 1

1 2 1

1 2 1

1 2

2 ,

2 2 2

x t t

y t t

z t t

   

   

   

 而有 从

1 1

1 1

3 4

1 ,

1 3 l

x t

y t

z t

  

  

  



与 与

与 与 与 ₁ 2 ₂ 4

, .

3 3

t  t  解得

1 2

5 4 2

(1,0, 2), ( , , ),

3 3 3

O  O  

所以

1 2

1 2 2 .

x y z

l  

 

 

的 于是公垂方程线为

1 2 2.

d  O O  并且利用的距离求得公垂的两点间线长