93.11.11 班級範圍2-5 空間之直線方程式2+Ans 座號姓名 ... - 明誠

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：93.11.11 班級

範 圍

2-5空間之直線方程 式2+Ans 座號

姓 名 一. 填充題 (每題 10 分)

1、設平面E，包含直線 : ^{3 1}

2 2 3

x y z

L + −

= =

− 並且垂直平面F x: −2y+ =z 5，則平面E之方程 式為_________。

答案答案：：4x+ −y 2z+11=0

解析解析：：(2, 2, 3) (1, 2,1)− × − =(4,1, 2)− ∴平∴平面面EE之之方方程程式式為為4x+ −y 2z+11=0

2、試求過點A(3,2,–1)而與直線 3 1 0

: 3 2

x y

L y z 0

+ − =

⎧⎨ + − =

⎩ 垂直的平面E之方程式。

答案答案：平：平面面EE之法之法線線方方向向比比＝＝直直線線LL之方之方向向比比 3 0 0 1 1 3

: : 3 : 1

3 1 1 0 0 3

= = − : 3

平面平面EE之方之方程程式式為為3(x− −3) (y− +2) 3(z+ =1) 0，即，即3x− +y 3z− =4 0

3、試求過點P(1, 2, 3)而與直線 ₁ 0

: 3 2 1

x y z

L x y z

+ − =

⎧⎨

+ + + =0

⎩ 平行的直線L₂之對稱比例式。

答案答案：：L₂之之方方向向比比==L₁之方之方向向比比 1 1 1 1 1 1

: : 3 : 5 :

1 2 2 3 3 1

− −

= = − −2

L2之之對對稱稱比比例例式式為為 ^{1 2}

3 5

x− y− z−

= =

− −

3 2

0

。 。

4、 若兩直線 ₁ 3 ₂ 2 交於一點P，求a值及交點P之坐標。

: , :

2 2 2 3 0

x y z x y z

L L

x y z ax y z

+ + = − − =

⎧ ⎧

⎨ − + = ⎨ + + =

⎩ ⎩

答案答案： ：

1

2

: 3

2 2

2 0

: 2 3 0

x y z L x y z

x y z L ax y z

+ + =

⎧⎨ − + =

⎩

− − =

⎧⎨ + + =

⎩

1 2 3

4 由

由¬¬, ,−−,, ®®解得解得x=1, y=1, z=1，，交交點點為為P(P(11,, 11,,11))，，代代入入¯¯ 5

得 得a= −5

5、設A(2,−2,4), B(3,0,1)，點P在平面E:2x− +y 2z= 上，則P點坐標為何時，可使PA+PB 最小，又其最小值為何？

答案答案：A：A對對平平面面EE之之對對稱稱點點A′為 為

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 9 2 ( 1) 9 2 2 9

( 2 , 2 , 4 ) ( 2, 0, 0)

2 ( 1) 2 2 ( 1) 2 2 ( 1) 2

× × × − × × ×

− − − − =

+ − + + − + + − + −

(5, 0,1)

AB= ⇒ AB x: = − +2 5 , t y =0, z=t

AB與平與平面面EE之交之交點點為為2( 2 5 )− + t +2t=5 ∴∴ 3 t =4

∴P∴P點點為為( , 0, ) ^{7 3}

4 4 ，PA+PB最小最小值值為為A B′ = 26

6、若A(3, 1, –1), B(2, 5, 3), C(x, y, –5)三點共線，試求x,y之值。

答案答案：：AB= −(2 3, 5 1, 3 1)− + = −( 1, 4, 4)，得，得 3 1 4

5 1 4

x t

y t

t

⎧ = −

⎪ = +

⎨⎪− = − +

⎩

，則，則t= −1, x=4, y= −3。 。

7、試求兩直線 ₁ 0 ₂ 1 的夾角。

: , :

0 3

x y z x y

L L

y z x y z

+ − = − =

⎧ ⎧

⎨ + = ⎨ − + =

⎩ ⎩ 2

答

答案案：：L₁之方之方向向比比為為1 1 1 1 1 1

: : 2 : 1

1 1 1 0 0 1

− −

= − :1

L2之之方方向向比比為為 1 0 0 1 1 1

: : 1: 1: 2 1:1: 2

3 1 1 1 1 3

− −

= − − − =

− −

設

設L L₁, ₂所夾所夾之之銳銳角角為為θ，則，則

2 2 2 2 2 2

2 1 1 1 1 2 1

cos , 60

2 ( 1) 1 1 1 2 2

× − × + ×

= = =

+ − + + +

θ θ °

) 故

故L L₁, ₂的夾的夾角角為為60°或120或 °。 。

8、試求線段 的長度及其中點的坐標。

3 4

2 3 , 1 5 1 12

x t

y t t

z t

⎧ = +

⎪ = − − − ≤ ≤

⎨⎪ = +

⎩ 答

答案案：：t = − ⇒ −1 ( 1,1, 11− ；；t= ⇒5 (23, 17, 61)− 此

此線線段段之之長長度度為為 (23 1)+ ²+ − −( 17 1)²+(61 11)+ ² = 6 4²+ −( 3)²+12² =78 令令 ^{1 5} 2

t= − +2 = ，得，得中中點點之之坐坐標標為為(3 4 2, 2 3 2, 1 12 2)+ × − − × + × =(11, 8, 25)− 9、 設平面E與平面x+4y−3z=4及2x−3y+ =z 11相交於一直線，又平面E與平面

互相垂直，則平面方程式為何？

3x− =y 4 答

答案案：設：設平平面面E k x: ( +4y−3z− +4) (2x−3y+ −z 11)=0 (k+2)x+(4k−3)y+ − +( 3k 1)z+ −( 4k−11)=0

∴∴(k+2, 4k− − + ⋅3, 3k 1) (3, 1, 0)− =0 ∴∴k=9

∴平∴平面面EE為為11x+33y−26z−47=0

10、試求兩歪斜線 ₁ ，及

19 8 : 12 5 ,

3

x t

L y t t

z t

= +

⎧⎪ = + ∈

⎨⎪ = +

⎩

2

2 2 : 1 3 ,

23 4

x k

L y k k

z k

⎧ = +

⎪ = −

⎨⎪ = −

⎩

∈ 的距離。

答案答案：：L₁過過A(A(1199,, 1122,, 33)),, L₂過過B(B(22,, 11,, 2233))，，a = AB= −( 17, 11, − 20) L1之方之方向向比比為為8 8 :: 55 :: 11 ;;L₂之方之方向向比比為為2 2 :: −−33:: −−

2

4 4 之

之公公垂垂方方向向比比為為

1,

L L 5 1 1 8 8 5

: : 1: 2

3 4 4 2 2 3 = −

− − − − : 2

2

2

取

取 之公之公垂垂向向量量 , , 之

之距距離離為為

1,

L L b =(1, 2, 2)−

1,

L L a 在在b 上之上之正正射射影影長長 ^{17 22 40} 15 1 4 4

a b b

− + +

⏐ ⋅ ⏐

= = =

⏐ ⏐ + +

。

。

11、兩歪斜線 ₁: ^{2 12 4}, ₂: ^{2 5}

2 1 4 3 1 1

x y z x y

L + = − = − L − = + =

−

z，則其公垂線L之對稱比例式為 何？又兩歪斜線間的距離為何？

P在P在LL₁₁上，上，

答案答案：設：設 P( 2− −t 2,t+12, 4t+4)，Q，Q在在LL22上，上，Q s(3 +2,s−5, )s ( 2,1, 4) 0, (3,1,1) 0

PQ⋅ − = PQ =

∴

∴11s t+ − =9 0, , s+21t+41 0= ，∴，∴s=1, , t= −2

∴P∴P((22,,1100,,−−44)),, QQ((55,,−−44,,11))，， ∴∴ : ^{5 4 1}

3 14 5

x y z

PQ − + −

= =

− ，，d P Q( , )= 230

12、設A(1, 2, 3), B(2, 1, 0), C(0, 0, 0)，求過△ABC之重心且與平面ABC垂直的直線對稱比 例式。

答

答案案：△：△AABBCC之之重重心心為為

3

OA OB OC+ + =(1(1,, 11,, 11)),,CA=(1(1,, 22,, 33)),,CB=((22,, 11,, 00))

設

設所所求求直直 的方的方向向向向量量為為

∴∴ ∴取∴取 線

線 n

n CA n CB

⎧⎪

⎨⎪

⎩

⊥

⊥

⇒ n =CA CB× 2 3 ( 1 0

= ,,3 1

0 2 ,,1 2

2 1 )=( ( −3，，66，， ) )

取(取(1，(，(−

−3

−22))，，11))⇒ ¹ 1 x−

== ² 2 y−

− == ³ 1 z−

13、設L₁: ³ 1 x− 1

6

−y

= = 5

2 z−

,L₂: ⁴ 3 x+ 1

2

−y

= = 3 2

−z

(1)求包含 且平行 的平面？

(2)求 , 的最近距離？

L1 L₂ L1 L₂

答案答案：(：(11))設設平平面面EE包含包含L₁與與L₂平行平行，，令令n =((aa,, bb,, cc))

∴∴n ⊥⊥v₁且且n⊥⊥v₂, , v₁ =(1, 6, 2)− ,, v₂ =(3, 2, 2)− −

∴

∴aa：：bb：：cc 6 2

2 2

= −

− − ：： 2 1

−2 3 ：：1 6

3 2

− =

− 1616：：88：：1166 == 22：：11：：22

∴∴取取(2,1, 2)，，∴∴EE：：2x+ +y 2z=k過過 上的上的點點AA((33,, 11,, 55))代代入入

∴∴ ，∴，∴EE：：

L1

6 1 10 17

k = + + = 2x+ +y 2z=17

(2(2))點點BB((−−44,, 11,, 33))在在L₂上，上，dd((L₁,,L₂))=d(d(BB,, EE)) 8 1 6 17 4 1 4

− + + −

= =

+ + 6 6 14、試驗證：L₁: ¹

1

x− 2

2 y−

= = 3

1 z+

,L₂: ¹ 2

x− 1

2 y−

= = 1

1 z−

兩直線歪斜。

答案答案：(：(11))兩兩方方向向向向量量((11,, 22,, 11)) // (2(2,, 22,, 11))，，故故兩兩直直線線非非重重合合且且非非平平行行 (

(22))令令L₁:: 1

2 2 3

x t

y

z t

⎧ = +

⎪ = +

⎨⎪ = − +

⎩

t，，代代入入L₂，，^{1 1} 2

+ −t 2 2 1 2 + −t

= = 3 1

1

− + −t

∵

∵2

t 2 1

2 t+

= ⇒t= −1，，^{2 1} 2

t+ 4

1 t−

= ⇒tt無無解解，，故故tt無解無解，，表表L₁, , L₂不相不相交交 由

由((11)),, ((22))知知，，L₁,,L₂歪斜歪斜。。

15、試求含直線 ₁ 6 4 3 5

: 2 2

x y z

L x y z

0 0 + + + =

⎧⎨ + + − =

⎩ 而與直線 ₂ 2 1

: 2 1 0

x y

L x z

+ − =0

⎧⎨ + + =

⎩ 平行的平面之方程式。

答案答案：所：所求求平平面面之之方方程程式式為為(6x+4y+3z+ +5) k(2x+ + −y z 2)=0

即即(6+2 )k x+ +(4 k y) + +(3 k z) + −(5 2 )k =0，其，其法法向向量量為為n = +(6 2 , 4k +k, 3+k) 之之方方向向比比為為

L2 1 0 0 2 2 1

: : 2 : 4 :

0 2 2 1 1 0 = − −1

取取LL之方之方向向向向量量v =(2, 4, 1)− − ， ，

此時此時n v⋅ =2(6 2 ) 4(4+ k − + − +k) (3 k)= ⇒ + =0 7 k 0，，k= −7 ， ， 得所得所求求平平面面之之方方程程式式為為8x+3y+4z−19=0

16、試求點P(2, 1, 0)對於直線 ^{1 4}

1 2 3

x− = y− = z−3

的對稱點之坐標。

答

答案案：此：此直直線線上上有有一一點點AA((11,, 44,, 33))

(2 1, 1 4, 0 3) (1, 3, 3)

a = AP= − − − = − − ，，b =(1, 2, 3) 所求所求之之對對稱稱點點為為Q，，

2

( )

2

AP AQ a b b b

+ ⋅

=

⏐ ⏐



2

2(a b)

AQ b

b

⇒ = ⋅ −

⏐ ⏐

AP

Q= _{2 2 2}

2

2( ) 2(1 6 9)

(1, 4, 3) (1, 2, 3) (1, 3, 3) ( 2, 3, 0)

1 2 3

A+ a b b−a b

⋅ − −

= + − − − = −

+ +

⏐ ⏐

17、設空間中直線 : ^{1 2}

4 3 3

x y z

L − = + = 與平面E :x−2y+ =z 3，若直線L在平面E上之投影 為直線L′，直線L與平面E相交於P，則(1)P點坐標為________，(2)求包含直線L及

L′之平面方程式為________，(3)直線L′之方向向量為(a,2,b)，則 ________, ________。

a= b=

答案答案：(：(−−77,,−−88,,−−6)6),, 9x− −y 11z=11; ; 23 17 10; 10 解析解析：： ^{1 2}

4 3 3

x y z

− = + = =t ∴∴(4t+ −1) 2(3t− +2) (3 )t =3，，∴∴t= −2 ∴∴P( 7, 8, 6)− − − (4, 3, 3) (1, 2,1)× − =(9, 1, 11)− −

∴

∴包包含含LL及及L′之之平平面面法法向向量量為為(9, 1, 11)− − ，，其其方方程程式式為為9x− −y 11z=11 直線直線L′之之方方向向向向量量為為(

∴

∴

9, 1, 11) (1, 2,1)− − × − = −( 23, 20, 17)− − ( , 2, ) //( 23, 20, 17)a b − − − 23 17

10, 10 a= b=

18、設空間中兩點A(−4,2,5), B(5,5,−1)與直線 : ^{3 5}

2 1

x y z

L 2

− = = +

− − 在L上找一點P，使PA+PB 最小，則P點坐標為何？又此時PA+PB之最小值為何？

答

答案案：A：A對對直直線線LL之之投投影影點點為為A′(2t+ − − −3, t, 2t 5)

(2t+ − − − −7, t 2, 2t 10) (2, 1, 2)⋅ − − =0 ∴∴t= −4， ， ∴∴A′(−(−55,,44,,33))且且AA′ =3 BB對對直直線線LL之之投投影影點點為為B′(2s+ − − −3, s, 2s 5)

∴

∴

(2s− − − − − ⋅2, s 5, 2s 4) (2, 1, 2)− − =0 s= −1 ∴∴B′(1(1,,11,,--3)3),, BB′ =6

∴

∴PP在在A B′ ′上上且且PA PB′: ′ =1: 2，∴，∴PP((−−33,,33,,11))，，PA PB+ = 18+ 72=9 2

19、設△ABC的三頂點為A(3,2,2), B(1,−1,4), C(t,s,1−t−s)，則△ABC周長之最小值為何？又

此時C點坐標為何？

答

答案案：C：C點點落落在在x+ + =y z 1之之平平面面EE上上

AA對對平平面面EE之之對對稱稱點點A′為為( 3 ₂^{2 1 6}_{2 2}, 2 ₂^{2 1 6}_{2 2}, 2 ₂^{2 1 6}_{2 2} ) ( 1, 2, 2)

1 1 1 1 1 1 1 1 1

× × × × × ×

− − − = − −

+ + + + + + −

，， ' (1 1, 1 2, 4 4) (2,1, 6)

A B= + − + + = A B x′ : = +1 2 , t y= − +1 t z, = +4 6t A B′ 與平與平面面EE之之交交點點為為C，C，1 2+ + − + + +t ( 1 t) 4 6t =1 ，， 1

t = −3 ∴∴ ( ,^{1 4}, 2)

3 3

C −

△

△AABBCC周周長長最最小小值值為為AB+A B' = 17+ 41

20、設二點A(3,1,2), B(4,3,3)和一直線L x: = +t 1，y=1，z= − +t 2，若點P在直線L上移 動，則當P點坐標為何時，△PAB的面積最小？又其最小面積為何？

答

答案案：直：直線線ABAB與與LL為歪為歪斜斜線線，，為為使使△△PPAABB面面積積最最小小，，故故PP到直到直線線LL之距之距離離要要最最小小，，因因此此 PP為為此此對對歪歪斜斜線線之之公公垂垂線線與與LL之之交交點點。。

( 1,1, 2)

P t+ − +t ，設，設QQ在在AB上，上，Q(3+s,1 2 , 2+ s +s)

∴∴ (1, 0, 1) 0, (1, 2,1) 0

PQ⋅ − = PQ⋅ = t=1, , 6s+ =2 0 1

s= −3 ∴P∴P((22,,11,,11)),, ( , , ), , ^{8 1 5 2 3} 6

3 3 3 3

Q PQ= AB=

∴

∴△△PPAABB ¹ 6 ^{2 3} 2

2 3

= × × =