PowerPoint 演示文稿

复习 1 ：

函数的和、差、积、商的求导法则 设u  u(x),v  v(x)可导，则

（1）(u  v)  u v, （2）(cu)  cu

（3）^{(uv)  uv  uv}, （4）^{( )   }₂ ^{ (v  0)}

v

v u v

u v

u .

( 是常数 )^C

 

d d d

f[ (x)] f (u) (x);

dx   du dx  或 y ^

 y u

^{ } 

2.3 隐函数与参量函数微分法

一、隐函数的导数

1 、定义 :

. )

( 0

) y , x (

F 所确定的函数 称为隐函数 由方程  y  y x

( , ) 0 F x y 

f (y) 注：当遇到时,

f (y) f[y(x)] f (y)

d d d dy

  

得到关于 dx

dy 的代数方程，解得 g(x, y)即为所求 dx

dy  2 、隐函数求导法则 :

方程两边对 x 求导 ,

例 1

. ,

0

0







x

y x

dx dy dx

y dy

e e

xy 的导数

所确定的隐函数 求由方程

解 方程两边对 x求导,

    0 dx

e dy dx e

x dy

y

解得 _y

,

x

e x

y e

dx dy



 

00

0 

 

 



xy y x

x x e

y e

dx

dy  1.

例 2

.

, 2)

, 3 2 (3

,

3 3

3

线通过原点

在该点的法 并证明曲线

的切线方程 点

上 求过

的方程为 设曲线

C

C xy

y x

C  

解 ^{方程两边对 x求导, 3x2  3 y2 y  3y  3xy}

2) ,3 2 (3

2

2 2)

,3 2

(3 y x

x y y



 

   1.

所求切线方程为 )

2 ( 3

2

3   

 x

y

2 3 2

3  

 x

法线方程为 y 即 y  x, ^{显然通过原点 .}

二、反函数的导数

定理 ( )

( ) 0 , ( )

, ( ) 1 .

(y)

y

x

x y I

y y f x

I f x









  

 



若直接函数在某区间内单调、可导 且那末它的反函数在对应区间

内也可导且有:

dy 1 dx dx

dy 即： 

证：

两边对 方程x   ( y) x

dx y  dy

 ( )

1  ^{ f(x) } _dx^{dy } ^_{( y)}

1

1

dx dy



即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数 .

例 2.3.4

求的导数 y  arcsin , x ( 1,1) x   .

解一 sin ( , ) ,

y 2 2

x _ y I _{ }

 

 在在在在在在在

cos 0,

dx y

dy  

且

( 1,1) , I

 在内有   (arcsin ) 1

x cos

  y

2

1

1 sin y

  ²

1 . 1 x

 

(arccos ) x  

2

1 . 1 x



( arcsin ) 

2 x

 _

 

例 2.3.4

求的导数 y  arcsin , x ( 1,1) x   .

解 2 sin y ( , ) x x _ y _{ }

 

由，两边对求导：

1 cos y dy

 dx

( 1,1) , I

 在内有   (arcsin ) x  

2

1 . 1  x

dy 1 cos

dx y

 

2 2

1 1

1 sin y 1 x

 

 

例 2.3.5

求的导数 y  arctan x .

解 tan y ( , ) x x _ y _{ }

 

由，两边对求导：

2 dy

1 sec y

 dx

(arctan ) x  

2

1 . 1  x

2

dy 1

sec

dx y

  1 ₂ 1 ₂

1 tan y 1 x

 

 

(arc cot ) x   1

1 x .



( arctan ) 

2 x

 _{  }

观察函数 (x 1), (x 0).

) (

)

(   _sin 





  ^x

x y x

e x

x y x

2 3

4

1 1

方法 :

先在方程两边取对数 , 然后利用隐函数的求导 方法求出导数 ( 简化求导运算 ) 。

--- 三、对数求导法

适用范围 :

. )

( ^{( )}的情形

开方和幂指函数 多个函数相乘、乘方、

x

x v

u

x x

x x

y    ln(  1)  2ln(  4)  3

) 1 1 ln(

ln

求导得 上式两边对 x

4 1 2 )

1 (

3

1 1

1 

 

 

 



x x

x y

y

] 4 1

2 )

1 (

3

1 1

[ 1 )

4 (

1 )

1 (

2

3 

 

 

 



 

 

x x

e x x

x

y x _x

例 3

, .

) 4 (

1 )

1 (

2 3

e y x

x

y x







  求

设

解 等式两边取对数得

. ),

0 (

sin

x y

x

y 

 求 

设

解一

ln y  sin x  ln x

x x x

x y y

sin 1 ln

1 cos







 

1) sin

ln

(cos x x x x

y

y    

 sin )

ln

sin (cos

x x x

x

x ^x  



解二

 y x 

 e

sin ln

(

) y  e 

   e

(sin ln ) x x 

sin

sin

(cos ln )

x

x

x x x

  x

例 4

一般地

y u x  ( )

( ( ) 0) u x 

ln y v x  ( ) ln ( )  u x

1 ( ) ( )

[ ( ) ln ( ) ]

( ) v x u x

y v x u x

y u x

     

解一

( )

( ) ( )

( ) [ ( ) ln ( ) ]

( )

v x

v x u x

y u x v x u x

u x

     

解二

y u x  ( )

 e

利用复合函数求导

例 5

dx y dy

x ^{y x}求 设 

解 两边取对数得 y x

x

yln  ln 两边对

x

y y x x y

y x

y      1   1 ln

ln

2 2

ln ln

x x

xy

y y

y xy



 

 

例 6 求 的导数 )

4 )(

3 (

) 2 )(

1 (







 

x x

x y x

解 这函数的定义域 x  4, 2  x  3, x  1

 4

若 x 两边取对数得

)]

4 ln(

) 3 ln(

) 2 ln(

) 1 2[ln(

ln y  1 x   x   x   x 

两边对

x

4] 1 3

1 2

1 1

[ 1 2 1 1

 

 

 

 

 

x x

x y x

y

1 1 1 1

y

 1 若 x

) 4

)(

3 (

) 2

)(

1 (

x x

x y x







  两边取对数得

)]

4 ln(

) 3

ln(

) 2

ln(

) 1

2[ln(

ln y  1  x   x   x   x

两边对

x

4 ] 1 3

1 2

1 1

[ 1 2 1 1

x x

x y x

y 

 



 



 



 

 

4]

[  

 

 

 

 

x x

x x

y y 1

3 1 2

1 1

1 2

同理 若 2  x  3

1 1

[ ]

2 1 2

1 1

3 4

y y

x x  x  x

  

  

 

四、由参数方程所确定的函数的导数

) t

.(

) , (

) (





















定的函数 称此为由参数方程所确

间的函数关系 与

确定

若参数方程 y x t

y

t x

例如 





, , 2 t2

y

t x

2

t  x

2

2 )

( 2x t

y  



4

x

 y x

2

 1

 

问题 : 消参困难或无法消参如何求导 ?

) , (

) ( 中 在方程









t y

t x

), (

)

(t t ¹ x

x 





[ 1( )]

y 

 

, )

( ,

) ( ),

(    0

 t y t t

x   _{都可导 且}

设函数

由复合函数及反函数的求导法则得 dx

dt dt

dy dx

dy  

dt dt dx

dy 1



 ( )

) (

t t







 

dt dxdt

dy dx

dy  即

例 7 求摆线 在 处的切线 ) 2

cos 1

(

) sin

( _













 t

t a

y

t t

a

x 方程 .

解

dt dxdt dy dx

dy 

t a

a

t a

cos sin

 

t t cos 1

sin

 

2 t 1 dy

dx ^

 

. ),

2 1 (

2 , x a y a

t      

时 当

所求切线方程为 1) ( 2 





 

a x

a y

2) 2

( _ 



 x a 即 y

练习 1 ：

2

arctan dy

2

5 , dx

x t

y ty e

 

   

 求

解

x 1

1

d

dt  t



y

y

2 d 2 d

0

y t y e

dt   dt   而

y

2 2ty d y e

dt

  得 

2 2

y y ( )(1 )

x t / t 2(1 ty)

d d dx y e

t

d d d

 

  



2

arctan y ln

, dy

x y

x   dx

设求

解 _{方程两边对}^x_求导得

) 1 (

1

1 _{2 2}

2

2 2   

 





 







 



 

y y x

x x y x

y

2 2

2 2 2

2 2

2

2

2 2

1

y x

y y x

y x x

y x

y y

x x



 

 

 

 

 

y y x

y x

y    



y x

y x

dx dy



 



( ) ( )

x t

y t





 

  

) (

t t







  dy dy dt dx dx

dt



) , (

)

( 二阶可导

若函数









t y

t x

)

2 (

2

dx dy dx

d dx

y

d 

dx dt t

t dt

d )

) (

) ( (



  容易漏掉

( )

dy ( )

dx ( )

x t

t t







 

 

 

 



2 2

dy ( (t) )

( dx ) (t)

(t) d d

d y dt dt

dx dx

dt









  

 参数方程的高阶求导

or,

P57 例 2.4.9

五、小结

隐函数求导法则 : 直接对方程两边求导 ;

对数求导法 : 对方程两边取对数 , 按隐函数的求 导法则求导 ;

参数方程求导 : 实质上是利用复合函数求导法则

;