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一阶方程的一般形式为：

0 )

, ,

( x y y  

F

dx dy 

12.2 几类一阶方程的求解

( , ) ( , )dy 0

P x y dx Q x y  

x ( , )

y ( , )

d Q x y d   P x y

重要的观点！

一、可分离变量的微分方程 二、齐次微分方程

三、一阶线性微分方程的解法。

本节研究：

12.2 几类一阶方程的求解

一、可分离变量的微分方程

dx x

f dy

y

g ( )  ( )





设函数G(y)_和F(x)_是依次为g(y)_和f(x)_的原函

数,

G ( y )  F ( x )  C

第一步：分离变量 第二步：两边积分

解 _{ M (  0衰变系数)} dt

dM M dt

dM  





0

0 M

M _t 

代入

得

e t

M

M  ^

 ₀

求：

例 2 ：求解微分方 程

cos cos 0

2 2

dy x y x y

dx

 

  

解：

sin 2 sin 2

2 

 x y

dx dy

2 sin , sin 2

2

dy x

y   dx

 

cot 2 csc 2

ln y y

 ,

cos 2

2 x  C

 _{为所求通解 .}

2sin 2 sin 2

dy x

y   dx 即：

题型：“经过变形、代换…可化为变量分离方程”

cos cos 2sin sin

2 2

   

    ^{ }

1. 定义 dy ( )y dx   x

形如

第一步：作变量代换 , x

u  y _{即 y  xu,} , dx x du dx u

dy  



代入原式 du ( ),

u x u

dx 

 

( ) .

du dx

u u x

  ^ 即

第二步：解可分离变量方程

二、齐次型方程

y x

y x

dx dy



 

解

x xy y dx

dy



  1 1

令

y

u  x

1

1

du u u x dx u

  



分离变量：

dx

du x u

u 1

1 1

2







两边积分： u ln(1 u ) ln x lnc 2

arctan  1  ²  

回代： x c

x y x

y ln(1 ) ln ln 2

arctan 1 ₂

2  





或 e^arctanx c x² y²

y





例 3 ：

求 的通解

2 2

dy dy

y x xy

dx dx

 

求的通解

解：

( / )

/ 1

dy y x dx  y x



u y

 x

1 du u u x  dx u 



分离变量：

1 1

(1 )du dx

u x

 

两边积分：

u  ln | | u   C ln | | x

回代：

例 4 ：

即

ln | xu |   u C ln | | y

y C

  x

一阶线性微分方程的标准形式 :

) ( )

(x y Q x

dx P

dy  

, 0 )

(x 

当

0 )

( x 

当

例如 y x², dx

dy   xsin t t², dt

dx   _{线性的 ;}

, 3

2 

  xy y

y y  cos y  1, _非线性的 .

三、一阶线性微分方程

（关于未知函数及其导数的一次方程）

一阶线性微分方程的解法

1. 线性齐次方程 _dx^{dy  P( x) y  0.}

①

( 使用分离变量法 )

, )

( x dx y P

dy  





ln )

(

ln y  



齐次方程①的通解为 y  Ce^ ^P(x)dx.

常数变易法：

“ 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法” . 设 为

②

解

C( )

y  x e



( ) ( )

C ( )

C( ) ( )

, y   x e

  x P x e



代入原方程得 和

将

C ( )

x Q x e  ( ) 

,

积分得

C( ) x   Q x e ( ) 

dx C  ,

方程

②



2 5

) 1 1 (

2  

  x

x y dx

dy

相应齐方程

1

2

  x

y dx

dy

y  c ( x  1 )

令

y  c ( x )( x  1 )

解 1 ：常数变易法 （解 2 ：公式法 略）

代入非齐方程

) 1 )(

( 2 )

1 )(

( 

 

 x x c x x

c

2 5

2 ( 1)

1 ) 1

1 )(

(

2  

 



 x

x x x

c

2 1

) 1 (

)

(  

 c x x ^解得 c x  x  ²  c

3

) 1 3 (

) 2 (

例 5

故非齐次方程的通解为

( 1 ) ]

3 [ 2 ) 1

(

3

2

x c

x

y    

四、伯努利方程

伯努利 (Bernoulli) 方程的标准形式

yn

x Q y

x dx P

dy  ( )  ( )

( n  0 , 1 ) 时，

当

时，

当

解法 : 需经过变量代换化为线性微分方程 .

，得 两端除以

), (

)

( x y¹ Q x dx P

y^n dy  ^n 

1 n, y z  ^

令 则 ，

dx y dy

dx n

dz _n



 (1 )

代入上式 (1 n)P( x)z (1 n)Q(x), dx

dz    

(1 ) ( ) (1 ) ( )

1 ^{n n P x dx}

( ( )(1 )

)

y

  z e



 Q x  n e 

dx C  y

x Q y

x dx P

dy  ( )  ( ) ( n  0 , 1 )

例 6 4 ₂ .

的通解 求方程

x dx

dy  

解 ^{两端除以 y，得 1}_{y dx}^{dy  4}_x ^{y  x2,} ,

y z 

令

2 ,

2 



 

 

 x C

x

解得 z . 2

2

4 



 

 

 x C

x 即 y

注

齐次型、可化为齐次型、一阶线性方程 如

、 Bernoulli 方程等都是通过变量代换来求解方程的。

将

f ( x , y ) dx

dy 

) ,

( 1

y x

f dy

dx 

也是经常可以考虑的

三、小结

1. 齐次方程 ( )

x f y

y 

令

2. 线性非齐次方程 _{令 y  C( )x e}^{P x dx( )} _; 3. 伯努利方程

令