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第肆章、研究結果與討論
本章節將分成兩節。第一節為解題。研究者比較一元二次方程式兩種 表徵，呈現正式圖文題與正式文字題試卷之研究結果；第二節是解題 歷程，分別是針對 6 位學生對於圖文題與文字題的放聲思考晤談資料 的分析結果。
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( )為文字題。從上圖看觀測出來 20~29 分是一個分水嶺，低於 20~29 分的得分組，文字題學生答對的人數與圖文題答對的人數開始 有更大的差距(差 10%到 16%)。
至於高於 30~39 分的得分組，學生作答的試題是否為文字題或是 圖文題得分總分差異不大。但對於後半段的學生，可能圖文題相對於 文字題對於學生有幫助，以上用總分的分析圖顯示不同分數組別的百 分比(圖文題、文字題)。除此之外，研究者也用 t-test(不等組)去 比較兩種表徵的平均分，發現圖文題的平均分組高於文字題的平均分 組，但是沒有統計的顯著差異。
以上是總分及平均分的結果，以下是逐題分析(第一題到第六題) 二、學生作答分析結果(逐題分析)
(一)、第一題
圖 4-1-2 第一題學生作答得分分布圖
55%
10%
0%
35%
26%
4%
9%
61%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
10分 8分 5分 0分
圖文題 文字題
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上圖呈現學生回答的得分情形，粗線為圖文題，細線為文字題。
在第一題中學生的作答中，5 分以上圖文題的學生有 65%，至於文字 題方面，得 5 分或得 5 分以上的學生有 30%，因此，可看出在第一題，
圖文題相對於文字題較有優勢。因為此題的解法用學生習慣使用的十 字交乘法就可以解題，而圖文題加上了圖示的輔助，給予學生不同的 表徵，讓學生可由自己習慣的試題表徵來作答，而有了較大的差異。
在一元二次方程式中，學生得到 8 分就是沒有做出答案的判讀，
以至於將兩個符合算式卻不符合題目的答案都列入正確答案以至於 錯誤，在這方面圖文題與文字題的差異不大，但對於國二學生來說，
這的確是容易出現的錯誤。
佐證 2-6-30
佐證 2-3-9
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只得 5 分的同學，意味著只有列式正確，但在其計算過程中，幾 乎是空白或者是使用自己習慣的方式去作答，而不是有邏輯性的作 答。
奇特的是，在第一題中只有列式正確的圖文題學生沒有人，換句 話說，在第一題中，圖的輔助可能沒有我們想像中的那麼有幫助，而 只是提供一種輔助的方式，學生不會作答，就不會作答，對於有沒有 圖示沒有關係的。
得 0 分的學生，可以看得出來圖文題比文字題還要有較少的人數。
由於有效試卷圖文題 20 份，文字題 23 份，在與其他分數做比較之後，
文字題得 0 分的學生當然要相對圖文題來的高。
總言之，此題的結果顯示，學生在圖文題的成績優於學生在文字 題的成績。
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(二)、第二題
圖 4-1-3 第二題學生作答得分分佈圖
第二題整體來看，圖文題文字題沒有太大的差異。但從圖 4-1-3 可以看得出來學生作答的意願高出第一題許多，值得注意的是得到 8 分與得到 5 分的百分比的增加。
先從得到 8 分的百分比來說，雖然差異不大，但可以看出沒有檢 驗正確答案的百分比也大幅的增加了，並且無論是圖文題或文字題共 有 9 人缺少這個步驟或者檢驗錯誤，這對於老師的教法及學生的學習 上都有很大的問題，在一元二次方程式這一單元與其他的單元最大的 不同是每題算出的答案都會有兩個解，但老師若沒再三的強調此特性，
對於學生的學習是會有所阻礙的。
佐證 2-6-13
25%
20%
35%
20%
26%
21%
35%
18%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
10分 8分 5分 0分
圖文題 文字題
70
佐證 2-6-10
得 5 分的百分比最多，也就是只有算式正確的人數最多，那麼計 算過程以及答案都錯誤，這一題可以使用學生習慣的配方法來解題，
正常來說應該不成問題，研究者從學生的試題中發現，除了沒有檢驗 計算過程正確與否之外，學生將文字表徵或者圖文表徵轉換成算式之 後常常出現空白的情況，從試卷上可以發現並沒有嘗試作答的意願。
因此在於將跨過圖文表徵或文字表徵轉換成算式型式的鴻溝外，
還有另一個鴻溝的存在，也就是學生看到算式跟學校所學或者是補習 班所學到的數學之間是有鴻溝存在的，這可能是老師的解法不被學生 認同或者是學生有學生自己的解法，但這解法是錯誤的卻沒有被糾正，
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以至於學生對於解題有不良的影響。
而這一點也符合 Lesh , Post 和 Behr ( 1987 )所提出的表徵 系統互動模式，不單單是表徵與表徵之間的轉換會造成鴻溝之外，表 徵「多義性」之間的轉換，確實對於學生解題會造成轉換上的困難。
佐證 2-6-18
佐證 2-6-26
而在第二題的題目當中，看出圖文題與文字題沒有太大的差異。
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(三)、第三題
圖 4-1-4 第三題學生作答得分分佈圖
此題獲得 5 分(包含)以上的學生在得到 10 分圖文的學生優於文 字題的學生，而其餘部份相差不多，在這一題需要用到公式解的解法 才能作答，從得到 10 分的百分比來看，圖文題的 20 人中就有 8 人答 對占 40%，但在文字題的 23 人中才有 6 人答對占 26%，在這個比率之 下，可以看出圖示對於學生是有所幫助的。
研究者觀察這一些學生的作答，發現答對的學生都是使用公式解 來作答，這是理所當然的，因為用其他的方式並沒辦法解開這一題，
但在其他可以使用公式解之外的方式解題的題目，無論是圖文題還是 文字題都很少使用到公式解來解題，對於某些資優的學生來說，也許 他們已經使用過很多種方式來解題，只是最後還是使用公式解來解題 較為方便。
佐證 2-6-17
40%
5%
25%
30%
26%
4%
26%
44%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
50%
10分 8分 5分 0分
圖文題 文字題
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在這個題目的圖示表徵中，出現較為不常見的"所增加的邊長"比
"原本的邊長"還要長的這個圖示。對於文字題的學生來說，他們看不 到這個情況，所以會有些同學出現答案很大的情況，而又缺乏驗證，
以至於作答失敗。
相對於文字題來說，圖文題的學生計算出答案之後，可用目測的 方式觀察到"所增長的的邊長”比”原本的邊長”還要長這個條件，
所以在做最後驗證的時候可以輔助作答，而不用直接的去做計算，
但我們可以從圖 4-1-4 看到得到 5 分的百分比圖文題卻低於文字題，
這與研究者觀察到的似乎有些矛盾，其實不然，因為許多得 5 分的學 生有列出算式但卻沒有正確的計算過程，以至於沒有達到最後需要驗 證的這一個步驟。
因此，圖示不只可以幫助學生將題目表徵轉換成算式的形式，在 對於驗證的步驟也是會有幫助，甚至不用計算就可以知道符合題目的 正確答案是何者。
佐證 2-6-20
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(四)、第四題
圖 4-1-5 第四題學生作答得分分佈圖
第四題無論是圖文題還是文字題的學生都表現不好，在文字題正 確作答的學生，接有畫出與圖文題相似的圖形而導致作答成功，但這 一題也可以看出就算有圖示以及文字的輔助學生對於常見的題目還 是不見得會，此題的考題類型在很多的版本中都有類似的題目，研究 者發現這些版本所規劃出來的題目幾乎都是圖文題，很少有純文字表 示的題目，也許因為這種原因使得圖文題的學生在作答會比文字題的 學生表現來的好。
看從圖 4-1-5 可以看出事實不然，文字題的學生表現的比圖文題 的學生還要好，這給我一個啟示，在第二章一些相關研究指出有圖示 的題目會比沒有圖示的題目要好，例如：圖形表徵為協助學生從教材 中快速了解及建構的有效工具，反觀口語訊息則較難說明概念的整理 架構，需用複雜與大量語法或文字方能詳盡說明(Hegarty & Just ,
25%
0%
15%
60%
34%
0% 0%
66%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
10分 8分 5分 0分
圖文題 文字題
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1989 ; Larkin & Simon , 1987 ; Schnotz , 2002)。但或許過份著 重在"圖"這件事上面了，學生的數學學習一開始就是先從語文開始學 習，後來當語文不夠用或者可以更簡單的表示文字才開始使用"圖"，
所以學生在解題的過程一開始並非只看圖以及數字來作答，而是先看 完文字，再用圖示來輔助，因此，有些學生在讀完文字部份之後，就 已經有解題的構思，於是開始作答，而”圖”對於此類的解題者就幫 助不大了。
這也符合了，雖然圖形表徵具有上述的優點，但使用之際需考量 學生的認知負荷，以免使用不當造成干擾或誤導，加上目前許多教科 書並非極力極度重視文本內圖形的呈現( Höffler & Leutner , 2007 ; Schnotz & Bannert , 2003)，因此圖形表徵的使用雖具提升教學成 效的潛力，但若使用不當亦可能出現反效果的情形。
此題得到 8 分的百分比為占 0%，就可以間接說明若文字表徵對於 解題者沒有幫助，則圖示表徵的功能就有限了，這也就是為什麼圖文 題得 5 分的百分比有 15%，而文字題的百分比卻還是 0%，但這並不代 表"圖"沒有用處，而是這時"圖"是學生解題的最後方法，若能從圖中 得到關鍵，則可以接下去作答，文字題的學生沒有此”圖”來作輔助，
因此表現較為不佳。
佐證 2-6-14
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(五)、第五題
圖 4-1-6 第五題學生作答得分分佈圖
此題研究者所觀察到現象與第四題符合，都可以看到研究者在第 四題所觀察到的現象在第五題以及第六題皆有出現。
第五題較第四題不一樣的地方是第五題的圖示較容易畫出來，這 也是第五題得 5 分百分比高於第四題得 5 分百分比的一項原因。
從中還可以發現到題目賦予的圖相對於學生自己畫的圖更有幫 助，因為這一題雖然畫出的圖是很容易的，但學生對於題目所給予的 圖是相信為真，而對於自己所畫的圖卻不一定相信為真，為什麼會這 樣呢？研究者認為是由於文字表徵的不了解已經使學生失去一些能 夠解出這一題的信心，進而對於自己所畫出來的圖沒有絕對的信心，
間接導致計算過程失敗。
有一點值得觀察的是為什麼得 8 分的百分比一樣是 0%，學生從題 目給予的條件轉換成算式時，在第五題幾乎做不出來，也許是因為前
30%
0%
25%
45%
35%
0%
9%
56%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
10分 8分 5分 0分
圖文題 文字題