整數乘除法

乘法的意義在於連加，但同時也有累積和面積的意義。

（1）整數的乘法

乘法是重複加法的簡寫。例如：

12 × 5 = 12 + 12 + 12 + 12 + 12

一般的，如果 b 是不小於 2 的整數，b 個相同的加數 a 的 和是 c，即

a + a + … + a = c，

那麼，c 就叫做 a 和 b 的積，記作

a × b = c 。

數 a 叫做被乘數，數 b 叫做乘數，被乘數和乘數又都叫做積的 因數。“a × b”讀作“a 乘以 b”或“b 乘 a”。求兩個數的積 的運算叫做乘法。當乘數 b 是 1 或者 0 時，還要補充：

a × 1 = a ， a × 0 = 0 。

800 + 150 + 7

400 + 60 + 2 –）

400 + 90 + 5

957 462 495

 –）

5 次

b 個 a

在小學數學教材中，一般把整數乘法的定義表述爲：“求 幾個相同加數的和的簡便運算叫做乘法。”

乘過後的結果叫“積”。延伸到高等數學積分也有着面積 和連加的意義。把函數值“一片片”加起來就是面積，也就是 定積分了。

（2）整數乘法的結合律

整數運算中，我們會依照一定的運算順序。那麼，爲何要 先乘除後加減？

這其實只是一種約定俗成。一般來說，abc 沒有說定 先做還是先做。尤其在(ab)c 不同於 a(bc)之時，

也不一定說要按從左到右的順序。但簡略書寫是數學上常見的 情況，在數學用語中有所謂“當無混淆情況下可省略”的做法

。例如，理論上必須寫 (3 + 4) + 5，但由於加法滿足結合律，

即：(3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5)，故可以省略地寫爲 3 + 4 + 5。同 樣，嚴格意義上來說，我們必須寫 (3 × 4) × 5，但由於乘法符 合結合律，即(3 × 4) × 5 = 3 × (4 × 5)，故可省略地寫爲 3 × 4 × 5

。其他的還有像3a 即是 3 × a 的簡寫。但是對於 3 + 4 × 5，我 們就不能隨便省略地書寫。因爲不知道它是指 (3 + 4) × 5，還 是3 + (4 × 5)，而這兩個結果是不相同的。不過，由於大家約 定了“先乘除後加減”，故而3 + 4 × 5習慣上是指3 + (4 × 5)。

其他的比如2sin²

θ ^{就是 2}

× (sin(

θ ⁾⁾

²的略寫……等等道理與此 相同。

【案例 1-5】 34 × 82 = 2788 分析：常用的乘法可以寫成如下

（3）整數乘法與分配律

減法的關鍵是結合律；而乘法的關鍵則是分配律，即對於 任何整數 a, b, c 都有：

所以，乘法的法則就是運用分配律。例如在【案例1-5】中：

34 × 82 = 34 × (80 + 2) = (34 × 80) + (34 × 2) = 2720 + 68

= 2788

而該乘法的機械性的計算，則是寫成：

教師只要向學生解釋是因爲運用了分配律乘法公式的寫法才 變得簡單，學生自然就明白了。值得一提的是，英國一項考查 數學教師水準的測試中也有一題是要求教師解釋63 × 37 哪裡

34 82 68 272

×

2788

其中2720 中的 0，通常可 以不寫。因爲任何的演算 法，都是力求簡化的。

←

a

×（b + c） = （a × b）+（a × c）

34 82 68 2720

×

2788

因爲82 中的 8 是十位數，

所以有34 × 80 = 2720

←

用了分配律。

下面我們通過例子（由於加法滿足結合律，多餘的括弧便 不寫了），看看假如不用普通演算法，而用分配律，怎樣做乘 法。

【案例 1-6】 725 × 143 = 103675 分析： 用分配律計算：

725 × 143 = 725 × (100 + 40 + 3)

= (725 × 100) + (725 × 40) + (725 × 3)

= 72500 + 29000 + 2175 = 103675

在普通演算法中：

在普通演算法中，如果我們想“偷懶”而不寫0，則必須 要對位：因爲“2900”其實是“29000”，“725”是“72500”

。所以，在要求學生對位時，我們必須向學生解釋清楚數的位 值，而利用分配律解釋是唯一正確的方法。當然，爲達計算目 的，用甚麼正確的方法計算都是可以的。

一般來說，做數學有很多方法，雖然有時會要求學生只用 特定方法去做，但我們總是希望學生能嘗試用多種不同方法去 探討，只要計算達到目的就行。這樣既能避免學生因怕錯、怕 被扣分，而不敢大膽去做數學，又不會覺得數學難學了。分配

725 143 2175 2900 725

×

103675

律、結合律和交換律這些基本運演算法則，在任何年級都可以 教，即使是小學一年級。只需逐步讓學生瞭解這些法則，他們 甚至會對它們肅然起敬的！

如果要向學生解釋分配律，可從簡單的乘數說起。比如考 慮下述簡單例子：

【案例 1-7】 5 × 9 = 5 × (2 + 7) = (5 × 2) + (5 × 7) 分析：

可以看到，分配律可以讓乘法的演算法變得機械化和簡 單。

教小學三年級時，如果學到百位數乘法，如123 × 3，老 師在用普通方法教授時，也可嘗試用分配律去解釋：

在實際教學時，可先教學生個位數乘多位數，例如：123 × 3；然後再教十位數乘多位數，例如：125 × 40；最後教百位數 乘多位數，例如：871 × 500。先把這些簡單情況向學生說明，

× × × × × × ×

× × × × × × ×

× × × × × × ×

× × × × × × ×

× × × × × × ×

5 × 2 5 × 7

在普通演算法中：

123 3 9 60 300

×

369

用分配律解釋：

123 × 3 = (100 + 20 + 3) × 3

= 300 + 60 + 9 = 369

然後再借助分配律把結果綜合起來。總的說來，要一層一層，

從簡單到複雜，按層次教學。

對於乘法中涉及的位值，教師是需要解釋清楚的。教師在 教學生技巧的同時也要讓學生弄清算理。至於學生的解題方法

，不必強求一定要唯一，可讓學生先自己嘗試，找出最簡便的。

作爲教師，我們要不斷提醒學生，乘法運算中重要的是理解位 值的意義以及有理性地去學數學。

（4）整數除法運算及意義

在基本計算中，除法可以看成是乘法的逆運算。如果 A ×

B = C，而且 B 不等於零，那麼 C ÷ B = A。

上面等式中，A 叫做商數，B 叫做除數，C 叫做被除數。

如果除式的商數（A）必須是整數，而除數（B）和被除數（C）

並非因數關係的話，會出現相差的數值，稱它爲餘數（D）。

即是，C ÷ B = A …… D，這也意味着 C = A × B + D。

在實際問題中，除法所反映的實際含義有兩種：把一個 數平均分成幾份，求每份是多少；求一個數裡包含幾個另一 個數。前者叫做等分除法，後者叫做包含除法。例如：“把6 隻皮球平均放在2 個盒子裡，每盒放幾個？”屬於等分除法；

“把6 隻皮球每 3 個放一盒，可以裝幾盒？”就屬於包含除法。

在解決這兩個問題時，我們可以發現，雖然最後形成的除法“6

÷ 2 = 3”和“6 ÷ 3 = 2” 可以說是一個硬幣的兩面，但是解決 這兩問題時的認知運作過程顯然是不同的。

整數的除法可以視爲一連串的減法，而每個減數都是相同 的。例如：“12 ÷ 4 = ?”便可看成是 12 − 4 = 8，8 − 4 = 4，4 − 4

= 0，又因爲有三個減數的關係，因此，12 ÷ 4 = 3。 但是，除

法演算法其實是一個較艱深的概念。下面，我們先借助一個例 子來說明：

【案例 1-8】 3136 ÷ 8 = 392 分析：

可見，在除法 3136 ÷ 8 = 392 中，我們需要用乘法來解釋 其意義：商數392 乘以除數 8 可得被除數 3136，所以 392 正 是將3136 平均分成 8 份後的每一份大小。而除法正是想找這 個392，因此，3136 ÷ 8 = 392 的意義是 392 × 8 = 3136。需要 注意的是：除法的正確性是建立在乘法分配律正確性的基礎 上。

綜上我們可以看出：乘法是重複的加法，除法則是重複的 減法。

整數除法的意義包含有三種：1）“連減”；2）乘的逆；

3）分物（等分）除與包含除。若被除數不能被整除，則會有 餘數出現。但我們仍能用乘法的分配律來解釋。我們看看下面 的例子：

3136 = 8 × 300 + 736

= 8 × 300 + 8 × 90 + 16 = 8 × 300 + 8 × 90 + 8 × 2 = 8 × (300 + 90 + 2)（分配律）

= 8 × 392 其實是：

8 24

16 16 73 72

392

3136

【案例 1-9】 3421 ÷ 18 = 190 …… 1 分析：

給定任何兩數，都可以找到一個以除數、商數和餘數寫成 的算式來表示該數（被除數）；當餘數爲零時，則表示可以整 除。通過上述兩個例子（案例 1-8 和案例 1-9）中，我們都可 以看到，左邊的一般除法演算法，均可用右邊的乘法和分配律 來解釋。

在文檔中 — 數學教師不怕被學生難倒了！ (頁 36-43)