第一節 符號及其意義
3. 數學符號的分類
數學符號從其作用上大致可分爲五類：元素符號、關係符 號、結合符號、運算符號和輔助符號。
元素符號是指表示數或幾何圖形的符號。如數字符號 0，
1，2，3，0.2，3.12；表徵數的字母 a，b，c，…，x，y，z，
某些特定的常數 π，e，i；表示幾何圖形的符號∠，三角形的
三邊 a，b，c 等等。其中數字符號及 π，e，i 等爲常數，其 它字母則往往爲變數。
關係符號是指表示數、式、形之間關係的符號。表示數的 關係的符號如：26 ≠ 15，15 > 2.5，7.34 ≈ 7；表示代數關係的 符號如：1 + 2x = 5x；表示幾何圖形關係的符號如⊥，//，≅等 等。
綜合符號是指表示改變運算順序的符號，其中包括( )，
[ ]，{ }。
運算符號表示按照某種規定進行運算的符號，例如 + 、
− 、 × 、 ÷ 、 、sin、cos、tan、log、
f
(x)等等。除此之外，爲了便於表達和運算，數學中還引進了一些符 號，用於表達某些特定的式子或某種特定的意義，我們稱這一 類數學符號爲輔助符號。例如，“Δ”表示一元二次方程的根 的判別式，又如max（最大）、min（最小）等等。
二、符號運算
對中學生來說，將3xy + 2bx + 6ax + 7y + 8a = 96 − 7a + 8x 進行移項和做主項變換，有何意義呢？如前所述，從代數的詞 源“al-jabr”來看，就有即將未知數移做主項的含義。對於學 生的學習來說，就是通過這些運算培養出一種符號感，包括符 號的操作（manipulation）。Langrall & Swafford 也曾提出代數 思維如同對待已知量一樣“運用”未知量的能力。蔡金法等人 則進一步提出了一些“思維習慣”（thinking habits），比如以 代數方式表示量化關係，包括以逆運算解問題，從具體事例作 出推廣，分析部分與全部作用與反作用等。
符號運算的學習一般是建立在數字運算的基礎上的，因爲 它們之間仍有不少類似的地方，也適合相似的運算法則。不過，
如上章所述，符號除了數字之外，還有很多不同的內含。比如，
兩個符號或數字放在一起就可以有相連不同的意義（如24, 3a, 2
1 ）。另外，運用數字的規則往往又不適用於符號，這就形1 成學習代數運算相對於學習數字運算有着不小的難度。
在20 世紀 70 年代末，英國中學數學與科學概念研究小組 SMS Mathematics team（Concepts in Secondary Mathematics and Science）對學生的數學概念學習做了廣泛的研究，找出了一些 學生對字母的常見誤解。這裏舉出一些例子：
(1) 字母取值（letter evaluated）。例如，已知 e + f = 8，
求 e + f + g 。一些學生會答 15，（8 + 7），而非 8 + g，因爲
g 爲第 7 個英文字母，這可能由於學生對答案保留一個字母感
到不安。(2) 把字母當成物體（letter as object）。由於小時後往往 用2 個蘋果（apple）、5 隻香蕉（banana），再多 1 個蘋果解 釋2a + 5b + a ；學生會把“1 英鎊（pound）等於 11 法郎（france）”
寫成“ p = 11f ”。
(3) 沒有運用字母（letter not used）。例如，計算將 4 加 以3n 時，會寫 7n 或 7。
(4) 將字母看成未知數（letter as specific unknown）。
(5) 將 字 母 看 做 一 般 化 的 數 字 （letter as generalised number）。例如，問已知 c + d = 0 及 c 小於 d，能得到 c 的甚
麼呢？一些學生只能給出一些特例，一些就會較系統的給出 c