一元二次方程式在代數課程佔有相當重要的地位，延續七年級方 程式的概念，擴張至多項式的概念、勾股定理與方根的運算、因式分 解，最後以解一元二次方程式做結束，完成國中階段的代數主題。乘 法公式、商高定理以及一元二次方程式分別屬於代數主題中的幾何代 數量、數量樣式，規律，解方程式等之高階關係(系統化)。這些概念 的瞭解需要仰賴文字符號概念、一次式、解一元一次方程式、等量公 理、平方根、數量樣式、幾何量等概念的瞭解。
相關的「一元二次方程式」單元學習，被安排在國中二年級課程中，
詳細的分年細目表，如表 2-4-1 所列；
表 2-4-1 八年級分年細目表
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8-a-01 能熟練二次式的乘法公式。
8-a-02 能理解簡單根式的化簡以及有理化。
8-a-03 能認識多項式及相關名詞。
8-a-04 能熟練多項式的加、減、乘、除四則運算。
8-a-05 能理解畢式定理(Pythagorean Theorem)及其 應用。
8-a-06 能理解二次多項式因式分解的意義。
8-a-07 能利用提公因式法分解二次多項式。
8-a-08 能利用乘法公式與十字交乘法做因式分解。
8-a-09 能在具體情境中認識一元二次方程式，並且理 解其解的意義。
8-a-10 能利用因式分解來解一元二次方程式。
8-a-11 能利用配方法解一元二次方程式。
8-a-12 能利用一元二次方程式解應用問題。
李盈賢( 2006 )針對高雄市某國中二年級學生，進行「一元二次方 程式」的迷思概念的類型及成因的探討分析，發現在「一元二次方程 式」迷思概念內容如下：(一)因式分解解一元二次方程式的基本原理 不清楚；(二)不了解應用問題題意而無法列出算式；(三)完全平方式 的求法不清楚；(四)一元二次方程式定義不清楚；(五)因式分解解一 元二次方程式不熟悉；(六)配方法解一元二次方程式觀念不清楚；(七) 無法正確用判別式判斷一元二次方程式是否有解；(八)求值式計算錯 誤。
而在「一元二次方程式」迷思概念成因內容如下：(一)基本觀念 建立不夠扎實；(二)學生對文字理解觀念太弱；(三)基本四則運算的 能力不夠；(四)太偏重記憶而缺乏理解。
林美娟( 2010 )將學生所犯的錯誤答案以及錯誤觀念、統整後的類 行為：
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1.一元二次方程式的認識與解的概念 (1)一元二次方程式判別錯誤
(2)方程式的解或根一定能滿足方程式的應用不熟悉 2.因式分解法解一元二次方程式
(1)因式分解一元二次方程式的基本原理不清楚 (2)十字交乘分解錯誤
(3)當成多項式的因式分解
(4)等量除法公理使用錯誤造成少一個解 (5)乘法公式混淆、遺漏或遺忘
3.配方法解一元二次方程式 (1)平方根的觀念錯誤
(2)完全平方式的判斷與運用錯誤
(3)忽略等量加法公理或等量加法公理的觀念錯誤 (4)配方法解一元二次方程式步驟或原理不清楚 4.公式解解一元二次方程式
(1)判別式計算錯誤 (2)公式解的公式背錯 (3)公式解的係數寫錯
(4)無法使用判別式判斷一元二次方程式是否有解 (5)不瞭解應用問題題意而無法列出算式
(6)無法判斷答案是否合理
由於一元二次方程式在國中階段是代數的結尾部份，因此研究者
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往前回歸到文字符號的相關關係以及方程式的概念，提供讀者在看本 文獻時，能瞭解一元二次方程式的演進。
一、文字符號的相關認知
文字符號的使用，代表學生進入代數的學習。而代數語言在不同 時期有不同表徵，而有不同意義( 陳維民，1998 )。因此要去研究文 字符號就要去研究代數的歷史演進。
根據代數演進的研究，可將文字符號的演進發展史分為三階段：
（一）、文辭代數：
約在西元 250 年以前的這個時期，人類只能用口語形式的自然語 言來表達特定方程式的使用，並無符號與特殊記號來表示未知數。
（二）、簡單代數：
到西元 250 年，古希臘數學家 Diophantus 提出運算符號之後，
人們開始嘗試一些簡單的符號以及文字來代表未知數，但是只會求特 定方程式的解，並無法提出一般方程式的通用公式解。
（三）、符號代數：
Vieta ( 1549─1603 )提出以符號來表示某一給定但未知的數，
此階段的代數方程式係數，能以文字符號表示且也能夠具有一般數字
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中的算則去演算，而能求出方程式的一般解。
對數學中的文字符號，Collis ( 1975 )從學生觀點出發將文字符 號概念，分成六種不同的使用層次：
1、文字符號可輕易推導出的值：如：x + 3 = 4中的x = 1 。
2、文字符號可省略不用：指文字符號雖然出現在題目中，但在解題 過程中不影響計算結果，如：x + y = 43，x + y + 2 = 43 + 2，在此 例子中，前後兩式只在後段「+2」有所不同，因此 用 43 代替相
同的值而可以直接求出x + y + 2 的答案為 45。
3、文字符號當做事件：即文字符號為代表物的簡寫或註記，如：a 代表某一多邊其中一邊的長度的量而不是單純數字。
4、文字符號當做題目給定的未知數：如：一多邊形有 n 邊，而且每 一邊長為 3，於是得到周長為 3n。這是可以直接運算。
5、文字符號當做可量化的數字：文字符號代表一組數而非單一數值 如：c 是代表小於 5 的數。
6、文字符號當做變數：即文字符號代表一未定的數值，如：比較 n 與 2 的大小。
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由上述 Collis 的分類，前三者的描述文字符號的使用，停留在具 體層次。而後三者的分類，則過渡到抽象的思考模式。在方程式的概 念學習，若學生對文字認知，只是停留在具體階段，固然可以解決一 些簡單問題，不過若欲到結構較為複雜的問題時，則往往沒有辦法適 當的使用文字符號，因此形成了解題的難度與概念的迷思。
Wanger ( 1981 )研究，改變方程式及函數中的文字符號名稱，
對學生具有影響的情節。他發現許多學生固著於所命名的文字符號，
刻版的用法。當原有的文字符號一被改變時，甚至認為整個題意完全 改變，以致影響解題的能力。由此可知學生並沒有完全瞭解文字符號 在問題中所代表的意義。
Booth ( 1984 )發現：學生在解代數題時，對於文字符號的定義 及 運 算 都 有 困 難 。 學 生 通 常 將 兩 個 未 知 數 合 併 起 來 ( 例 如
)，或去掉括號。
Steinberg , Sleeman 和 Ktorza ( 1990 )指出：在學習代數時，
很多學生並未有正確的等價概念。多數學生學習到的是如何運用轉換 來解方程式，但卻不知道方程式可用來判定兩者是否等價。
上述的學者都將重點擺在代數，接下來研究者將藉由學者們的概 念只討論細化過後的方程式部份。
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二、方程式
代數的另一核心就是方程式。方程式的定義如下：方程式是斷定 兩個表示式具有相同值的公式，它可以是恆等方程式 ( identical equation 通常稱衡等式 identity )，對於任何給定的變量都成立。也可 以是條件方程( conditional equation )，僅對於變量的取一定的值(方 程式的根，root )才成立。在上述定義中提到的方程式的根(解)是不 同表徵式中的一種共同關係，以式子而言，即滿足的數(數學辭典，
1999 )。
笛卡兒( Descartes )這位十七世紀法國偉大的哲學家、數學家，
解析幾何的創始人說過：「一切的問題都可以轉換為數學問題，一切 的數學問題都可以轉換成代數問題，一切代數問題都可以轉換成為方 程式，一切問題均將迎刃而解。」，也就是說以問題解決與數學的角 度來看，方程式在代數學的領域中扮演著重要的角色( Polya , 1945 )。
Clement , Lochhead 和 Monk ( 1981 )指出：有很大比例主修 科學的學生，甚至無法將簡單的句子轉換成方程式。學生解題之所以 出現錯誤多半是在將文字轉換成方程式所產生，而非是簡單代數技能 或簡單的比例問題。
Wollman ( 1981 )對 Clement 等人的研究工作做進一步研究，發
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現造成這些轉譯錯誤的原因有下列幾點：
（一）、做得太快。
（二）、列完方程式沒有立即檢驗。
（三）、未根據題目的意思列式。
（四）、未使用文字符號來列式。
三、配方法
謝佳叡 ( 2000 )的研究指出從學生對於方程式中如果有未知系 數時，便顯得困難來看，對於公式解的推導，宜再謹慎思考適合學生 學習的教學方法。在配方法的教學上，在配成完全平方的教學內容上 特別強化概念性教學，至使學生在較一般化或有變化的題目中犯錯較 少的現象來看，對於配方法的學習不宜太快進入程序性教學，宜適度 的強化概念性教學。
陳志全 ( 2005 )針對國二學生在「用配方法解一元二次方程式」
之錯誤類型、犯錯原因。結論如下：發現在「配方法解一元二次方程 式」的錯誤類型內容如下：(一)方程式與多項式定義用法混淆不清；
(二)無等價概念以致扭曲等量公理的運用；(三)無法配出適合及完全 正確的完全平方式；(四)分數、根式、整數、文字符號個別及相互間 的化簡及平方錯誤；(五)正負符號的誤置或忽略遺漏；(六)開根號與 等量公理移項法則的順序錯置；(七)無法從圖形文字符號方程式作適 切的轉換與聯結；(八)建立一個無法完成配方法的步驟。
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而在「配方法去解一元二次方程式」的錯誤原因內容如下：(一) 前備的知識不足；(二)舊的學習經驗和新的學習經驗相互干擾；(三) 沒有正確的使用運算規則；(四)忽略了題目給予的條件或答案的完整 性；(五)無法瞭解題目的敘述；(六)受到不同表徵題目的影響而無法 做出正確判斷。
四、因式分解
對於因式分解的定義，大多大同小異。以下列舉幾位專家學者對 於因式分解所下的註解：
呂溪木( 1983 )在「數系與因式分解」中對因式分解的定義如下：
多項式的因式分解就是將一個多項式寫成其質因數的連乘積，而質因 數應至少為一次多項式。
根據九十六年學年度各版本教科書數學課本第三冊對於因式分 解的定義如下：(一)南一版：將一個𝑥的二次式寫成兩個一次式的乘 積就將這叫做二次式的因式分解；(二)康軒版：將一個𝑥的二次式寫 成兩個一次式的乘積，稱之為二次式的因式分解；(三)翰林版：將一 個多項式寫成兩個或兩個以上多項式的乘積，就稱為該將多項式因式 分解。
上述的幾位學者對於因式分解都是以多項式當做出發點，而研究 者所做的一元二次方程式的因式分解，與上述學者的定義相同，只差
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在於研究者所做的討論是具有等式的方程式，而方程式的因式分解與 多項式的因式分解幾乎是相同的，差異只是於將方程式做因式分解之 後，必須多加瞭解到任何非 0 的數相乘皆不為 0，只要加上這個概念 與上述學者們對於多項式因式分解的定義，則可稱為方程式的因式分 解。
五、十字交乘法
因式分解的解題方式共有相當多的方法，但大致上可分為以下四 種，研究者將一一介紹，其中第四種方式為十字交乘法，為了與上述 的因式分解做個連接，研究者一併連其餘三種方法介紹。
(一)提出公因式：一多項式中各項均含有相同的因數時，採用提公因 式法。
(二)分組分解：一多項式中雖然各項沒有相同的因式，但經過分組分 解之後，組與組之間又有相同的因式時，採用分組分解法。分組分解 法大致分為三步驟：1.將原式的各項作適當分組。2.分別提出每組的 公因式。3.將經過處理後的每一組當作一項，在將各項提出公因式。
(三)利用乘法公式：運用之前所習得的乘法公式，若有多項式符合其 公式形式，則直接套用公式進而達到因式分解的目的。
1.利用平方差公式： 𝑎2− 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)
多項式符合𝑎2− 𝑏2的形式，則將多項式化為(𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)的形式。
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2.利用平方和公式：(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
多項式符合𝑎2+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2的形式，則將多項式化為(𝑎 + 𝑏)2的形式。
3.利用平方差公式：(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2− 2𝑎𝑏 + 𝑏2
多項式符合𝑎2− 2𝑎𝑏 + 𝑏2的形式，則將多項式化為(𝑎 − 𝑏)2的形式。
4.十字交乘法：十字交乘法大多運用在二次多項式上，且各項系數為 整數者。使用的前提是假設二次多項式是由兩個一次多項式乘積而來，
在運用多項式直式乘法檢驗假設的兩個一次多項式的乘積是否符合 原多項式。
六、判別式
設 方 程 式 為 ， 屬 於 實 數 ， 則 稱
為判別式(discriminant of quadratic equation)。
著名科學家牛頓(1642─1727)在其《普遍的算數》中指出，判別 式之等於 0，大於 0 及小於 0 分別表示，該方程式具有等根、實根和 虛根。判別式是一元二次方程式中重要的算式，因為其決定了方程式 解的形式，也是使用公式解方程式時第一步必須要求出的算式，由判 別式出發可以討論高次方程式解的形式，進而引出近代代數的產生。
所以判別式在一元二次方程式中扮演的角色相當重要。