數系的結構與性質 - — 數學教師不怕被學生難倒了！

（4）自然對數

自然對數爲以 e 爲底的對數，簡記爲 log_e

N

=ln

N

，其法 則與一般對數沒有分別。只是由於 e 的獨特性（特別地，e^x是一個與其導數相等的函數，即

e

dx

d

= ）。它在微積分中較爲常用。

第二節數系的結構與性質

一、數系的擴展與三次數學危機

在數系的結構和性質中，數的運算性質至關重要。首先，

我們思考這樣一個問題：爲甚麼要知道交換律？比如，11 × 36 和36 × 11 爲甚麼能交換？我們又爲甚麼需要交換？

對於交換律的使用，不外乎下面幾個原因：

（1）數的方法殊途同歸；

（2）巧算；

（3）協助記乘數表。

交換律看似十分簡單，然而在教學中，教師卻出現了下面的疑惑：

【案例 1-29】蘋果每個 3 元，2 個蘋果一共的價錢是寫成 3 元 × 2、(3 × 2)元還是 (2 × 3)元？

分析：按一般的慣例是寫作3 元 × 2 及 (3 × 2) 元，不過我們要問，寫成 (2 × 3) 元有何不可？一般認爲乘法是連加，例如，

一隻雞有兩隻腳，三隻雞則有 (2 + 2 + 2) 隻腳，亦即爲 (2 × 3) 隻腳。其實，我們也可以先數左腳，後數右腳，這樣就變成(3 + 3) 隻腳，亦即 (3 × 2) 隻腳。

也有人認爲，以上因只涉汲兩隻腳，2（兩）這個數字比較少，才可用左腳右腳的方式去數。其實再大點的數也可這樣做的。

人（無論祖先或孩童的成長）認識數字恐怕是由數數開始。

當然這個“數”是指自然數，它蘊含着序與量兩個方面的內容

。以後，通過欠借與分物等，人們認識了負數及分數。因而，

有理數系還是比較貼近直觀的。至於無理數或實數，也不是那麼抽象。通過長度、距離、時間等，其中的思想就會出現。因此，在學習中期，引入數軸是一個不錯的做法。因爲數軸可以把實數“建模”（modeling）起來。當然，我們要知道，實數系的本質比較複雜，這也一直是困惑數學界的事情。歷史上，

從第一次數學危機到第三次數學危機多多少少都是實數“闖的禍”，因爲其中都涉及到無窮的概念。

× 11 11

× 36

回顧數系的擴展，我們發現：由 N 到 Z 的擴充，是爲了 減法的緣故（群），不過卻因此“喪失”了“首元”（first element : 0）；由 Z 到 Q 是爲了除法（域），但是沒有了“下 一個元”。例如在 Z 中 7 的下一個元素是 8，但在 Q 中

8 7

的 下一個元素是沒有意義的；由 Q 到 R 並不是爲了 x²

− 2 = 0

有解，而是使得所有收斂序列均有極限（即拓撲完備

（topologically complete）），不過 R 卻喪失了“可數性”

（countability）；至由 R 擴展到 C，才能使所有非常數的多項式皆有根（即代數封閉（algebraically closed）），然而 C 中卻沒有了序關係。

然而，數系的這種擴展往往不被重視。特別對於由 R 擴 展到 C 這個問題顯得尤其重要。這是因爲我們要知道哪些 R 中的法則可以保有，同時有哪些不能“繼續奏效”？又是爲甚麼不能使用？例如，某題是要求 −3 + 4i 的平方根。通過比較 (a + bi)² = −3 + 4i 的實部與虛部就可求出 a 和 b，但我們怎麼 知道複數必有平方根呢？複數又是否“一切如常”的當作實數來進行運算呢？這些問題不能小視。比如，

【例 1-30】爲甚麼正數一定可以開方？

分析：從幾何圖形的角度，我們可以直觀地感知其中的數學教 學知識。例如，對於不同的邊長 p，我們不斷作邊長爲 p 的正 方形，其面積就是 p²，我們有理由相信（仍是直觀感受）這個 構造程序是連續的。反過來，對於任何數 q 必能找到一個正方 形的面積爲 q，它的邊長就是 q ，如圖 1-21 所示。

我們也可以考慮斜邊爲2q 的直角等腰三角形，如圖 1-22 所示，這種三角形顯然存在，根據勾股定理，其直角邊長爲

2 q 。

但是，學生仍舊會有疑問，爲甚麼圖1-21 和圖 1-22 的作圖構造可以不斷進行呢？在畢達格拉斯時代，不存在無理數，

因此，當然也就不存在 q 或2

q

使得正方形的面積爲 q 或者 直角等腰三角形的斜邊爲 2q 了！這是第一次數學危機中的問 題。由此可見，這個問題其實並不簡單。

我們也可觀察到，

y = x

²^{曲線在 R}⁺^{的範圍內，如圖} ^1-23 所示是一個滿射，因此，對於任何 y 均存在正數 x，使得

x

= y

^。 這個 x 就是 y 的正平方根 y 。這個回答看似很數學化，但我 們又怎知

y = x

²曲線沒有隙縫呢？這又是第二、三次數學危機中的問題。

要問 q 是否存在，即問

x

−q = 0 (

> 0 )

是否有正實根。

我們可以檢查二次方程的判別式爲

Δ = 0

− 4 ( − q ) = 4 q > 0

，再比較係數，可以知道該方程不可能有兩個負根。不過，這種解釋還是有不少漏洞。若更仔細一點，仍然考慮

x

−q = 0

，根據代數基本定理，其必有一根。若有非實根，必有一對共軛根，

p p

圖1-21

邊長爲圖1-23

y = x

²在 Q×Q 的圖像

Q 3

圖1-22 直角等腰三角形

q

可設爲

a

+ 和

bi a

− ，於是有

bi x

− q = [

− (

+

)] [

− (

−

)]

，通過比較係數，可得出矛盾。故方程的根皆爲實根。

說到虛根，這裏涉及到另一個有爭議的問題：

【案例 1-31】

−1 =

i 嗎？

分析：不少人均指出籠統地把 i 定義成

− 1

的缺點，它不僅僅是在數學上感到方便或不方便的問題，更主要的是在科學上犯了錯誤。

− 1

作爲複數（–1 可看成複數）的平方根，應該有 兩個值，其中的一個值稱爲 i，另一值是–i。所以，正確的寫 法應該是

−1 = ±

i，i²

= − 1

。不過，現在的中學生，甚至很多大學數學系的一些學生，往往只知道i

= − 1

，不知道

− i = − 1

了。有些學生即便知道

− 1

表示兩個值，但把 i 理解爲

− 1

的算術根。這其實仍舊是不對的。因爲在複數中沒有所謂算術根的說法，最多只能談主值。而算術根與主值絕不是同一個概念。

二、數系的逐步建立

數字是甚麼？它似乎是最簡單不過的東西，但從前文我們可以看到，數字其實有很多“種”。有些比較貼近現實生活，

如自然數、整數等，有些已漸漸有了“人造物”的意味，如虛數。人類對實數的認識甚至也有過不少掙扎。一般相信，先理順了自然數，其它數系就可逐步建立起來，但就是自然數也很不容易。至今還有關於“0”是否是自然數的討論。

最早把自然數設基化（axiomatisation）² 的恐怕是 19 世

2 早期數學家把數學奠基於大眾均能認可的“公理”（axiom），其後又認為這些不

是必然的“真理” ，只是一種設定的基礎，稱之為“設基”（postulate）。這種步驟名為“公理化” 或“設基化” ，詳見黃毅英（2007）三次數學危機──個人認知與體會。

《中學數學教師研究》，第2 期，頁 7-10。

紀德國數學家G. Gottlob Frege（1848-1925）的《算術基礎》

（Grundlagen der Arithmetik）以及意大利數學家 G. Peano

（1858-1932）提出他有名的皮亞諾公設（理），即

（1） 0 是自然數。

（2）對任一自然數 n，均有唯一繼元 n⁺。

（3） 0 不是任何自然數的繼元。

（4）若 m, n 均爲自然數，而 m ≠ n，則 m⁺≠ n⁺。

（5）（數學歸納法原理）若 S 是自然數集 N 的一個子集，

且（i） 0 ∈ S 及

（ii）若 n ∈ S，則 n⁺∈ S。

那麼 S = N。

在第三次數學危機之後，數學家們（以所謂邏輯主義者及形式主義者爲主）嘗試重新構造實數系。羅素（B. A.W. Russell, 1872-1970）的基本想法是，“1”、“2”等根本不是一些“對象”。“1”是所有“1 隻茶杯、1 隻猫……”的總代表。他甚至曾經考慮把“1”定義成天下間所有“單元集”（singleton）

的總集，即1={{1}, {Δ}, {a}, {#}, {2}, …}。但是，由於發現羅素悖論（Russell’s paradox），這種想法告吹。不過，羅素也曾嘗試把1 定義爲上述的“類”（class），縱然這個類不足以形成一個集（Russell, 1919）。馮．諾伊曼（J. von Neumann, 1903-1957）則利用“代表性人物”的方法來重新定義。我們可以想象，在這個實數的重建過程中，數學世界回復到天地初開階段：一無所有，就只有集。由於集論中有存在公理（axiom of existence）及界定公理³ （axiom of specification），我們可以確定空集 Ø 存在。空集是一個有 0 個元素的集合，所以自然而然地，就定義：

（1）世界甚麼都沒有。

（2）根據空集公理，起碼有空集 Ø，就叫 Ø 爲 0。

（3）根據無窮公理，對於集 x，必有 x⁺ = x ∪ {x}。

（4）故有 0 = Ø （含 0 個元素）。

1 = { Ø} （含1 個元素），

2 = { Ø , { Ø }} （含 2 個元素），

3 = { Ø , { Ø }, { Ø , { Ø }}} （含 3 個元素），

…

從集合論的定義出發，皮亞諾公理變成了定理，其他數系也可以一步一步地建立出來。

首先是從最“基本”開始，就是只承認有空集（因此，後來人們把符號邏輯與集合論併稱爲數學的基礎），由此逐步建 立起自然數系 N。由 N 容易建立 Z，Q 就是 Z×Z′ / ~，其中

Z

′ = Z \ {0}， ~ 爲等價關係： (a, b) ~ (c, d) 當且僅當ad = bc。

再通過拓撲封閉性（topological closure）建立出 R。

由 R 擴展到 C 當然是爲了方程x²

+ 1 = 0

可以求解的原因。

更確切地說，C 爲 R 的代數封閉（algebraic closure）。由高斯

（K. F. Gauss, 1777-1855）證明的代數基本定理得知，所有複 係數的非常數多項式均至少有一複根，換言之，以 i 擴充一次 就夠了，例如 R[

− 2

] ~ R[i] 和 R[i]([

− 2

]) ~ R[i]。而

0 + 1 =

x 的兩個根隨意安排一個就可以了，即 R[i] ~ R[−i]。因此，虛數作爲“人造物”的意念尤爲明顯。在某種意義下，

“ i ”是沒有實質意義，因爲改用−i 也可以⁴ 。其實，羅素早 就提出對於其它數系（如 N、R……）也是如此。

4 Fung, C. I., Siu M. K., Wong K. M., & Wong, N. Y. (1998). A dialogue on the teaching of complex numbers and beyond. Mathematics Teaching, 164, 26-31.

不只如此，對於複數，我們還有 C = R[i]。因此，R 中的 四則運算基本上也可在 C 中進行，而對於 a + bi 的運算可當作 二項式那樣處理。故此，(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i 應被視爲是結論而不是定義。

三、群、環與域

當然上述還不是事件的結束。我們還要通過頗複雜的程序

（如數學歸納法等）逐一證明我們所熟悉的性質。即：

(N, +) 是一個群；

(Z, +,

⋅

^{) 是一個群；}

(Q, +,

⋅

^{) 是一個環；}

(R, + ,

⋅

) 是一個序完備（order-complete）帶序域。

首先集A 中的 n 元運算是一個從 Aⁿ到A 的映射，這當然要滿足符號的“封閉性”。例如“+”是 Z 中的二元運算但不 是 N 中的二元運算。當然，我們在數學上未必涉及這些深入 的推演，但瞭解不同數系的代數結構仍是有必要的。

群的定義爲：設 G 爲一非空集合，其中含有一個二元相 等關係及二元運算☉，且具下列性質，則稱 (G,☉)爲一群，

簡稱 G 爲一群。

（1）運算☉可結合。

（2） G 中含運算☉的單位元素。

（3）在 G 中恆可得其任意元素 a 對☉的逆元素。

環的定義爲：設S 爲一集合，其中含有一個相等的二元關係及兩個二元運算♁和☉且具下列六個性質時，稱 (S,♁,☉) 爲一環，或簡稱S 爲一環。

（1） ♁可交換。

（2） ♁可結合。

（3） ☉可結合。

（4）集合 S 中含運算♁的單位元素。

（5） S 中的元素 a 恆有運算♁的反元素。

（6）運算☉對♁可分配。

域的定義爲：對於任意 x, y, z ∈ F （1） x♁y = y♁x

（2） (x♁y)♁z = x♁(y♁z)

（3） ∃ 0 ∈ F 使得 x♁0 = x, ∀x ∈ F （4） ∀x ∈ F, ∃ w ∈ F 使得 x♁w = 0 （5） x☉y = y☉x

（6） (x☉y)☉z = x☉(y☉z)

（7） ∃ e ∈ F, e≠0 及 x☉e = x, ∀x ∈ F （e 是唯一的）

（8） ∀x ∈ F \ {0}, ∃ w ∈ F 使得 x☉w = e

（w 是唯一的）

（9） x☉(y♁z) = x☉y♁x☉z

其中一個“序” 關係，即對於任意 x 和 y，x < y，x = y 和 y < x 三者必居其一。另外，所有有上界的子集均有最小上 界。

帶序域的定義：設 (F,♁,☉) 爲一域，若有 P ⊂ F 適合以 下公設則稱 F 爲一帶序域。

（1） x, y ∈ P  x♁y ∈ P （2） x, y ∈ P  x☉y ∈ P （3） x ∈ P  −x ∉ P

（4） x ∈ F  (x = 0) ∨ (x ∈ P) ∨ (−x ∈ P)

若 y − x ∈ P，寫作“x < y”。“x ≤ y”即“x < y 或 x =

y”。

這個P 就是我們一般認識的正數集。

在文檔中 — 數學教師不怕被學生難倒了！ (頁 107-119)