3.1 3.1

教学要求：

1. 了解二维随机变量的概念、联合分布函数及性质 ; 2. 了解二维离散型随机变量的联合分布律及性质 ;

3. 了解二维连续型随机变量的联合概率密度及性质 ; 4. 会用（ 1 、 2 、 3 ）计算有关事件的概率 .

3.1 3.1 二维随机变量及其分布 二维随机变量及其分布

.二维随机变量及分布函数 一

.二维离散型随机变量的概率分布 二

.二维连续型随机变量的概率密度 三

.常用的二维分布 四

. 维随机变量的几个概念 五 n

一、二维随机变量及分布函数 1. 二维随机变量的定义

设随机变量 X 和 Y 是定义在同一样本空间 S 上的两个 随机变量 , 则由它们构成的一个向量 (X,Y) 叫做二维 随机向量或二维随机变量 .

2. 二维随机变量的分布函数

. )

, (

} ,

{ )

, (

, ,

, )

, (

函数 的分布函数或联合分布

为二维随机变量

称二元函数 是二维随机变量

设

Y X

y Y

x X

P y

x F

R y

x Y

X











注意 : (1) {X  x,Y  y}  {X  x}{Y  y};

; )

, ( ) 2

( F x y 的定义域为整个平面区 域

: )

, ( ) 3

( F x y 的几何解释

如果把二维随机变量看成是 平面上随机点的坐标 ,

则 F(x, y) 就是随机点 (X, Y) 落在以 (x, y) 为顶点而 位于该点左下方的区域内

的概率 .4) ( , ) : ( 由F x y 的几何解释可得

).

, (

) ,

( )

, (

) ,

(

} ,

{

1 1

2 1

1 2

2 2

2 1

2 1

y x

F y

x F y

x F y

x F

y Y

y x

X x

P

















o x

y (x, y)

 y

Y x

X  , 

证明 P{x₁  X  x₂, y₁  Y  y₂}

,

 0 }

,

{X x₂ y₁ Y y₂

P   



} ,

{X x₂ Y y₂

P  



. 0 )

, (

) ,

( )

, (

) ,

(x₂ y₂  F x₂ y₁  F x₁ y₁  F x₁ y₂  故 F

} ,

{X x₁ y₁ Y y₂

P   



} ,

{X x₂ Y y₁

P  

 } ,

{X x₁ Y y₂

P  

  P{X  x₁,Y  y₁}

3. 二维随机变量的分布函数的性质 即 单调不减

或

分别对 ,

) , ( ) 1

( F x y x y

);

, (

) , (

, _{1 2}

2

1 x F x y F x y

x  时 

当

).

, ( )

, (

, _{1 2}

2

1 y F x y F x y

y  时 

当

且 , 1 )

, ( 0

) 2

(  F x y 

, 0 )

, ( lim

) ,

(  



 F x y

y

F x

, 0 )

, ( lim

) ,

(   



 F x y

x

F y

, 0 )

, ( lim

) ,

(   





 F x y

F

xx

. 1 )

, ( lim

) ,

(   





 F x y

F

xx

即 右连续

或

关于 ,

) , ( ) 3

( F x y x y

).

, ( )

0 ,

( ),

, ( )

, 0

(x y F x y F x y F x y

F    

. 0 )

, (

) ,

( )

, (

) ,

(

, ,

), ,

( ), ,

( ) 4 (

1 1

2 1

1 2

2 2

2 1

2 1

2 2

1 1















y x

F y

x F y

x F y

x F

y y

x x

y x

y

x 且 都有

以上性质是验证某函数为联合分布函数的充要条件 .

ex1. 已知二维随机变量 (X,Y) 的分布函数为 3)]

( 2)][

( [

) ,

( y

arctg x C

arctg B

A y

x

F   

1) 求常数 A ， B ， C 。 2) 求 P{0<X<2,0<Y<3}

解 : ] 1

][ 2 [ 2

) ,

(        C

B A

F

0 3 )]

( 2 ][

[ )

,

(    y 

arctg C

B A

y

F 

0 2 ]

2)][

( [

) ,

(      

x C arctg

B A

x F

2

1

2 

 _





 B C A

16 ) 1

0 , 2 ( )

3 , 0 ( )

3 , 2 ( )

0 , 0 ( }

3 0

, 2 0

{  X  Y   F  F  F  F  P

二、二维离散型随机变量的概率分布 定义

设二维离散型随机变量 (X, Y) 的所有可能取值为 ,

2 , 1 ,

), ,

(x_i y_j i j  相应的概率为

, 2 , 1 ,

, }

,

{X  x Y  y  p i j 

P _{i j ij}

称上式为随机变量 (X, Y) 的概率分布或联合分布律 . 注意 1. 直观表示为联合分布表 :

Y X x¹ x₂  x_i  y1

 yj



p11 p₂₁  pⁱ¹ 

  

  

p₁ j p_{2 j}  p_ij 

2. 联合分布律满足以下两个条件 : );

, 2 , 1 ,

( , 1 0

) 1

(  p_ij  i j  

. 1 )

2 (

1 1

 







i j pij

以上两式即为联合分布律的性质 .

3. 二维随机变量对应的分布函数为：

} ,

{ )

,

(x y P X x Y y

F   

 







x

x y y i j

i j

y Y

x X

P{ , }

 

 



x

x y y ij

i j

p

ex2. 箱中装有 12 件产品，其中有 2 件次品，在箱中随机 地取两次，每次取一件，定义两个随机变量 X,Y 如下：

, 1

0



 

第一次取出的是次品 第一次取出的是合格品 X



 

第二次取出的是次品 第二次取出的是合格品

1 Y 0

若为放回抽样，写出 (X,Y) 的联合分布律 . 解

12, 10 12

} 10 0 ,

0

{X  Y   

 P ,

12 2 12

} 10 1 ,

0

{X  Y   

P 12, 10 12

} 2 0 ,

1

{X  Y   

P _,

12 2 12

} 2 1 ,

1

{X  Y   

P

所以 (X,Y) 的联合分布律为：

Y X 0 1

0 1

12 10 1210 

12 2 1210 

12 10 122 

12 2 122 

}.

3 ,

1 {

) , ( .

~ 1 ,

4 , 3 , 2 , 1



 Y X

P Y

X

X Y

X

的分布律及 试求

整数值

中等可能地取一 在

另一个随机变量 取值

四个整数中等可能地 在

设随机变量 练习 1

Y X 1 2 3 ₄

1 2 3 4

4 1

8 1

12 1

16 1

0 8

1

12 1

16 1

0 0 12

1

16 1

0 0 0 16

1

16 11

} 3 ,

4 {

} 2 ,

4 {

} 1 ,

4 {

} 3 ,

3 {

} 2 ,

3 {

} 1 ,

3 {

} 3 ,

2 {

} 2 ,

2 {

} 1 ,

2 {

} 3 ,

1 {





























































Y X

P Y

X P Y

X P

Y X

P Y

X P Y

X P

Y X

P Y

X P Y

X P Y

X P

练习2 已知 件产品中有 件一等品，10 3 5 件二等品，

件三等品 .

2 从这批产品中任取 4件产品，

等品、二等品件数的二维联合概率分布 .

解 : 设 分别是取出的 4 件产品中一等品及二等X ,Y 品的件数，

, )

,

( ₄

10 4 2 5 3

C C C j C

Y i X

P

j i j

i  







其中i  0 ,1,2 ,3 ; j  0 ,1,2 ,3 ,4 ; 2  i  j  4.由此得 )

,

(X Y 的二维联合概率分布如下：

求其中一

则 的联合概率函数为(X ,Y )

X Y 0 1 2 3 4 0

1 2 3

0 0

0

0 0

0 0 0

210 10

210 20

210 5

210 15

210 60

210 30

210 3

0

210 30

210 30

210 2

210 5

三、二维连续型随机变量的概率密度 1. 概率密度的定义

. )

, (

) , ( ,

) , (

) , ( )

, (

, , ),

, (

), ,

( )

, (

密度或分布密度 的概率密度或联合概率

称为

其中函数 为二维连续型随机变量

则称

有 使对于任意实数

在非负函数

存 的分布函数

如果对于二维随机变量

Y X

y x f Y

X

dudv v

u f y

x F

y x y

x f

y x F Y

X

y x

 



2. 概率密度的性质

; 0 )

, ( ) 1

( f x y 

 

) 2

( f x y dxdy  F(,);

);

, ) (

, , (

) , ( )

, (

) 3 (

2

y x y f

x

y x y F

x y

x

f 



 则

处连续 在点

若

内的概率为 落在

点 平面上的区域

是

设G xoy , (X ,Y ) G

) 4 (

. )

, ( }

) ,

{( ^{ }



G

dxdy y

x f G

Y X P

注意 :

证明从略 ;

(1)(2) 两性质为概率密度函数的特性 ;

性质 (3) 告诉我们由分布函数求分布密度函数 ; 性质 (4) 是已知概率密度函数求事件的概率公式 .

ex3. 设 (X,Y) 的分布密度为



  

 ^{ }

其它

0

0 ,

0 )

, (

) 4 3

( x y

y Ae x

f

y x

}.

2 0

, 1 0

{ ) 3 (

);

, ( )

, )(

2 (

; ) 1 (







 X Y P

y x F Y

X A

的分布函数 求

解 : (1) 由

 

0 0 1

) 4 3

( 

 

, 12 1

12 ⁰

4 0

3 ^  ^{ }  

 A

e

A e _{x y}

即

 A  12 .

dudv v

u f y

x

F^{( , ) }

 

) ( 2

, 0

,

0 时

当x  y 

dudv Ae

y x

F^{( , ) }

 

^{ ( 1 }

^{)( 1 }

^).

,

, 取其它时

当 y

(

,

)  0 , 

(

,

)  0 .



    

 ^{ }

故 其它

0

0 ,

0

) 1

)(

1 ) (

, (

4

3 e x y

y e x F

y x

dxdy y

x f

Y X

P

xy





 













2

0 1

0

) , ( }

2 0

, 1 0

{ ) 3 (

. 9502 .

0

1 12

0

2 0

) 4 3

( 



 

解 ⁽¹⁾

 





 p x y x y

因为

1 d

d ) 6

2 (

0 4

2   

 

所以

8;

 1

 k

}.

4 {

) 4 ( };

5 . 1 {

) 3 (

};

3 ,

1 {

) 2 (

; )

1 (

. ,

0

, 4 2

, 2 0

), 6

) ( , (

) ,

(











 

      



Y X

P X

P

Y X

P k

y x

y x

y k x p

Y X

求

求 确定常数

其它

具有概率密度 设二维随机变量

ex4.

x

y

o 2 4

2

} 3 ,

1 {

) 2

( P X  Y 

8; d 3

d ) 6

8 ( 1

1 0

3

2   



 

} 5 . 1 {

) 3

( P X 

32; d 27

d ) 6

8( 1

5 . 1 0

4

2   



 

x

y

o 1

3 2 4

2

} 4 {

) 4

( P X  Y 

3. d 2

d ) 6

8( 1

4 2

4

0   



 

} 4

{X Y

P  



} 4 {

) 4

( P X  Y 

3. d 2

d ) 6

8( 1

4 2

4

0   



 

} 4

{X Y

P  



练习：设二维随机变量（ X ， Y ）的分布密度是：

求：^{P X  1}₂ ^{Y  X }

 

解： ¹

P X  2 Y  X 

 

 

1 ,

P X 2 Y X P Y X

   

 

 

 

 

 

1 2

0 0

1

0 0

1 4 13 3 4

x

x

dx x y dy

dx x y dy

  

 

 

 









3 0, p x y x y

  

 

 其它地方

0  x 1 0  y 1

1 2

2 0

1 2

0

4 3

2 7

3 24

4 2

x x dx x x dx

 

  

 

 

 

  

 





1 2

2

0 0

1 2

0 0

4 2

4 2

x

x

y xy y dx

y xy y dx

 

 

 

 

  

 

 

 





ex5. 设二维随机变量 ( X,Y ) 的密度函数为

 ^,  ^{4 , 0 1, 0 1,}

0, .

xy x y

f x y     

   其他

求 ( X,Y ) 的联合分布函数 ^.

解 ： 有

0 )

,

(



（ 2 ）当

0  x  1 , 0  y  1

0 0

( , ) ^{x y} 4

F x y 

 

^{ x y}

（ 4 ）当

x  1 , 0  y  1

1 2

0 0

4

) ,

( x y dt stds y

F   



时，有 （ 3 ）当

0  x  1 , y  1

2 0

1 04 )

,

(x y dt stds x

F 

 

（ 5 ）当

x  1 或 y  2

1 1

0 0

( , ) 4 1

F x y   xdx ydx  

故所求联合分布函数为

 





 



































. 1 ,

1 ,

1

; 1 0

, 1 ,

; 1 ,

1 0

,

; 1 0

, 1 0

,

; 0 0

, 0

) , (

2 2

2 2

y x

y x

y

y x

x

y x

y x

y x

y x F

或

y

o x

G





   



, , 0

, ; 1 )

(

其它 x b a a

x b f

设 G 是平面上的有界区域 , 其面积为 S. 若二维随机 变量

(X,Y) 的概率密度为





 



, , 0

) ; , ( 1 ,

) , (

其它 y G S x

y x f

则称 (X,Y) 在 G 上服从均匀分布 .

向平面上有界区域 G 内任投一质点

，

四、两个常见的二维分布

1. 均匀分布

B

若质点落在 G 内任一小区域 B 的概率 与

小区域的面积成正比，而与 B 的形状及 位置无关 . 则质点的坐标 (X,Y ) 在

G 上

服从均匀分布 .

).

, (x y

ex6. 设国际市场上甲、乙两种产品的需求量 ( 单位 :t) 是服从区域 G 上的均匀分布 .

 





G  x y  x  y 试求两种产品需求量的差不超过 1000t 的概率 .

   

 

 



x y

4000 2000

6000

3000

1000

 x y

1000



 x y









 



G y

x

G y

y x x f

) , ( ,

0

) , ( 10 ,

6 1 )

,

( ⁶

3 2 6

12 (2 10 ) 1

{ 1000}

6 10 3

D G

P Y X S

S

      

 所求的概率

若二维随机变量 (X,Y) 具有概率密度

 

 

 2(1 )

exp{ 1 2 1

) 1 ,

( ₂

2 2 





 ₁ y

x f

]}

) (

) (

) (

2 )

[( ²

2 2 2

2 1

2 1 1

1  

 

 

  _  x^ y ^ _ y ^ x

其中 ₁, ₂,₁,₂,  均为常数 ,

2. 正态分布

则称 (X,Y ) 服从参数为

的二维正态分 布 .









₁, ₂, ₁, ₂ ,

记作 (X,Y) ～ N( ).^{1, 12,2,22 , }

2 2

( )

1 2

( ) ,

2

x

f x x



  

 

    

 e

0, 0, ₂

1  

 |  |1, 且

分布函数的概念可推广到 n 维随机变量的情形。

事实上，对 n 维随机变量 (X₁, X₂, … , X_n) ，

F(x₁, x₂, … , x_n) ＝ P(X₁ x₁, X₂ x₂, … , X_n x_n) 称为的 n 维随机变量 (X₁, X₂, … , X_n) 的分布函数，

或随机变量 X₁, X₂, … , X_n 的联合分布函数。

 





D  ₁,... : ₁   ₁,...  

 





 

P ... ... (x , ,... ) ...

_{1 1 2 1}

有

定义 1 对于 n 维随机变量 (X_1,X₂,...X_n) ，如果 存在非负的 n 元函数 f(x₁,x₂,...x_n) 使对任意的 n 维区域

五、 n 维随机变量的几个概念

定义 2 若 (X_1,X₂,...X_n) 的全部可能取值为 Rⁿ 上的 有限或可列无穷多个点，称 (X_1,X₂,...X_n) 为 n 维离 散型的，称

P{X₁=x_1,X₂=x₂,...X_n=x_n} ， (x₁,x₂,...x_n) 为 n 维随机变量 (X_1,X₂,...X_n) 的联合分布律。

则称 (X_1,X₂,...X_n) 为 n 维连续型随机变量，称 f(x₁,x₂,...x_n) 为 (X_1,X₂,...X_n) 的概率密度

。

教学要求：

掌握二维随机变量的边缘分布的定义及相关计算。

3.2 3.2 边缘分布 边缘分布

) , lim F(x y

y

 ( ,)

 F x , }

{   

 P X x Y 1. 边缘分布的定义

联合分布 F(X,Y)

（ X,Y ） ^整体地看

局部地看

F_Y(y ) F_X(x ) X

Y

二维联合分布 F(X,Y) 全面地反映了二维随机变量 (X,Y) 的

取值及其概率规律 .

问题：二者之间有什么关系吗 ^?

分别称为 (X,Y) 关于 X 和 Y 的

边缘分布函数

但作为一维随机变量 , X, Y 也有自己的分布 函数 .

} ) {

(x P X x

F_X  

). , (

)

( y F y

F_Y  

; ) ,

( 

 F x 由联合分布可以确定边缘分布

由边缘分布一般不能确定联合分布 反之 ^?

转化为一维 时的情形

ex1. 已知 (X,Y) 的分布函数为























 ^{ }





其它 0

0 1

0 1

) ,

( e ye y x

y x

xe e

y x

F ^{y y}

y x

求 F_X(x) 与 F_Y(y) 。

2. 离散型随机变量的边缘分布函数与边缘分布律

ij j

i Y y p

x X

P

Y X





 , } {

: )

,

( 的分布律为 若二维随机变量

则关于 X 的边缘分布律为 :

, 2 , 1

, }

{

1











i p

x X

P

j ij

 i

p i

关于 Y 的边缘分布律为 :

, 2 , 1

, }

{

1





 ^





j p

y Y

P

i ij

 j

p j

边缘分布函数为 :

, )

, ( )

(

 















x

x j ij

X

i

p x

F x

F

. )

, (

) (

 















y

y i ij

Y

j

p y

F y

F

注意 : 联合分布与边缘分布的关系用表格表示如下：

Y X x¹ x₂  x_i  y1

 yj



p11 p₂₁  pⁱ¹ 

  

  

p₁ j p_{2 j} p_ij

y2 p12 p₂₂  pⁱ² 

 }

{X x_i

P  p_1 p_2  p ^i 

} {Y y_j P 

1

p

2

p

 p_j



3. 连续型随机变量的边缘分布函数与边缘概率密度 )

, ( )

, (

: )

, (

y x f y

x F

Y X 与

为 的分布函数与概率密度 若二维随机变量

则关于 X 的边缘分布函数为 : )

, ( )

(x  F x 

F_X ^

 

关于 Y 的边缘分布函数为 : )

, (

)

( y F y

F_Y   ^

 

关于 X 的边缘概率密度为 : )

( )

( F x

dx x d

f_X  _X ^



关于 Y 的边缘概率密度为 : )

( )

( F y

dy y d

f_Y  _Y ^



ex2. 设 X 取值 0,1,2; Y 取值 0,1 的二维随机变量 (X,Y) 的概 率分布为

. 12,

) 1 1 , 2 ( 8;

) 1 0 , 2 (

8 ; ) 1

1 , 1 ( 6; ) 1

0 , 1 ( );

1 , 0 (

4 ) 1

, 0 (

求边缘分布













P P

P P

j j

P

解 :将关于 X 与 Y 的联合概率分布列表如下：