第一章 數及其運算
第一節 數系及其擴展
7. 最大公因數與最小公倍數的求法
異分母分數作加減時，通常先要找得兩數（分母）的最大 公因數，那就先要把兩數的分母作質因數分解。例如：求 24 和60 的最大公因數和最小公倍數，可先將 24 和 60 分別作質 因數分解：
24 = 23× 3 60 = 22× 3 × 5
從而得知24 和 60 的最小公倍數是 23 × 3 × 5=120，最大公因 數是22 × 3=12。除此之外，現時教材中也有不少其他常用的 找最大公因數和最小公倍數的方法。
（1）用排列倍數法求最小公倍數和最大公因數
利用排列兩數各自的因數的方法，可輕易求出兩者的最大 公因數。
例如，求24 和 60 的最大公因數。
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 1, 2, 3, 4, 6, 12 均是 24 和 60 的公因數，而最大公因數就是 12。
同樣的道理，我們可以用排列各自的倍數的方法去求最小 公倍數。例如，求6 和 10 的最小公倍數。
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, … 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, …
於是30, 60, … 等均是 6 和 10 的公倍數，最小公倍數是 30。
從獲得答案來說，這個方法其實是比較費時的，尤其是對 於兩個相差比較大的數。例如，求3 和 10 的最小公倍數。
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, …
10, 20, 30, 40, 50, … （要到第 9 個數才找到！）
不過，這個方法能夠用圖案很好地表示。比如兩人同時於 同一處出發跑圈，甲6 分鐘跑一圈、乙 10 分鐘跑一圈，如圖 1-2 所示，問他們何時相遇？再比如用半徑爲 6 cm 的小圓在半 徑爲10 cm 的大圓內滾動，如圖 1-3 所示，問起始的點 P 何時 再回到原來的位置？
此外，我們更可看到，兩數的公倍數都是其最小公倍數的
倍數。這個結論的證明並不太直接。
（2）輾轉相除法
這種方法是中國的一項偉大發明，對於數值較大而又不容 易找到公因數的數來說尤爲方便。
由3421 = 18 × 190 + 1可知，3421與18的最大公因數是1。
這是爲甚麼呢？假設 c 爲 3421 與 18 的任何公因數，則：
c c
c c
190 1 18 1 190 18
3421 = × + = × +
因爲 c
1
一定要是整數，所以 c 必定是 1。因此 3421 與 18 的 最大公因數是1。這裡，教師還需要知道的是，由於（Z, + , –）不是域（見本章第二節），故而一個整數未必能被另一個整數 整除，可能有餘數。
我們可將上述討論的結果寫爲一條法則：
【帶餘除法法則】給出任何正整數 a 與 b，則有唯一的非負整 數 q 及 r，使得 a = b⋅q + r，其中 0 ≤ r < b，q 稱之爲商數，r
圖1-2 甲乙速度不同，跑 一圈，何時相遇？
圖1-3 小圓在大圓內壁滾 動，點P 何時回到原位？
6 cm P
10 cm
稱之爲餘數。
例如：3421 = 18 × 190 + 1 a b q r
【案例 1-10】 求 3136 與 104 的最大公因數。
分析：首先計算得出3136 = 104 × 30 + 16，這裡的 16 是餘數。
注意所求的公因數必定能整除16。再從 16 和 104 的公因數着 手，繼續找下去，把找因數的範圍不斷縮小。由於104 = 16 × 6 + 8，而 8 可整除 16，所以最大公因數是 8。
以上其實就是利用輾轉相除的方法找最大公因數。
輾轉相除法，又叫歐幾里得演算法（Euclidean algorithm），
是一種求兩個正整數的最大公因數的演算法。它是我們已知的 最古老的演算法，可追溯至 3000 年前。它首次出現於歐幾里 得的《原本》（第VII 卷，命題 i 和 ii）中，在中國則可以追 溯至東漢出現的《九章算術》裡。
運用輾轉相除法求兩個數的最大公因數並不需要把兩數 進行質因數分解，其方法是：用較小數除較大數，再用出現的 餘數（第一餘數）去除除數，然後再用出現的餘數（第二餘數）
去除第一餘數，如此反復，直到最後餘數是0 爲止。最後的除 數就是這兩個數的最大公因數。
【案例 1-11】 求 323 與 884 的最大公因數。
884 = 323 × 2 + 238 323 = 238 × 1 + 85
238 = 85 × 2 + 68 238 884 –）646
85 323 –）238
68 238 –）170
… … … …
85 = 68 × 1 + 17 68 = 17 × 4 答案是：17
可以將上述幾步用一個綜合除式表示如下：
884 646
323 238
2 第一次：用323 除 884，商 2 餘 238 1 238
170 85 68
2 第二次：用238 除 323，商 1 餘 85 1 68
68
17 4 第三次：用85 除 238，商 2 餘 68 0 第四次：用68 除 85，商 1 餘 17 所以若要找公因數，只需用輾轉相除法，而不必用因數分 解。事實上，經過這樣的分析，我們也能比較容易地對884 和 323 進行因數分解了：
884 = 17 × 52 = 17 × 4 × 13 323 = 17 × 19
可見，運用輾轉相除法這樣簡單的演算法，可以得到意想 不到的結果。
因數分解其實是一件很難做的工作，數學家們也絞盡腦汁 地尋找給任意整數因數分解的快速方法。假如要對一個180 位 整數進行因數分解，以現在的科技來估計，即使利用全世界所 有計算機的計算功能，50 年內恐怕都做不到。正因爲對大的
整數很難進行因數分解，甚至連電腦也應付不來，所以密碼學 就被創造出來了。例如，m⋅n = A 就表示密碼和譯碼的關係。
不過，對於任何整數 m 和 n，求它們的最大公因數卻是很簡單 的：用輾轉相除法。
輾轉相除法其實還隱藏着很多學問。在【案例1-11】中，
我們若將數式倒轉過來寫，就會有：
17 = 85 − 68 × 1
= 85 − [238 − (85 × 2)] × 1 = 85 × 3 − 238 × 1
= (323 − 238) × 3 − 238 = 323 × 3 − 238 × 4
= 323 × 3 − (884 − 323 × 2) × 4 = 323 × 11 − 884 × 4。
由此可見，17 不但是 323 及 884 的最大公因數，而且也 是323 和 884 的倍數之和（或差）。因此，任何兩數的公因數，
也是這兩數的倍數之和（或差），可以用這兩數的線性關係表 達。這就是歐幾里得演算法或輾轉相除法的一個特別的推論。
（3）短除法
短除符號就是把除號倒過來。而短除就是在除法中寫下兩 個數被共有的質因數整除的商之後再除，除數的地方寫兩個數 共有的質因數，然後以此類推，直到結果互質爲止（兩兩互 質）。
在用短除法計算多個數時，對其中任意兩個數存在的因數 都要算出來，其他沒有這個因數的數按原樣落下，直到剩下每 兩個數都是互質關係。
另外，我們可以發現：求最大公因數只需乘一邊，求最小 公倍數則需把直和橫兩邊的數字全部相乘。例如，12 和 18。
它們都有公因數2 和 3，它們的乘積 2 × 3 = 6 就是 12 與 18 的 最大公因數，而乘積2 × 3 × 2 × 3 = 36 就是 12 與 18 的最小公 倍數，如圖1-4 (a) 所示。
再比如說，12、30 和 50。12 與 30 都有公因數 2、3 和 5，50 則沒有因數3，便自動落下。於是，2 就是 12、30 與 50 的最 大公因數，而乘積2 × 3 × 5 × 2 × 1 × 5 = 300 就是 12、30 與 50 的最小公倍數，如圖1-4 (b) 所示。這是比較簡便的做法，尤 其對於兩個含有較多公因數（這些公因數又比較容易找出來）
的數就特別方便。如果要說明其背後原理也不困難。
【案例 1-12】 求 120 和 210 的最大公因數與最小公倍數。
分析：由於2、3 和 5 均是 120 和 210 的公因數，如圖 1-5 所 示，自然2 × 3 × 5 也是 120 和 210 的公因數，而“抽出”這三 個公因數後得的4 和 7 再沒有因數，故 2 × 3 × 5 便是 120 和 210 的最大公因數。
此外，2 × 3 × 5 × 4 = 120，2 × 3 × 5 × 7 = 210，因此 120 2 12, 18
3 6, 9 2, 3
2 12, 30, 50 3 6, 15, 25 5 2, 5, 25 2, 1, 5 (a) 最大公因數是 (b) 最小公倍數是 2 × 3 = 6 2 × 3 × 5 × 2 × 1 × 5 = 300
圖1-4
和210 的最小公倍數起碼要包含 2、3、5、4 和 7 這些“成分”，
而重複的數字（即 2、3 和 5）可省略一次，故此 120 和 210 的最小公倍數就是2 × 3 × 5 × 4 × 7。
案例 1-12 中使用的短除法對於兩個以上的數就有些麻煩 了，例如求70、30 和 105 的最大公因數。我們仍要設法抽出 它們的公因數，即數5，如圖 1-6 所示。但 5 × 14 × 6 × 21 決 不是70、30 和 105 的最小公倍數，因爲 14、6 和 21 仍有它們 的“重疊”部分。若繼續用這個方法，就只有兩個數的公因數 被“抽出”來，得到答案是5 × 2 × 3 × 7，如圖 1-7 所示。不 過，需要注意的是，有時會對兩個數來抽出公因數，有時又會 對三個數抽出公因數，這樣容易產生混亂，故此，一般對兩個 以上的數求最大公因數或最小公倍數都不建議用此法。
求三個或三個以上的最大公因數，可以先求出其中兩個數 的最大公因數，再求所得的數與第三個數的最大公因數，依次 類推，一直求到最後一個數，最後得到的最大公因數就是這幾 個數的最大公因數。
圖1-5 兩數的 最大公因數 2 120, 210 3 60, 105 5 20, 35
4, 7
5 70, 30, 105 14, 6, 21
圖1-6 三數的最 大公因數
5 70, 30, 105 2 14, 6, 21 3 7, 3, 21 7 7, 1, 7 1, 1, 1 圖1-7 三數的最小公 倍數
二、分數