全等與相似

幾何上有幾個重要的觀念，形狀、大小、位置等。在傳統 幾何中，如果不考慮圖形的位置，當圖形的形狀相同、大小不

≅

表面上是兩個全等三角形 在數學本質上

可以看成同一個三角形

圖3-13 只有“一個”三角形

確定時，就說圖形是相似的；如果圖形的形狀與大小都相同，

就說圖形是全等的。

不過要注意的是《原本》中沒有正式定義“全等＂，例如 命題 8 中，它只說“如果兩個三角形的一個有兩邊分到等於另 一個的兩邊，並且一個的底等於另一個的底，則夾在等邊中間 的角也相等。這其實是大家熟悉的 SSS。但《原本》並沒有用

“全等＂這個詞。他們可能亦意識到相似可以涉及整體空間的 情况，如圖 3-14 所示。所以採取了這種巧妙的不加定義的方 法，以回避可能出現的邏輯問題。＂

圖形的全等是圖形間的一種等價關係。給定平面上或空間 中的兩個幾何圖形，如果經過合同變換（即正交變換），一個 圖形能與另一個圖形重合，即一個圖形能變成另一個圖形，則 把這兩個圖形稱爲全等（圖）形或合同（圖）形。例如，平面 上有線段、角、三角形、圓等的全等，空間中多面角、多面體、

球等的全等。兩個圖形 F1和 F2等，記爲 F1  F2或 F1 F2，圖 形的全等是等價關係，即具有：

（1）反身性： 對於任何圖形 F，有 F F。

（2）對稱性： 對於圖形 F₁和 F₂，若 F₁  F2，則 F₂  F1。

（3）傳遞性： 對於圖形 F₁、F₂和 F₃，若 F₁  F2及 F₂  F3， 則 F₁  F3。

圖 3-14 空間上的相似圖形

兩個全等形重合時其重合的幾何元素稱爲對應元素，如對 應點、對應邊、對應角等。

圖形的相似和圖形的全等一樣，也是一種等價關係。相似 形也有類似的定義和性質。特別的，如果兩個圖形F1與 F2相 似，那麼它們的對應線段之比等於相似比；它們的對應角相等；

它們的對應面積之比等於相似比的平方；它們的對應體積之比 等於相似比的立方。相似形是在相似變換下互相變換的圖形。

具體到三角形中，全等三角形和相似三角形有各自不同的定 義：

（1） 全等三角形：三角形的全等是三角形間的一種等價關係

，經過合同變換後能够完全重合的兩個三角形叫做全等 三角形。換句話說，兩個三角形的形狀、大小都一樣時，

如果其中一個可以經過平移、旋轉、對稱等運動（或稱 變換）使之與另一個重合，那麼，這兩個三角形稱爲全 等三角形。

（2） 相似三角形：對應角都相等，對應邊都成比例的兩個三 角形叫做相似三角形。很明顯，當兩個相似三角形的相 似比等於1 時，這兩個三角形就是全等三角形。可見，

全等三角形是相似三角形的一種特殊情形。

在使用符號表示圖形時，由於對幾何圖形符號表示的不同 認識，反映出的實際上是研究者不同的思維方式與研究方法。

同時，也不免出現這樣的疑惑：

【案例 3-4】 ABC 能不能與BCA 全等（或相似）？如何 表示其全等（相似）關係？

分析：用符號表示圖形時，通常選取圖形的關鍵點，用英文字 母表示出這些關鍵點，然後規定出用這些關鍵點字母表示圖形

的規則。例如，四邊形 ABCD，五棱柱 ABCDE - A1

B

1

C

1

D

1

E

1

等，字母顯示的點是順次連結而成的，字母與字母間有對應的 位置關係（如四邊形 ABCD 中 AC、BD 是對角線，五棱柱 ABCDE - A1

B

1

C

1

D

1

E

1中 AB 與 A1

B

1是對應邊等）。這樣，依據公認的 規範進行表達，就不會造成交流的歧義。

在研究兩個三角形之間的全等問題時，爲了方便學生學習

，我們通常規定ABC  DEF 的符號表示暗含着 A 與 D、B 與 E、C 與 F 分別是對應點。基於此，學生不需要分類討論其 它的對應情况，這樣也簡化了問題的研究。例如，已知ABC

 DEF，則對應邊和對應角相等。即 AB = DE，AC = DF，

BC = EF。∠A =∠EDF，∠B =∠E，∠ACB =∠DFE。

具體到一個ABC，由於三角形的特殊性，三個頂點的字 母可以任意調換，BAC 與CBA 等都表示的是同一個三角 形，而三角形當然與自身全等，因此就有：ABC、BAC 與

CBA 都是全等的結論。假設使用全等符號“  ＂來表示同 一個三角形的全等關係“ABC  BAC  CBA ＂，就會 造成 A、B、C 三點均是相互對應點的混亂，反而干擾學生的 學習。因此，通常在這種特殊情形下我們用文字來表述全等關 係，而不用全等符號“  ＂來表述了。

不過，如上所述，在AB



XY , BC



YZ, CA



ZX 的情 况下，雖然書寫ABC  XYZ 是隨時鼓勵的良好習慣，說

ABC 與XZY 全等在數學上不能馬上說他錯，因爲XYZ、

XZY 可看作是同一個三角形，尤其是當學生仍把三角形看成 是一個整體的實物。

除了命名的問題外，我們還可討論將一個圖形反過來，如 圖 3-15 所示是否算是全等。19 世紀克萊因（F. Klein,1849-1925）

主導的愛爾朗根綱領（Erlangen Program）便以“不變量＂

（invariant）把不同的幾何學分類。在歐氏幾何中，長度、角 度是决定性的，位置則不是。換言之，將兩長度、角度均相等 之圖形平移後，前後兩個圖形算是一個（相等）。反轉過來，

一般情况下不算新圖形，即是ABC  ACB。其實如第二章 提到，數學上所謂相等，往往只是在某種意義（定義）下相等 而已。不過最好是把變換了的三角形命名為 A, B,C，那就避 免混淆了。

當然，在不同的研究階段，處理不同的研究對象時，圖形 的符號表示可能並非關鍵因素，也不是表達與交流的關鍵橋梁

。例如，在歐氏幾何中，圖形中線的長度不變是本質問題；而 在拓撲研究背景下，圖形中線的長度是否改變不再是本質因素。

因此，我們需要知道，圖形表示中字母符號的表達規則與對應 含義發生改變時，理解也需要隨之調整。

在文檔中 — 數學教師不怕被學生難倒了！ (頁 181-185)