位值與數字系統

用符號把計數的結果記錄下來，叫做記數。在古代，由於 沒有文字，人們採用“結繩記數”。以後產生了象形文字，就 出現了文字記數。數有了文字記號，就標誌着它被當作物體集 合的一種抽象的性質同物體集合分離開來。在世界上許多民族 的文化中，都有着自己獨特的記數符號。發展到現在，常用的 記數符號有：中國數字、羅馬數字、阿拉伯數字。目前世界通 用的記數符號是阿拉伯數字。

按照梁宗巨的分析，記數制度包括簡單累數制（如埃及象 形文字、羅馬數碼、阿提卡數碼及巴比倫楔形文字），分級符 號制（如埃及的僧侶文、希臘字母記數法、希伯來字母記數法、

阿拉伯字母記數法），乘法累數制（如中國數字、越南古代數

字、泰米爾文的數字、僧伽羅文的數字）和位值制（如巴比倫 記數法、瑪雅數字、中國算籌記數及印度—阿拉伯數碼）。 位置制記數法是數系發展的第一個里程碑。所謂位置制

（place value system）記數法，就是運用少量的符號，通過它 們不同個數的排列，以表示不同的數。世界上具有位值制思想 的地區有瑪雅、巴比倫、印度和中國。在自然環境和社會條件 影響下，不同的文明創造了迥然不同的記數方法。如巴比倫的 楔形數字系統、埃及象形數字系統、希臘人字母數字系統、瑪 雅數字系統、印度—阿拉伯數字系統和中國的算籌記數系統。

瑪雅的位值制十分明確，可是卻用 20 進位值制，有時是 18 進位值制，而且時間較晚。巴比倫的位值制是 60 進位值制 的，60 以下又採用 10 進位值制的簡單累數制。印度 10 進位 值制雖已在巴克沙利手稿上看到， 實際到 6 世紀末才正式使 用¹ 。10 進位值制的記數法是古代世界中最先進、最科學的記 數法，對世界科學和文化的發展有着不可估量的作用。正如李 約瑟所說的：“如果沒有這種 10 進位制，就不可能出現我們 現 在 這 個 統 一 化 的 世 界 了 。 ” 法 國 著 名 數 學 家 拉 普 拉 斯

（Laplace, 1749-1827）也有一段精彩的敘述：

“用十個記號來表示一切的數，每個記號不但有絕對的值

，而且有位置的值，這種巧妙的方法出自印度。這是一個深遠 而又重要的思想，它今天看來如此簡單，以致我們忽視了它的 真正偉績。但恰恰是它的簡單性以及對一切計算都提供了極大 的方便，才使我們的算術在一切有用的發明中列在首位；而當 我們想到它竟逃過了古代最偉大的兩位人物阿基米德和阿波 羅尼斯的天才思想的關注時，我們更感到這成就的偉大了。”

1梁宗巨，王青建，孫宏安（2005）。《世界數學通史》（下册）。遼寧教育出版社。

一般人認爲印度是 10 進位值制的發明國之一。有的學者 認爲，現今通用的 10 進位值制記數法，真正的源泉是中國的 算籌記數法，而不是印度的婆羅米（Brahmi）文字。這是有一 定道理的。印度早期的記數制度既不是 10 進位值制的（如哈 拉巴（Harappa）文化），也不是位值制（如卡羅什奇（Kharosthi）

數碼與婆羅米（Brahmi）數碼）。直到西元 6 世紀後印度的記 數才發展成位值制，而此時中國早已普及了使用 10 進位值制 記數法的籌算。李約瑟就曾指出：“在西方後來所習見的‘印 度數字’的背後，位置制已在中國存在了兩千年。”10 進位 位置制記數產生於中國，是與算籌的使用與籌算制度的演進分 不開的。

中國人使用 10 進位值制系統很早，在商代已萌芽。從現 已發現的商代陶文和甲骨文中，可以看到當時已能夠用一、二、

三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬這十三個數字，

記十萬以內的任何自然數。這些記數文字的形狀，在後世雖有 所變化而成爲現在的寫法，但記數方法卻從沒有中斷，一直被 沿襲，並日趨完善。

中國大約在西元前7 世紀出現了算籌，同時有算籌記數法

。用9 個符號（每個符號有橫、縱兩種寫法）便足以表示一切 數，如圖1-1 所示。個、百、萬……用縱式，十、千、十萬……

用橫式。因此，用這 18 個符號，及用空位表示 0，可以表示 任何一個自然數。比如，1997 便表示成 。

中國算籌記數儘管數碼有兩種形式，但完全有 10 進位值 制的特點，即既是 10 進，又是位值制。因此可以說中國的算 籌記數是世界上最早的10 進位值制記數法。

縱式 橫式

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 進位值制記數法包括 10 進位和位值制兩條原則。現在 通行的印度—阿拉伯數碼採用 10 進位值制記數法，即任何一 個自然數都可以表示成

a

_n⋅10ⁿ+

a

_n−₁⋅10ⁿ⁻¹+...+

a

₁⋅10+

a

₀的 形式。其中，10 叫做進位基數，10 進就是逢 10 進 1，

a

₀, a₁, …,

a 是

n 1, 2, …, 9, 0 這 10 個數碼中的某一個，而

a

_n ≠ 。所謂位0 值制就是在書寫時省去10 的乘冪與加號。比如 123，是 1 ⋅ 10² + 2 ⋅ 10 + 3 的簡寫。因此，10 進位值制的特點是只用這 10 個 數碼便可將任何自然數表示出來。從右邊算起，數碼所在的位 置依次稱爲個位，十（10）位，百位（100）等等。一個數碼 表示甚麼數值，要看它在甚麼位置上。同一個數碼“2”可以 表示2，也可以表示 20 或 200，只要將它放在十位或百位上，

222 即表示二百二十二。這就是“位值”（place value 或 positional value）的含義。

在數學中，一串相連符號如

3

1 2

，3a 等可以有不同意義，

而在常用的阿拉伯數字如7985 是指 7×10³ + 9×10² + 8×10¹ + 5×10⁰。一般而言，

a a

_{n n−1}…

a a a

_{2 1 0}即是



= n

r

r

a

r 0

10 。這可以推廣到 小數及不同位值，於此不贅。

圖1-1 中國算籌

在文檔中 — 數學教師不怕被學生難倒了！ (頁 29-33)