研究工具這兩份皆是一元二次方程式表徵測驗卷：文字題紙筆試 卷、圖文題紙筆試卷。除了收集紙筆資料，更有收集大綱及題目一個、
晤談資料。
一、正式施測工具(紙筆)
研究者參考九年一貫綱要及討論後，再設計一元二次方程式測驗卷，
並考慮兩個版本；文字題以及圖文題。每分卷共 6 題，而圖文題配對 的文字題，是題意相同卻沒有附圖，也不影響作答，以下是經 2 次預 試以及討論修改才定稿的測驗卷。
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表 3-2-1 正式施測文字題與圖文題題目
文字題 圖文題
第一題
1. 用 100 公尺的鐵絲 網去圍成面積是 800 平 方公尺的長方形菜圃，此 菜 圃 的 一 側 長 邊 是 河 堤，不用鐵絲網去圍，並 且完全圍完 100 公尺，設 所圍成長方形的短邊長 度為 x 公尺，則 x 值為 ______。
1. 用 100 公尺的鐵絲 網去圍成面積是 800 平 方公尺的長方形菜圃，此 菜 圃 的 一 側 長 邊 是 河 堤，不用鐵絲網去圍，並 且完全圍完 100 公尺，設 所圍成長方形的短邊長 度為 x 公尺，則 x 值為 ______。
第二題
2. 有一個長 40 公尺、
寬 30 公尺的長方形花 圃。為方便遊客欣賞，想 要開闢兩條兩邊與長寬 平行且相交成十字型的 等寬通路。但希望剩下種 植花卉的面積為 935 平方 公尺，則所開闢通路的寬 度為 公尺。請用"
配方法”做答。
2. 有一個長 40 公尺、
寬 30 公尺的長方形花 圃。為方便遊客欣賞，想 要開闢兩條兩邊與長寬 平行且相交成十字型的 等寬通路。但希望剩下種 植花卉的面積為 935 平方 公尺，則所開闢通路的寬 度為 公尺。請用"
配 方 法 " 做 答 。
第三題
3. 若將正方形的其中 一邊加上 √𝟐𝟏公尺後，所 形 成 的 長方 形面 積 為 𝟏 平方公尺，則原正方形的 邊長為多少公尺？
3. 若將正方形的其中 一邊加上 √𝟐𝟏公尺後，所 形 成 的 長方 形 面積 為 𝟏 平方公尺，則原正方形的 邊長為多少公尺
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文字題 圖文題
第四題
4. 有 一 長 方 形 土 地 的 長、寬比為 3：2，今從此 長方形的長邊 4 公尺處垂 直向下劃，直到另一長 邊，開闢成走道，而走道 之外的新長方形開闢成 花圃。若花圃的面積為 520 平方公尺，試問原長 方形土地的周長為多少 公尺？
4. 有 一 長 方 形 土 地 的 長、寬比為 3：2，今從此 長方形的長邊 4 公尺處垂 直向下劃，直到另一長 邊，此新的長方形開闢成 花圃。若花圃的面積為 520 平方公尺，試問原長 方形土地的周長為多少 公尺？
第五題
5. 有 一 大 圓 以 及 一 小 圓，將其圓心重疊形成一 同心圓，今將大圓內部扣 除 小 圓 部 份 命 名 為 環 形，此環形的寬是 2 公 分。若環形的面積與小圓 的面積相等，則小圓的半 徑是 。
5. 有 一 大 圓 以 及 一 小 圓，將其圓心重疊形成一 同心圓，今將大圓內部扣 除 小 圓 部 份 命 名 為 環 形，此環形的寬是 2 公 分。若環形的面積與小圓 的面積相等，則小圓的半 徑是 。
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文字題 圖文題
第六題
6. 假 設 t ＝ 人體的下半身長
人體的身高 ，其中 下半身長是由腳底至肚 臍的長度。而當 t 滿足 t：1＝1：( t＋1 ) 時，
人的外表比例是最美麗 的。已知小美的身高是 162 公分，其下半身與身 高的比值為 0.6，則她應 穿幾公分的高跟鞋，才能 使身材比例最美觀？( 請 以四捨五入法取近似值 至 整 數 ， 其 中 5 ≒ 2.236 )
6. 假 設 t ＝ 人體的下半身長
人體的身高 ，其中 下半身長是由腳底至肚 臍的長度。而當 t 滿足 t：1＝1：( t＋1 ) 時，
人的外表比例是最美麗 的。已知小美的身高是 162 公分，其下半身與身 高的比值為 0.6，則她應 穿幾公分的高跟鞋，才能 使身材比例最美觀？( 請 以四捨五入法取近似值 至 整 數 ， 其 中 5 ≒ 2.236 )
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表 3-2-2 題號與分層細目表以及難易度分配表
第 1 題 第 2 題 第 3 題 第 4 題 第 5 題 第 6 題 8-a-06
能理解二次多項式 因式分解的意義
𝘷 𝘷 𝘷 𝘷 𝘷 𝘷 8-a-07
能利用提公因式法 分解二次多項式
𝘷 𝘷 𝘷
8-a-08
能利用乘法公式與 十字交乘法做因式 分解
𝘷 𝘷
8-a-09
能在具體情境中認 識一元二次方程 式，並理解其解題 意義
𝘷 𝘷 𝘷 𝘷 𝘷 𝘷
8-a-10
能利用因式分解來 解一元二次方程式
𝘷 𝘷
8-a-11
能利用配方法解一 元二次方程式
𝘷 𝘷
8-a-12
能力應二次方程式 解應用問題
𝘷 𝘷 𝘷 𝘷 𝘷 𝘷
難度
易 𝘷 𝘷
中 𝘷 𝘷 𝘷
難 𝘷
二、修改過程
研究者在工具的設計，有經指導教授及中學老師商討修正，包括共兩 次預試，兩次的題目及修改關係如下表。
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表 3-2-3 第一次預試第 5 題之修改
第一次預試第 5 題 第二次預試第 1 題 5. 用 100 m 的鐵絲網去圍成面
積是 800 m2的長方形菜圃，此菜 圃的一側長邊是河堤，不必再用 鐵絲網去圍並且圍完 100 m，設 所圍成長方形的短邊長為x m，
則x值為______。
1. 用 100 公尺的鐵絲網去圍成 面積是 800 平方公尺的長方形菜 圃，此菜圃的一側長邊是河堤，不 用鐵絲網去圍，並且完全圍完 100 公尺，設所圍成長方形的短邊長度 為x 公尺，則x值為______。
第 5 題修改之處：研究者經由光華國中彭祥雲老師以及梁淑坤指導老 師討論之後，怕學生認為 m 也是一個變數，因此將 m 改為公尺；以及 將”不必再用鐵絲網去為並且圍完 100m”更改其語句，以達到更為 順暢的語句，最後考量短邊長可能與長邊與短邊弄錯意思，因此更改 為短邊長度。
表 3-2-4 第一次預試第 4 題之修改
第一次預試第 4 題 第二次預試第 2 題 4. 有一個長 40 公尺、寬 30 公
尺的長方形花圃。為方便遊客欣 賞，想要開闢兩條等寬且相交成 十字型的通路。但希望剩下種植 花卉的面積為 936 平方公尺，則
2. 有一個長 40 公尺、寬 30 公 尺的長方形花圃。為方便遊客欣 賞，想要開闢兩條兩邊與長寬平 行且相交成十字型的等寬通路。
但希望剩下種植花卉的面積為
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所開闢通路的寬度為_______公 尺。
935 平方公尺，則所開闢通路的寬 度為_______公尺。請用”配方法”
做答。
第 4 題修改之處：原題意”開闢兩條等寬且相交呈十字型的道路”怕 學生認知此圖式可以為傾斜的十字形道路，於是改為”兩邊與長寬平 行且相交呈十字型的道路”，而數字 936 改為 935 是為了讓學生無法 用十字交乘法而更改的設計。
表 3-2-5 第一次預試第 8 題之修改
第一次預試第 8 題 第二次預試第 3 題 8. 若將正方形的其中一邊加
上 𝟐
𝟑，而形成的長方形面積為
𝟑𝟓
𝟔𝟎，則原正方形的邊長為何？
𝟐
𝟑
3. 若將正方形的其中一邊加 上 √𝟐𝟏公尺後，所形成的長方形 面積為 1 平方公尺，則原正方形 的邊長為多少公尺？
第 8 題修改之處：此題為了配合無法使用十字交乘法以及配方法，於
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是修改數值為具有根號的數以及加上單位，讓學生可以用更熟悉的解 題方式作答。
表 3-2-6 第一次預試第 7 題之修改
第一次預試第 7 題 第二次預試第 4 題 7. 有一長方形土地的長、寬比
為 3：2，從長的一邊劃出一條緊 貼寬邊並且寬度為 4 公尺的走 道，剩下的部分做為花圃。若花 圃的面積為 520 平方公尺，試問 原長方形土地的周長為多少公 尺？
4. 有一長方形土地的長、寬比 為 3：2，今從此長方形的長邊 4 公尺處垂直向下劃，直到另一長 邊，此新的長方形開闢成花圃。
若花圃的面積為 520 平方公尺，試 問原長方形土地的周長為多少公 尺？
第 7 題修改之處：原本”從長的一邊劃出一條緊貼寬邊並且寬度為 4 公尺的走道，剩下的部分作為花園"，怕學生此長邊往下劃但不知畫 到何處才停止，因此加入”垂直向下劃，直到另一長邊”。
表 3-2-7 第一次預試第 2 題之修改 第一次預試第 2 題 第二次預試第 5 題 2. 有兩圓形成一個同
心圓，此環形的寬是 2。
5. 有一大圓以及一小圓，將其圓心重疊 形成一同心圓，今將大圓內部扣除小圓部
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若環形的面積與小圓的面 積相等，則小圓的半徑 是 。
份命名為環形，此環形的寬是 2 公分。若 環形的面積與小圓的面積相等，則小圓的 半徑是_________。
第 2 題修改之處：學生在解題時，對於同心圓為環形以及環形的定義 不一定每人都一樣，於是更改為”有一大圓以及一小圓，將其圓心重 疊形成一同心圓，今將大圓內部扣除小圓部份命名為環形”，期學生 對於不同定義有一個統整的概念。
表 3-2-8 第一次預試第 6 題之修改
第一次預試第 6 題 第二次預試第 6 題 6. 長方形紙片 ABCD 的長為
x，寬為 6，若有兩點 E、F 分 別在線段𝑨𝑫̅̅̅̅與𝑩𝑪̅̅̅̅之間。將𝑬𝑭̅̅̅̅
摺疊，使 B 點與 D 點重合，若 CF ＝8，求 x＝？
B C
A E D
F G
6. 長方形紙片 ABCD 的長為 x 公 分，寬為√𝟑公分，令線段𝑨𝑫̅̅̅̅為一長 邊，若有兩點 E、F 分別在線段𝑨𝑫̅̅̅̅與 𝑩𝑪̅̅̅̅之間。將𝑬𝑭̅̅̅̅摺疊，使 B 點與 D 點 重合，若 CF ＝√𝟐公分，求 x＝？
B C
A E D
F G
第 6 題修改之處：這一題除了增加單位之外，為了配合不能使用十字
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交乘法以及配方法，增加了修改數字部份。而為了長方形每人對於長 邊以及短邊的標點順序不同， 於是增加了”令線段𝑨𝑫̅̅̅̅為一長邊”。
以上是紙筆資料收集採用的工具，接下來為學生訪談單的內容是 依據 Schoenfeld ( 1985 )的數學解題歷程模式去設計。
三、正式施測工具(晤談單最後版)：
1.文字題
(一).請問你通常怎麼看題目？
(二).你從題目中得到了哪一些線索？
(三).找到這些條件，你馬上想到的是什麼？
(四).為什麼你要這樣做？
(五).如果有圖輔助你，你認為會更有幫助嗎？
(六).你有其他的解題方式嗎？
2.圖文題
(一).通常你看題目是先看圖還是先看文字？
(二).你從文字與圖中得知了哪一些線索？
(三).你通常是從圖中以及文字中得知到了這些線索，你馬上想到得是 什麼？
(四).你是如何利用這一些文字與圖來作答的？
(五).如果沒有圖輔助你，你認為對你解題有沒有差異？
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(六).你有其他的解題方式嗎？
四、正式施測工具(晤談測驗題)
表 3-2-9 晤談測驗題
文字題 圖文題
甲是邊長 2 公分的正方形，乙是 長方形，且甲和乙的面積相等。
將乙放在甲上並且與甲的一角重 合相貼，因而形成額外正方形 丙，請依據下列所給予問題，逐 一回答。
(1) 設正方形丙的邊長為x公 分，則由題意「甲、乙面積相等」，
可列出一元二次方程式為何？
( 請化成ax2＋bx＋c＝0 的形式 ) (2) 求x值。
甲是邊長 2 公分的正方形，乙是 長方形，且甲和乙的面積相等。
將乙放在甲上並且與甲的一角重 合相貼，因而形成額外正方形 丙，請依據下列所給予問題，逐 一回答。
甲 乙
丙
(1) 設正方形丙的邊長為 x 公 分，則由題意「甲、乙面積相等」，
可列出一元二次方程式為何？
( 請化成 ax2＋bx＋c＝0 的形式 ) (2) 求 x 值。