98.04.16 班級普三班範圍選修(Ⅱ)CHAP1 極限、連續 - 明誠

高雄市明誠中學 高三平時測驗 日期：98.04.16 班級 普三 班

範 圍

選修(Ⅱ)CHAP1

極限、連續、導數 座號

姓 名 一、選擇題(每題10分)

1、( B ) 求lim 2( 1 1)

n n n n

     ？ (A)0 (B)1 (C)1 (D) 1

2 (E)不存在 解析：lim 2( 1 1)

n n n n

      ( 1 1)( 1 1)

lim 2

1 1

n

n n n n

n n n



     

    

lim 2 2

1 1

n n

n n



   

  

2 1

2

  

2、( D ) 設2n 5 3na_n (n1)²n²，求lim _n

n a

 ？ (A)2 (B)5 (C)不存在 (D)2

3 (E)0 解析：∵2n 5 3na_n 2n1

2 5 2 1

3 ⁿ 3

n n

n a n

 

 

∴2

3  2 5 2 1

lim lim lim

3 ⁿ 3

n n n

n n

n a n

  

     2

3 3、( C ) 求 sin

limn

n

 nθ

？ (A)1 (B)1 (C)0 (D)1

2 (E) 1

2 解析：∵sinnθ1, ∴ sin

lim 0

n

n

 nθ 4、( E ) 試求

100 2

( 1) 1

lim 2

x

x

 x

 

 ？ (A)100 (B)99 (C)98 (D)97 (E)100 解析：

100 2

( 1) 1

lim 2

x

x

 x

  



99 98 97

2

( 2)[( 1) ( 1) ( 1) 1]

lim 2

x

x x x x

 x

       





99 98

lim [(( 2) 1) ( 1) 1]

x x x

       

99 98

( 1) ( 1) ( 1)

        100

5、( E ) 設lim( 2 ² 4 3 ) 3 2

x x x ax b

       ，求a b ？

(A)0 (B) 2 (C)3 2 (D)4 2 (E)5 2

解析：lim( 2 ² 4 3 )

x x x ax b

      ^{2 2}

2

(2 4 3) ( )

lim

2 4 3 ( )

x

x x ax b

x x ax b



   

   

2 2 2

2

(2 ) (4 2 ) (3 )

lim

2 4 3 ( )

x

a x ab x b

x x ax b



    

    

 3 2 

2 2 0, 2 ( 2 )

4 2 3 2

2 2

a a

ab

     

   



不合

∴a 2, b4 2, ∴a b 5 2 6、( A ) 求

2 0

1 (1 ) limh

h

 h

  ？ (A)0 (B)1 (C) 1 (D)1

2 (E)不存在

解析：

2 0

1 (1 ) limh

h

 h

   ²

0

1 (1 2 ) limh

h h

 h

    ²

0

lim2

h

h h

 h

  ²

0

(2 )

limh

h h h

 h



lim(20 ) 0

h h h

   

7、( E ) 設a, b且a>0，若

2 3

lim

x a

x bx b x a



  

 8，求a？ (A)1 (B)2 (C)4 (D)5 (E)6

解析：由題意 ² 3

3 ( )( b)

x bx b x a x

     a  3b

a b

 a   且

2 3

lim

x a

x bx b x a



  



lim( 3 ) 8

x a

x b

  a  , ∴ 3 b 8 a a  解得a6或4, ∵a>0, ∴a6

8、( ^BC_E ) (複選)函數 ₂

3

2 3, 1 4, 1

( )

4 2, 1 1

3 1, 1

x x

f x x

x x x

x x x

  

  

      

   



，則下列何者為真？ (A)

lim1 ( ) 4

x f x

  

(B)

1

lim ( ) 5

x f x

   (C)

1

lim ( ) 3

x f x

  (D)

1

lim ( ) 2

x f x

  (E)

2

lim ( ) 13

x f x

 

解析：(A) ²

1

lim ( ) ( 1) 4( 1) 2 5

x _ f x

        ,

1

lim ( ) 2 ( 1) 3 5

x _ f x

       ，∴

lim1 ( ) 5

x f x

   (C)

1

lim ( ) 1 3 1 3

x _ f x

     ,

1

lim ( ) 1 4 2 3

x _ f x

     , ∴

lim ( )1

x f x

 3 (E)lim ( )2 8 6 1

x f x

    13 9、( A ) 設函數 f x( ) 

2 4 2

, 2

2

11, 2

ax x a

x x

x

    

 

 



，若 f x( )在x 2是連續的，求a ？ (A)3 (B) 2 (C)0 (D)2 (E)3

解析：依題意

2 2

4 2

lim 11

2

x

ax x a

 x

  

  



2

( 2)( 2 1)

lim 11

2

x

x ax a

 x

    

 , ∴2a2a  1 11, ∴a 3

10、( E ) 求

2

[ 1]

lim^x [ ]

x x

x x



  

 ？ (A)1 (B)0 (C) 1 (D) 2 (E)不存在 解析：∵

 

 

2

lim 1

x

x x

x x

 

 

 

2

lim 3 2

x

x

 x





 不存在，且

 

 

2

lim 1

x

x x

x x

 

 

 

2

lim2 0

1

x

x

 x



 



∴

 

 

2

lim 1

x

x x

x x



 

 不存在

11、( E ) 設 f x( )  x²3x ，求 f(0) ？ (A)3 (B)0 (C)3 (D) 1 (E)不存在 解析：

2 2

0 0

2 2

0 0

3 3

lim lim 3

(0)

3 3

lim lim 3

x x

x x

x x x x

x x

f

x x x x

x x

 

 

 

 

    

 

     

∴ 不存在

12、( D ) 若 f x( )  x³，求

0

(1 2 ) (1) lim

h

f h f

 h

  ？ (A)0 (B)2 (C)4 (D)6 (E)12

解析： 0

(1 2 ) (1) limh

f h f

 h

  2 f(1) 2 3 6

13、( C ) 設 f x( )  ax²1，若 f(1) 2，求a ？ (A)1

2 (B)1 (C)2 (D)1

4 (E)4 解析： f(1) ²

1

1 1

lim^x 1

ax a

 x

  

  ²

1 2

( 1) ( 1)

lim

( 1)( 1 1)

x

ax a

x ax a



  

   

 1 2

( 1) lim

( 1 1)

x

a x

ax a





    2

2 1

a

a 2a 2 14、( E ) 若 f(2) 3, f(2) 5，則

0

(2 3 ) (2 )

lim

h

f h f h

 h

  

之值為何？

(A)4 (B)8 (C)12 (D)16 (E)20 解析： 0

(2 3 ) (2 )

limh

f h f h

 h

   4

0

(2 3 ) (2 )

lim^h 4

f h f h

 h

   4f(2) 20

15、( B ) 設a>0，過P(0, )a 作一直線垂直於拋物線：x² 2y的對稱軸，交於A,B兩 點，過A,B分別作的切線，若此二切線互相垂直，則a之值為何？

(A)1

4 (B)1

2 (C) 2

2 (D)2 (E)1 解析：設A( 2 , )a a ,B ( 2 , )a a

∴m₁  f( 2 )a 

2

2

lim 2

2

x a

x a

x a





 ²

1( 2 )( 2 ) lim 2

2

x a

x a x a

x a



 

   2a

m2  f ( 2 )a 

2

2

lim 2

2

x a

x a

x a





   2a

∵L₁與L₂垂直，∴ 2a ( 2 )a   1 2a1, ∴ 1 a2

16、( A ) 函數 f x( )x² ax b ,g x( )x²cxd，若滿足 f(2x 1) 4 ( )g x , f x( ) g x( )且 (5)

f 30，則g(4) ？ (A)47

2 (B)45

2 (C)43

2 (D)41

2 (E)39 2 解析：

2 2 2

(2 1) (2 1) (2 1)

4 (4 2 ) (1 )

4 ( ) 4 4 4

f x x a x b

x a x a b

g x x cx d

      

      

   

4 2 4

1 4

a c a b d

 

  

∵ f x( ) g x( )2x a 2xc ac, ∴a2, 2c 又 f(5)25 5 a b 30 b 5 1

d  2

∴g(4) 16 4 c d 24 1

 2 47 2 17、( C ) 設 f x( )  x⁴3，求

1

( ) 1 lim^x 1

f x

 x

 

 ？ (A)9

2 (B)7

2 (C)5

2 (D)3 2 (E)1

2 解析： f x( ) 1 ^{4 12 3 3 4 12}

( 3) 4 2 ( 3)

2 x  ^  x  x x  ^

 f( )x  ^{2 4 12 3} 1 ^{4 32 3}

6 ( 3) 2 ( )( 3) 4

x x  ^  x  2 x  ^  x 又 f  (1) 1

1 1

( ) 1 ( ) (1)

lim lim

1 1

x x

f x f x f

x x

 

      

  f (1) ¹ 1 1 1

6 2 2 ( )( ) 4 3

2 8 2

         5 2 18、( B ) 設 f x( )為一個三次多項式，且 f(0) 1, f(1)2, f(0)  f(1) 0，求 f(2)？

(A) 24 (B) 12 (C)0 (D)12 (E)24 解析：令 f x( )ax³bx²cxd，則 f x( )3ax²2bx c

依題意 1

2 0

3 2 0

d

a b c d c

a b c

 

    

 

   



解得a 2, b3, c0, d 1

∴ f(2) 12 a4b c   24 12 12

二、填充題(每題10分) 1、 求

3 3 3

4

1 2

lim

n

n

 n

  

 

_______。

答案：1 4 解析：

3 3 3

4

1 2

lim

n

n

 n

    ²

4

( 1)

( )

2 1

limⁿ 4

n n

 n





2、 設

2 1

lim( ) 2

1

n

n an b

 n

   

 ，求數對( , )a b _______。

答案：(1, 3) 解析：∵

2 1

lim( )

1

n

n an b

n



   



(1 ) 2 ( ) 1

lim 2

1

n

a n b a n b

 n

    

 

∴1 a 0且b a 2, ∴a1, b3 3、 設 f x( )  ³ ₂ ²

2 ax bx cx d

x x

  

  ，若lim ( )

x f x

 2且

2

lim ( )

x f x

 3，求( , , , )a b c d _______。

答案：(0, 2, 1, 10)

解析：由題意a0, b2，且 f x( )  ^{( 2)(2 2) 2 2}

( 2)( 1) 1

d d

x x x

x x x

  

   

∵lim ( )2

x f x

 3, ∴

4 2 3

3

d

 , ∴d  10, 比較係數c1 4、 若

1

( 1)

lim 4

3 1 3

x

a x b

x x



  

   ，求數對( , a b)_______。

答案：(1, 2) 解析： 1

( 1)

lim^x 3 1 3

a x b

x x



  

   ¹

[( 1) ]( 3 1 3)

lim^x (3 1) ( 3)

a x b x x

x x



    

  

lim1 x

[( 1) ]( 3 1 3)

2( 1) 4

a x b x x

x

     



∵

1

lim( 3 1 3) 4

x x x

      1 2

2 a b

  

  

 a1, b 2 5、 設 f x( ) ax³bx²cx3且 ₂

1

lim ( ) 4

( 1)

x

f x

 x 

 ，求a b c  _______。

答案：7

解析：由題意ax³bx²cx 3 (x1) (² ax3)

∵ ₂

1

lim ( ) 4

( 1)

x

f x

 x 

 a 3 4, ∴a1 比較係數得 b1, c 5, ∴a b c  7 5、 求

8 3

lim 8

2

x

x

 x



 _______。

答案：12 解析： 8 3

lim 8

2

x

x

 x



  ^{3 2 3}

8

(8 )( 2 4)

lim^x 8

x x x

 x

  

 12 6、 若

2 2 2

2 3

lim^x 7

x x x ax b



  

  ，求a b _______。

答案：13

解析：設 ² ( 2)( ) 2 x ax b  x xb 2

2

b a

  

又

2 2 2

lim 2

x

x x x ax b



  

  ²

1 3

lim 7

2

x

x x b



 



∴ 2 1 3 2 7

2 b

 



b 10, ∴a3

7、 _{2 2}

2

1 1

lim( )

2 2 5 2

x^ x x  x x 

    _______。

答案：1 9

解析： _{2 2}

2

1 1

lim( )

2 2 5 2

x^ x x  x x 

    ²

1 1

lim( )

( 2)( 1) ( 2)(2 1)

x^ x x  x x

   

 2

lim 2

( 2)( 1)(2 1)

x

x

x x x





    1

9 8、 若

2 1

lim 3

1

x

a x b

 x

  

 2，求a b _______。

答案：4

解析：依題意，令 f x( ) a x² 3 b，則 f(1)2a b  0 b2a

 ²

1

3 2

lim^x 1

a x a

 x

  



2 1 2

( 3 4) lim

( 1)( 3 2)

x

a x

x x



 

   

1 2

( 1)( 1) lim

( 1)( 3 2)

x

a x x

x x



 

    2

4 a 2

∴a4, b8

9、設 f x( )為三次多項式函數，若

0

lim ( )

( 1)

x

f x

 x x 

 1且

1

lim ( )

( 1)

x

f x

 x x 

 2，則

3

lim ( )

( 1)

x

f x

 x x 

 ？ 答案：令 f x( ) x x( 1)(ax b )

0

lim ( )

( 1)

x

f x

 x x 

 1b1, ∴b 1

1

lim ( )

( 1)

x

f x

 x x 

 2a b 2, ∴a 1

∴

3

limx

( ) ( 1)

f x x x 

 ^{3 1 }4

10、設a b c, , 且 f x( )  x³(2a1)x²bx c 滿足下列二條件 (1)

1

limx 3

( ) 1 f x x  1

3, (2)方程式 f x( ) 0有虛根，求數對( , , )a b c ？ 答案：依題意 f( 1)  1 2a   1 b c 02a b c  2

∴ f x( ) x³(2a1)x²bx c  x³  (b c 1)x²bx c

(x1)(x² bx cx c  )

∵ ₃

1

lim ( ) 1

x

f x

 x   1 3 

lim1 x

2 2

( 1)( )

( 1)( 1)

x x bx cx c

x x x

   

   1

3

∴1

1 1 1 b c c

  

  1

3 b2c

∵x²bx cx c  0有虛根 x²cx c 0有虛根

∴c² 4c0, 0 c 4, ∴c 1或2或3 (i)若c 1，則 b 2 3

a2 （不合）

(ii)若c2，則 b 4a 2 (iii)若c 3，則 b 6 5

a2 （不合）

∴( , , )a b c (2, 4, 2) 11、設 f x( )為三次式且 ₂

1

lim ( ) 1

3 2

x

f x

x x

  

  , ₂

2

lim ( )

3 2

x

f x

x x

 

  2，求 f x( ) ？ 答案：令 f x( )(x1)(x2)(ax b )

∵

1

limx 2

( ) 1

3 2

f x

x x  

  , ∴a b  1

∵lim2

x 2

( )

3 2

f x

x x 

  2, ∴2a b 2 解得 a 3, b 4

∴ f x( )(x1)(x2)(3x4) 12、求下列各極限值

(1)a>0,

0

limx

a x a x

x

  

？ (2) lim

x

(x a bx2)？ 答案：(1)

0

lim

x

a x a x

 x

  

 0

lim 2

( )

x

x

x a x a x



 

  

2 2 a

  1 a



(2)lim( ²)

x x a b x

     ^{2 2 2}

2

2 ( )

lim

( )

x

x ax a b x

x a b x



   

    ²

2

lim 2

( )

x

ax a b

x a b x



 

    2 2

a a

13、函數

4 5, 1

( ) 3, 1

2, 1

x x

f x x

ax x

 



 

  



，若lim ( )1

x f x k

  ，則

( 1 ) ( ) a？ (A) 4 (B)3 (C) 0 (D) 1 (E) 2 ( 2 ) ( ) k ？ (A)5 (B)3 (C) 1 (D) 1 (E) 3 答案：( 1 ) (B) ( 2 ) (C)

解析：( 1 )∵

1

lim ( )

x f x k

  （存在）, ∴

1

lim

x^ f x( )   4 5 1,

1

lim ( ) 2

x

f x a

   ，

∴a  2 1, ∴a3 ( 2 )

1

lim ( )

x

 f x

 

1

lim ( )

x

 f x

 

1

lim ( ) 1

x f x

  

14、 設 f x( ) 

2

2 3

x x x



 ，求 f(1) ______。

答案： 13

16

解析： f(1) ²

1

2 3

3 2

lim^x 1

x x x

 x

 



  ²

1 2

2( 2) 3 3 lim

2( 1) 3

x

x x x

x x x



  

 

 1 2 2

(23 16) lim

2 3 (2( 2) 3 3 )

x

x

x x x x x



 

     39

2 2 12



   13

16

15、自點P(2, 0)作yx² x 2的切線，則其切線方程式為_______，切點為______。

答案：3x  y 6 0；(2, 0) 解析：m f(2) ²

2

( 2) 0

lim^x 2

x x

 x

  

 

lim(2 1) 3

x x

   ，

∴切線：y 0 3(x 2) 3x  y 6 0,切點(2, 0)

16、自點P(2, 2) 向曲線yx³3x4所作的切線方程式為______。

答案：3x y 4或24x y 50

解析：設切點坐標為P t( , t³ 3t 4) ( )

f t  lim

xt

3 3

(x 3x 4) (t 3t 4) x t

     

 lim

xt (x²   tx t² 3) 3t²3

∴過P之切線方程式為y(t³ 3t 4)(3t²3)(x t ) 以(2,  2)代入    2 t³ 3t 4 (3t²3)(2t),解得t0或3

∴切線方程式為y  4 3x或y2224(x3)

17、 設 f x( )為可微分函數，若 f(1)a, f(1) b(a,b)，則

2 2

1

(1) ( )

lim^x 1

x f f x

 x

 

 ______。（以a,b表示）

答案：2a – 2b 解析：

2 2

1

(1) ( )

lim^x 1

x f f x

 x

 



2 2

1

(1) (1) ( ( ) (1))

lim^x 1

x f f f x f

 x

  

 

lim(1 1) (1) ( 1) (1)

x x f x f

    

2 (1) 2f  f(1)2a2b 18、 設 x y  a, a>0，過 4

( , ) 9 9

P a a 的切線方程式為____________________。

答案： 2 2x y 3a

解析：∵ y  a x, ∴y f x( )  a x 2 ax ( )9

f a 

9

( 2 ) ( 2 )

9 3

lim

9

x a

a a

a x ax a

x a



    





9

5 5

( 2 )( 2 )

9 9

lim 5

( )( 2 )

9 9

x a

a a

x ax x ax

a a

x x ax



   

  



9

25 lim 9

5 2

9

x a

x a

x a ax





 

2

∴切線方程式為 4

2( )

9 9

y a  xa

19、設 f x( )  2 4 2 x x

x

 

 ，求 f(3)______。

答案：2

解析： f(3)

3

( ) (3)

lim^x 3

f x f

 x



 

3

(2 4) 2 6

lim^x 3

x x x

 x

 

 

3

2( 2)( 3) lim^x ( 2)( 3)

x x

x x



 

  2 20、設 f x( )  ^{3 2}₃^{, 1}

2 1, 1

x x

x x

 

  

 ，求 f(1) ______。

答案：6 解析： f(1)

1

( ) (1)

lim^x 1

f x f

 x





∴

1

( ) (1)

lim 1

x

f x f

 x





  ³

1

2 1 3

lim 1

x

x

 x



 

  ²

1

lim 2( 1) 6

x

x x

   

1

( ) (1)

lim 1

x

f x f

 x





  ²

1

3 3

lim 1

x

x

 x





 

1

lim 3( 1) 6

x

 x

  

∴ f(1) 6

21、設 f x( )  ^{2, 1} , 1

x x

ax b x

 

  

 且 f(1)存在，求a b ______。

答案：3 解析： f(1)

1

( ) (1)

lim^x 1

f x f

 x





∵

1

( ) (1)

lim 1

x

f x f

 x





 

1

( ) ( )

lim 1

x

ax b a b x a



   



1

( ) (1)

lim 1

x

f x f

 x





  ²

1

lim 1 1

x

x

 x





 2，∴a 2 又a b 1, ∴b  1 a b 3

22、已知 f x( )為 f x( )的導函數且 f(5) 3，則

0

(5 ) (5 )

limh

f h f h

 h

   ______。

答案：6 解析： 0

(5 ) (5 )

limh

f h f h

 h

   2

0

(5 ) (5 )

lim^h 2

f h f h

 h

   2 f(5)6 23、有一運動質點的位移函數為 f t( ) 1 ³

3t 2，試求此質點在時刻3的瞬時速度。

答案：所求之瞬時速度為 (3)f 

3 3

3

1 1

( 2) ( 3 2)

3 3

lim^t 3

t

 t

   



 ^{3 3}

3

lim 3

3( 3)

t

t

 t



  ²

3

3 9 9 9 9

lim 9

3 3

t

t t



   

 

24、設曲線：yx³3x²3x1，在曲線上P點的切線斜率最小，則曲線在P點的切線方 程式為_______。

答案：6x  y 2 0

解析：y f x( )x³3x²3x 1 f x( )3x²6x 3 3(x1)²6

∴當x1時切線斜率最小值為6，又 f(1) 4，∴切線方程式為y  4 6(x1)

25、試求在y x²16的圖形上以(5,3)為切點的切線方程式。

答案：切線之斜率為

2 2

5

16 5 16

lim^x 5

x

 x

  

  ²

5

16 3 lim^x 5

x

 x

 



 ^{2 2}

2 5

( 16 3)( 16 3)

lim

( 5)( 16 3)

x

x x

x x



   

   

2 5

( 5)( 5) lim

( 5)( 16 3)

x

x x

x x



 

  

lim5

x 2

5 16 3 x

x



   5 5 3 3



  5 3 切線之方程式為 5

3 ( 5)

y 3 x ，即 5x3y160

26、設 f x( )(x1) (² x3) (⁴ x3)³，若 f x( ) (x1)(x3) (³ x3) (² ax²bxc)

則a b c  _______。

答案：4

解析： f x( )(x1) (² x3) (⁴ x3)³

4 3 3 2 3

( ) 2( 1)( 3) ( 3) 4( 3) ( 1) ( 3)

f x  x x x  x x x 3(x3) (² x1) (² x3)⁴

3 2

(x 1)(x 3) (x 3) [2(x 3)(x 3) 4(x 1)(x 3) 3(x 1)(x 3)]

           

3 2 2

(x 1)(x 3) (x 3) (9x 10x 15)

     

∴a9, b 10, c 15

27、設 f x( )(2x1) (² x²4)，求 f x( )_______。

答案：2(2x1) (² x²2) (11³ x²4x6) 解析： f x( )(2x1) (² x²4)

 f x( ) 2(2x 1) 2(x² 4) (2x1)²2x

2 2

4(2x 1)(x 4) 2 (2x x 1)

    

2 2

2(2x 1)(2x 8 2x x)

    

2(2x 1)(4x2 x 8)

   

28、設 f x( )^

 

^{x 且lim}₁ ^{( ) 3}

1

x

f x

 x 

 ，求 f(1) _______。

答案：3 解析：∵

1

lim ( ) 3 1

x

f x

 x 

 （存在）

∴x1 f x( ) f(1)0

∴ f(1) 

1

( ) (1)

lim^x 1

f x f

 x

 

 ¹

lim ( ) 3 1

x

f x

 x 



29、雙曲線：xy3上有一點P(3, 1)，求通過P點之切線方程式為_______。

答案：x3y 6 0 解析：令 3

( ) y f x

  x f x( ) 3x^2, ∴ f(3) 1

3，∴切線方程式為 1

1 ( 3)

y  3 x 30、設 f x( )  ²₂ ²

1 x x

x

 

 ，求 f x( )_______。

答案：

3 2

2 2 2

2 3 6 1

2 2( 1)

x x x

x x x

   

   解析：

2 2

( ) 2

1 x x

f x x

  



 f x( )

1

2 2 2 2

2 2

( 1) 1( 2) (2 1) 2 2

2

( 1)

x x x x x x x

x

          



3 2

2 2 2

2 3 6 1

2( 1) 2

x x x

x x x

   

    

31、設曲線y f x( )x³4x，若直線L過 (1, 1) 且曲線y f x( )相切於點____________，

則直線L的方程式為_______。

答案：x  y 2 0

解析：設切點點( ,t t³4 )t ，∵ f x( )x³4x, ∴ f x( )3x²4, ∴ f t ( ) 3t²4

切線方程式：y(t³4 )t (3t²4)(x t )， (1, 1) 代入解得 t 1，

∴L：y   3 (x 1)

32、設 f x( )為可微分函數滿足 f(4) 1, f(4)2，則

2 2

2 2

(4) 4 ( )

lim^x 4

x f f x

 x

 

 _______。

答案：7 解析：

2 2

2 2

(4) 4 ( )

lim^x 4

x f f x

 x





2 2

2 2

(4) 4 (4) (4 ( ) 4 (4))

lim^x 4

x f f f x f

 x

  

 

 f(4)

2 2 2

( ( ) (4)) 4 lim

4

x

f x f

 x

 

  f(4) 4f(4) 1 8   7 33、設 f x( )x³2x²5x1，求

3

( ) (3)

lim^x 3

f x f

 x

   

 _______。

答案：14

解析： f x( )x³2x²5x 1 f x( )3x²4x 5 f( )x 6x4

∴

3

( ) (3)

lim^x 3

f x f

 x

  

  f(3)14

34、設 f x( )(2x³x²3)³，試求 f x( ), f ( 1)。

答案： f x( )3(2x³x²3)²(6x²2 )x 6 (2x x³x²3) (3² x1) ( 1) 6 ( 1)( 2 1 3)2 ( 3 4)

f                6 0 ( 7) 0 35、設 f x( )(x³3 ) (2x ² x1)，求 f x( )？ f(0) ？ 答案：∵ f x( )(x³3 ) (2x ² x1)

∴ f x( )((x³3 ) ) (2x ²  x 1) (x³3 ) (2x ² x1)

3 2 3 2

2(x 3 )(2x x 1)(3x 3) 2(x 3 )x

     

3 3 2

(x 3 )(14x x 6x 18x 6)

    

∴ f(0)0

36、 設：₁ yx³, ：₂ yx²2x。若₁與₂在第一象限之交點為A，以A為切點分別作₁,

2之切線，令二切線所夾的銳角為θ，求tanθ？ 答案：解

3

2 0, 0

2 y x

x y

y x x

   

  

 且 ，得( , )x y (2,8)

yx3 y 3x²，則過 (2,8) 切線斜率為12

2 2 2 2

yx  x y x ，則過 (2,8) 切線斜率為6，∴ 12 6 6 tan 1 12 6^ 73

 

37、試求曲線yx⁴8x³24x²34x25在x 3處的切線方程式。

答案：由綜合除法

1 8 24 34 25 3

³ 15 ²⁷ 21

1 5 9 7 4

3 6 9

1 2 3 2

得所求之切線方程式為y2(x 3) 4，即y2x2

38、二曲線：₁ yx²ax b 與：₂ y  x³ c在點 (1, 2 ) 相切且有公切線，求 ( 1 ) a b c  _______。( 2 )公切線的方程式為_______。

答案：( 1 ) 4 ( 2 ) 3x y 1 解析：( 1 ) yx²ax b  y 2xa

y   x3 c y  3x² 依題意：

1 2

1 2

2 3

a b c a

   

   

   



解得c 1, a 5, b2 a b c   4 ( 2 )公切線方程式為y  2 3(x1)