αβγ = 。對其他的高 次一元方程可類推。

它有n − 1 個拐點（當然有退化的情况）。

y

=

f x

( )的形狀如 下：

而若 n 爲偶數，則形如：

三、函數

1. 函數及函數概念

函數概念作爲貫穿中學和大學數學的一個重要知識，對於 數學教學的開展起着至關重要的作用。函數概念的發展經歷了

圖2-3 多項式方程與函數圖像（n 爲偶數）

y

x

y

x

（n = 4 的情况）

a

_n> 0

（n = 4 的情况）

a

_n< 0

O O

圖2-2 多項式方程與函數圖像（n 爲奇數）

y

x

（n = 3 的情况）

a

_n< 0

y

x

（n = 3 的情况）

a

_n> 0

O O

幾個世紀的演變。今天我們所熟知的教科書中關於函數的定義 已經是許多“版本”改良後的結果。函數這個術語在中國出現

，來自李善蘭（1811-1882）和 Alexander Wylie 共同翻譯的《代 微積拾級》一書。“函數”的含義是“包含的量”，解釋爲“如 果一個變量包含着另一個變量，那麼前者是後者的“函數”。

因爲“函”這個字是包在外面有盒的意思，如“書函”

（大約今天的信封）。古籍之線裝書有一個外殼保護，亦叫函。

函數英文叫function，字義爲“作用”，如 sin x 就是正弦函數 對 x 産生作用。

在當前中國內地的中小學數學課程中，在初中階段始出現 這一概念，主要强調的是變量之間的依賴關係，其定義是：在 一個變化過程中，如果有兩個變量 x 與 y，並且對於 x 的每一 個確定值，y 都有唯一確定的值與其對應，則稱 y 是 x 的函數。

及至高中階段，運用集合與對應的語言刻畫，函數被定義爲：

給定兩個實數集合A，B，對集合 A 的任一元素 a，在集合 B 中存在唯一元素 b 與之對應，稱這個對應關係 f 爲集合 A 到集 合B 的一個函數關係，簡稱函數。

從歷史的發展可以看到，函數概念前前後後包含了表、曲 線、解析表達式、對應關係、有序數對集等理念。其中一一對 應關係可算是當今最常用的定義。其主要原因是爲了把數學挪 到集合這個基礎上，爲此數學家又進一步把函數定義爲帶序三 元組 （A, B, F），F ⊂ A×B，其中適合兩個條件：

a）∀ a ∈ A，∃ b ∈ B，有(a, b) ∈ F；

b）若 (a, b) ∈ F，(a, b′) ∈ F，那麼 b = b′。

由於堅持要把所有東西均須用集合語言來書寫，他們還要 先定義帶序三元組。首先 (x, y) 的定義是{{x}, {x, y}}，而(x, y,

z) = ((x, y), z)。這裏 A 稱爲函數的定義域（domain），B 稱爲

函數的值域（range），F 稱爲函數的圖像。

何以定義得這麼複雜？不難看出，要表明一個關係是否函 數，除了“方程＂（相關的圖像）外，還要看定義域和值域，

例如，x = y²。一般不是由 x 到 y 的函數，但（R⁺, R⁺, F）（其 中 F : {(x, y) : x = y²}）就是函數了。

圖 2-4 函數與否要看定義域

從上述歷史回顧，我們可以瞭解到，縱使現時函數有其標 準的定義，其實它蘊含着多種想法。例如螺線



=



，如圖 2-5 所示在圖上呈現着一條曲線，吻合早期它是函數的想法，但它 卻在直角坐標系中不滿足函數的定義，然而若考慮極坐標，它 又變回一個函數了。如此種種，學生學習函數時會産生種種的 誤解也是可以想象的。

在學習數學不同階段對函數有着不同的要求，Nicholas 曾 總結出教科書中的函數定義類型主要有三種：1）函數用變量 定義；2）函數用集合定義；3）函數用對應法則定義。此外，

還有將函數與計算機或機器模擬，由輸入—輸出（input-output）

(a) 不是函數

x y

O

(b) 是由 R⁺到 R⁺的函數

x y

x = y

²

O

x = y

²

定義，如圖2-6 所示。

現代定義下的函數强調的是集合之間的對應關係，在數學 教學中，常用的表示方法有三種：解析法、列表法和圖像法。

不同的方法有其各自的特點。

解析法有兩個優點：一是可以簡明、全面地概括變量間的 關係；二是可以通過解析式求出任意一個自變量的值所對應的 函數值。例如，由

1 2

−

= +

x

y x

可知，如果任意給出自變量

x

≠1的

值，即可求得因變量 y 的值。如當 x = 2 時， 4 1 2

2 2 =

−

= +

y

。

圖像法的優點是直觀形象地表示自變量的變化，以及相應 的函數值變化趨勢，有利於我們通過圖像來研究函數的某些性 質。例如，由圖 2-7 可以立刻知道，函數

y

=

f

(x) 在區間

(

^{−∞, 0}

]

上是减函數，在區間

[

^{0, +∞}

)

上是增函數。但是利 用圖像法，則未能準確得知每個在定義域內 x 的相對應函數 值。

圖2-6 函數機器 輸入 x

輸出 f (x) 函數 f

圖2-5 螺線

O

筆記本數 x 1 2 3 4 5 所需錢數 y 5 10 15 20 25

列表法的優點是不需要計算就可以直接看出與自變量的 值相對應的函數值，這種方法在實際生産和生活中也有廣泛應 用。例如，某種筆記本的單價是5 元，買 x（x∈{1, 2, 3, 4, 5}）

個筆記本需要 y 元，我們只要列出表格來表示，就可以知道 x 和 y 之間的關係，如圖 2-8 所示。但是利用列表法，我們則只 能得出有限個數的函數值。

在文檔中 — 數學教師不怕被學生難倒了！ (頁 140-145)