教學用的公理系統

一、公理體系的價值

雖然《原本》的編寫目的不是要寫一本教材，但是傳統幾 何教學還是大多依據它的次序來安排，不過，我們需要知道，

這並不是必然的。至於爲甚麼幾何教材要依據《原本》來安排 呢？對此，徐光啓曾言：欲脫之不可得，欲駁之不可得，欲减 之不可得，欲前後更置之不可得。下面我們以相似三角形和平 行線分線段成比例定理爲例，分析其中的原因。

【案例 3-5】 爲甚麼是先有平行線分線段成比例定理再有相 似三角形？

一般來說，教科書先通過實際例子，如縮小或放大圖形、

模型或地圖比例、測量等，引入相似形的概念，然後把討論集 中於相似三角形的情况，一來因爲三角形是最簡單的圖形，二 來任意多邊形都能分割爲若干個三角形（至少對凸多邊形是輕 易辦到的）。大部分教科書隨即會介紹相似三角形的三條判斷 法則：（1）三個角對應相等；（2）三條邊對應成比例；（3）

一個角相等且夾這個角的兩條邊成比例。這三條法則是《原本》

第六卷的命題四、命題五和命題六，而今天中學幾何的全部內 容除相似三角形以外都在前面五卷出現了！爲何如此呢？

原來《原本》第五卷是關於比例理論的，有了嚴謹的比例

理論作根據，才提出一條關鍵定理，即第六卷的命題二：若一 直線平行於三角形的一邊，則它截三角形兩邊成比例線段；又 若三角形的兩邊被截成比例線段，則截點的連線平行於三角形 的另一邊。有了這條定理那三條相似三角形法則便不難證明了

。教師若不能從一個較高的觀點看問題，很容易利用了相似三 角形的性質證明平行線分線段成比例定理，這其實是顛倒過來 了。

當然這個獨特的例子有其背後的理由。伍鴻熙曾指出：雖 然我們可以利用SAS 足以推出 SSS 及 ASA，但其實三個中的 每一個我們都可假定作爲起點，推出另外的兩個。換句話說，

《原本》中的命題與命題之間的推導順序不一定是唯一的合理 順序。例如，按照《原本》我們是假設了內錯角相等則兩直線 平行,然後去證明對頂角和同位角的情况，不過我們也可以假 定對頂角和內錯角去證明同位角。當然，同位角比內錯角更具 幾何直觀。

二、鄰區公理系統

伍鴻熙還指出：若用傳統的方法，從公理系統學起，先講 解何謂公理、定理……再慢慢由公理推導，或許可能會用上不 少時間。例如，要到中學的階段才可推出三角形內角和定理，

這不僅費時，且不切實際。所以他大力提倡他“鄰區公理系統”

的想法，如圖 3-19 所示。就是先假設了一些大衆直觀上均會 認同的定理，從這些基本定理出發就可以很快地推導精妙的幾 何性質。

另外，還有利用學校數學研習組（School Mathematics Study Group：SMSG)的公設系統。這個系統包含 22 個公設。

詳情可參閱附錄8。

不同的學者對公設的選擇或有異議，但 SMSG 公設系統 經歷了數十年的發展，仍屹立不倒，可見它是一個數學教育的 智慧結晶，既可信亦實用。當然，這些“衍生公設系統”還是 持續發展着的。1983 年芝加哥大學的學校數學計劃（ The University of Chicago School Mathematics Project：UCSMP）便 在SMSG 的基礎上發展了强調直觀理解的 UCSMP 公設系統。

三、定理的論證：由實驗幾何過渡到論證幾何

實驗幾何的想法在幾十年前就已經有了。目前計算機互動 幾何（Dynamic Geometry：DG）便可做到很好的效果。早在 20 世紀 70 年代，項武義等人主持編寫幾何教材時是想通過符 號邏輯由實驗幾何過渡到論證幾何。更確切地說，是“由直觀 幾何形象分析歸納出幾何基本概念和基本性質，通過集合論、

簡易邏輯轉入歐氏推理幾何，處理直線形、圓、基本軌迹與作 圖、三角比與解三角形等基本內容”，這個教材的實驗效果也 非常理想。現時的符號邏輯其實可以以一些推理工具來代替，

如圖3-20 所示。

這些推理工具不同於枯燥的命題運算（statement calculus）

，而是通過數學例子導出一些關鍵性的邏輯觀念。如張家麟、

黃毅英、林智中在《學校幾何課程的重整—爲何教和如何教 公理 一些基本定理 更精妙的幾何性質

圖3-19 鄰區公理系統的想法

演繹幾何？》一文中便列舉了一些。其中提到避免循環論證及 用更强的定理證明特例，這多多少少已有着演繹系統的想法。

簡單地說，就是不能用後面的命題倒過來證前面的命題（不過，

如前所述，《原本》命題的次序也不是絕對不可討論的，其他 定理也如此。有時數學上有所謂“等價定義”，即若以甲命題 作定義，可推出乙命題；但其實也可用乙命題作定義，甲命題 則變成定理）。

在推理證明當中，也會遇到“充要條件”、或者運用反證 法，這些等同於反置律（law of interposition）。即“

p

 ”

q

等同“

~

q

 ~

p”，故可以通過證明“~ p是不可能的”來證 明 p，這便是反證法。導致矛盾在英文書籍中，通常用“ !!! ” 表示“導致矛盾”，也有一些教師喜歡用“ ”。這個符 號就是“矛”與“盾”！

另外，對於“所有”（∀）及“存在”（∃），事實上“所 有”是廣義的“和”（and：合取），而“存在”是廣義的“或”

（or：折取）。例如，Kuratowski⁴ 索性就用

x∈

∧

p來代表“for all”

（所有的），用

x∈

∨

p來代表“there exist”（存在）。例如 x² + 3

> 2，“for all x∈N”就等價於（0² + 3 > 2）∧（1² + 3 > 2）∧（2² + 3 > 2）∧（3² + 3 > 2）∧…故此它可看成一“大∧”。“there exist”的情况類似。

4 Kuratowski, K. (1962). Introduction to set theory and topology. Oxford: Pergamon Press.

實驗幾何 SMSG 公設 推理工具

圖3-20 實驗教材的幾何教學設計

論證幾何

此外，還有“對於每一個 x，（均）有（一個）y …”、

“有一個 y，對於每一個 x …”等的區別，如“對於每一個 x，

有一 y，使得 x + y = 1”是對的，而“有一個 y，對於每一個 x 均有 x + y = 1”是錯的。這又可聯繫到“∃！”（存在唯一的）

的概念。

四、幾何變換

對幾何圖形的研究，包括一些線性變換，如平移、旋轉、

反射、位似等。從集合的角度出發，對於變換，我們有如下一 些定義：

如果把集合A 到自身的映射 f：A→A 稱爲集合 A 的一個 變換，則集合 A 到自身的一一映像稱爲集合 A 的一個一一變 換。

我們也把平面看成平面上所有點組成的集合，通常用 π 表 示，並把平面 π 到自身的映射，叫做平面 π 上的點變換，把 平面 π 到自身的一一映射，叫做平面 π 上的一一點變換。

在平面中，旋轉、平移和反射變換都有一個特質，就是它 們都保持距離不變，這些保持距離不變的變換稱爲等距變換

（isometry）。然而只有旋轉、反射方爲線性變換，因要保持 原點不變。有趣的是，旋轉可分拆成兩個反射。於高階的情况 即爲有名的Cartan（Élie Cartan, 1869-1951）定理：Rⁿ（

n

≥ ）0 的等距變換可表示爲不多於 n 個（n − 1）維平面反射的積。當 然，線性變換於線性空間中有更多討論⁵ 。線性變換也可用矩

5 Leung, K. T. (1974). Linear algebra and geometry. Hong Kong: Hong Kong University Press.

陣代表，在此不贅。

1. 平移

把平面上的任一點P，在該平面內，沿着一個定方向，移 動定距離，變到點P′，我們把平面上的這種（點）變換，叫做

（平面上的）平移變換，簡稱平移。上述定方向稱爲平移的方 向，定距離稱爲平移的距離，上述點 P′ 稱爲點 P 在平移下的 象，點P 稱爲 P′ 在平移下的原象，點 P 和點 P′ 稱爲平移下的 一對對應點。直觀地說，平移變換就是將平面上的每一點作相 同的平行移動。具體描述一個平移，既要指明平移的方向，又 要指明平移的距離。

平移變換有兩個不變性質：

（1） 平移把任一線段變成與它平行且相等的線段，即任一線 段在平移下保持方向和長度不變。

（2） 平移把任一三角形變成與它全等的三角形。一般的，平 移把任一圖形變成與它全等的圖形。

要注意的是，平移不是線性變換，因此，變換不滿足向量加法 的封閉性。

2. 旋轉

所謂旋轉，就是在平面上，已知一個定點O，將平面上任 一點P，繞點 O 旋轉一個定角

θ

（規定按逆時針方向轉動時角 爲正，按順時針方向轉動時角爲負）得到點P′。平面上將點 P 變成點 P′的上述變換，叫旋轉變換，簡稱旋轉。上述定點 O 叫旋轉中心，定角

θ

叫旋轉角。點 P 和點 P′稱爲旋轉變換下 的一對對應點，P′稱爲 P 的象，P 稱爲 P′的原象。

旋轉變換有以下5 個性質：

（1） 旋轉變換是平面上的一一變換。

這是由於對於任意一個旋轉來說，平面上任何兩個不相 同的點的象仍不相同，且平面上任一點都可由某一點經 過該旋轉得到，即每一點都有原象.

（2） 恆同變 2 換是旋轉變換。

我們可以把恆同變換I 看成是以任一點 O 爲旋轉中心，

旋轉角爲零的旋轉變換，即I = R (O, 0)。

（3） 任一旋轉變換的逆變換仍是旋轉變換。

旋轉變換R (O,

θ )的逆變換是保持旋轉中心 O 和旋轉角

在文檔中 — 數學教師不怕被學生難倒了！ (頁 193-199)