國立中山大學教育研究所 碩士論文
Institute of Education
National Sun Yat-sen University Master Thesis
兩種不同表徵對於國二學生數學解題之探討─以
「一元二次方程式」為例
A study on problem solving in quadratic equations with different representations
研究生：劉永政
Yong-Zheng Liou 指導教授：梁淑坤 教授
Dr. Shuk-kwan S. Leung
中華民國 104 年 7 月
July 2015
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謝誌
我離家往高雄求學的這段日子中，學習到了不少東西，有教學上 的、做人處事上的、態度上的...等，這一些都是我在中山大學所學 習到的東西，雖然我沒能全盤體會，但我可以感覺的出來教育所是一 個溫暖的大家庭。
接下來要畢業了，最感謝的就是梁淑坤老師對我的教導，我從梁 老師身上看到了老師應有的風範以及對教學的熱忱，對我而言，梁老 師就像是我在高雄的一位媽媽，總是對我很關心，也很照顧我，梁老 師是我終身學習的良好典範。此外，也非常感謝兩位口考教授姚如芬 老師以及李旻憲老師，謝謝兩位老師的鼓勵與建議，使得論文撰寫能 夠更佳地完善。
除了師長之外，還有很多人是在我的身邊支持著我，像是采姿、
雲卿、祥雲、玟錚、許多學長姊以及學弟妹，在你們的身上，我都看 到了我該向你們學習的地方，祝福你們未來可以一切順利，也祝福梁 老師身體健康、永保安康。
我想感謝我的家人們以及未來的家人宜芳，有你們在我背後的支 持，是給予我前進的動力，我對於你們的感謝無法一一說明，留到我 用行動說明吧。
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摘要
本研究在探索國二學生在一元二次方程式兩種表徵(圖文題、文字 題)題目之間的解題以及解題歷程的關係。研究者所採用收集解題資 料的工具是參考某出版社命題修改形成 (共 6 題)，由 43 位學生作答 (23 人文字題、20 人圖文題)；另外，收集解題歷程資料的工具同樣 參考某出版的一道題再修改。晤談的學生是由 43 位做解題試卷中所 挑選出來的六位學生(圖文題 3 人；文字題 3 人)。經進行研究資料分 析，解題情形，報告出總分及 6 道題學生逐題作答差異。另外，解題 歷程資料分析，係依晤談逐字稿轉譯後討論 Schoenfeld 六階段的時間 分佈及百分比。研究者比對結果分析資料(紙筆、晤談)後，為兩種表 徵解題、解題歷程關係寫下發現：
1. 解題方面，總分(60 滿分)的低分組(0-9；10-19)，文字題學生人數 百分比超出圖文題。逐題得分方面，兩種表徵的成績分差異因題 目不同而不一定。
2. 歷程方面，學生在圖文題所花的「閱讀」時間比學生在文字題所 花的「閱讀」時間少；「分析」時，圖文題相對文題會高於一半的 分析時間。至於總共所需時間，圖文題的學生所花的時間比文字 題的少。
3. 關鍵詞：數學解題、表徵、一元二次方程式
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Abstract
This study investigates grade 8 students solving quadratic equations in two
representation formats (word problem with diagram, word problem) and relationships to problem solving and problem-solving process. The investigator developed instruments for collecting data on problem solving by referring and revising to materials from one textbook series, resulting a set of 6 problems. A total of 20 students solved word problems and 20 solved word problems with diagrams. When collecting data on problem-solving processes the investigator used one textbook problem (revised into 2 formats) then interviewed 6 students (3 solved word problem with diagram, 3 solved word problem). The investigator reported findings on total score and results on each of 6 problems, then results on the comparison on processes using percentage of time in Schoenfeld’s Six Problem-Solving Stages. Results are as follow:
1. On problem solving, results on total score revealed that the percentage of students (Word) is higher than the percentage of students (Word with Diagram) for lower score groups (0-9; 10-19 out of 60). For results on individual problem, the direction of difference on two formats was different among problems.
2. On problem-solving processes, and according to Schoenfeld, when
Word-with-Diagram compared to Word; students spent less time me on Reading Stage; more on Analysis Stage, and also less time on total time used in solving.
Keywords: Mathematical problem solving, representation, quadratic equations
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目錄
第壹章 緒論………...………..1
第一節 研究動機………...1
第二節 研究目的...3
第三節 研究問題………...3
第四節 名詞釋義………...3
第五節 研究限制………...5
第貳章 文獻探討………..6
第一節 數學解題與解題歷程………....6
第二節 表徵的相關研究………20
第三節 一元二次方程式的相關研究………....31
第參章 研究方法與設計………...…….44
第一節 研究對象………...44
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第二節 研究工具……….…...45
第三節 研究流程……….…….56
第四節 資料收集與分析……….…….…....57
第肆章 研究結果與討論……….…………..….65
第一節 兩種表徵解題之研究成果...…...65
第二節 兩種表徵解題歷程之研究成果………….…81
第伍章 結論與建議……….….…126
第一節 研究結論………126
第二節 建議………127
參考文獻………..129
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圖目錄
圖 2-2-1 Schoenfeld ( 1985 )六階段時間序列圖………….….….…..18
圖 2-3-1 表徵系統互動模式………..….…....22
圖 3-4-1 小元的六階段時間序列圖……….….……...59
圖 3-4-2 小元第一小題解題結果……….……….…….…62
圖 3-4-3 小元第二小題解題結果………...……....……64
圖 4-1-1 圖文題與文字題學生分數分布圖………..….………65
圖 4-1-2 第一題學生作答得分分布圖………..….…66
圖 4-1-3 第二題學生作答得分分佈圖………...…....69
圖 4-1-4 第三題學生作答得分分佈圖……….…...……72
圖 4-1-5 第四題學生作答得分分佈圖………...….….75
圖 4-1-6 第五題學生作答得分分佈圖……….…....……..78
圖 4-1-7 第六題學生作答得分分佈圖...79
圖 4-2-1 小莉解題歷程時間序列圖………..….…..…..…82
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圖 4-2-2 小莉第一小題解題結果……….84
圖 4-2-3 小莉第二小題解題結果………...….86
圖 4-2-4 小盈解題歷程時間序列圖………...88
圖 4-2-5 小柔解題歷程時間序列圖……….…..91
圖 4-2-6 小柔第一小題解題結果………....94
圖 4-2-7 小柔第二小題解題結果……….…………96
圖 4-2-8 小羽解題歷程時間序列圖………...……..102
圖 4-2-9 小羽第一小題解題結果…….……….….…..105
圖 4-2-10 小羽第二小題解題結果………...………..106
圖 4-2-11 小婷解題歷程時間序列圖………107
圖 4-2-12 小婷第一小題解題結果……….109
圖 4-2-13 小婷第二小題解題結果……….112
圖 4-2-14 小雅解題歷程時間序列圖………....…114
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圖 4-2-15 小雅第一小題解題結果……….……116
圖 4-2-16 小雅第二小題解題結果……….118
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表目錄
表 2-2-1 Schoenfeld 解題歷程六階段細目……….16
表 2-3-1 三大類的表徵型式………..……….24
表 2-3-2 文字與圖畫表徵的差異………..……….27
表 2-4-1 八年級分年細目表……….………..32
表 3-2-1 正式施測文字題與圖文題題目………...46
表 3-2-2 題號與分層細目表以及難易度分配表………...49
表 3-2-3 第一次預試第 5 題之修改………50
表 3-2-4 第一次預試第 4 題之修改...50
表 3-2-5 第一次預試第 8 題之修改………..51
表 3-2-6 第一次預試第 7 題之修改………..52
表 3-2-7 第一次預試第 2 題之修改………52
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表 3-2-8 第一次預試第 6 題之修改………53
表 3-2-9 晤談單測驗題………...55
表 3-4-1 評分標準表...58
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第壹章、緒論
本章一共分成五節，分別為「研究動機」、「研究目的」、「研究問 題」、「名詞釋義」以及「研究限制」。
第一節、研究動機
數學是一門十分有趣的學科，不只能從學校中學到，在平常的生 活上也處處都存在著數學的影子。數學的學習就如同人生一樣，人人 都有夢想，為了要達到自我夢想，可以經由不同的路徑去得到目標。
在此道路上，有不同的路口有不同的選擇，學習者可以向左、向 右甚至直行，不同的路徑會帶來不同的過程，也代表著看到不同的風 景。人生就是這樣經由不斷的選擇，嘗試不同的過程，在這過程中，
或許會發現別有洞天的美景。但數學更美妙的地方是不管選擇哪一條 路，只要路是正確的、合理的，皆能到達目標並且在越崎嶇的道路上，
越可以預期將會得到甜美的收穫。
在國中學生的求學道路上，會走過一段從具體思維邁向抽象概念 的重要階段，而代數所表現的包含抽象的概念，也是國中數學的重點，
在這階段關係著不只是國中階段而已，也對於以後高等教育學習有著 不可抹煞的重要性。例如：一元二次方程式在代數體制中有著承先啟 後的重要地位，它具有抽象的思維但至少還在二維平面上，不算是太
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困難的部份，並且具有所有的解法可供參考，基於這點，研究者認為 有必要去分析在一元二次方程式的單元中，國二學生是否掌握老師所 要傳遞的學科知識。
到底學生是否掌握此學科知識，可透過一些考試來求答案。而在 學生求學的過中，往往與考試緊密相連著，包括國二學生在學習一元 二次方程式單元時是不可否認的，在現今的教育體制下考試是檢測學 生學習成效的唯一途徑，而學科中的學習成效所包含的意義，不只是 一個數字而已，而是學生在接受教育時的吸收程度，吸收學科知識多 的學生不一定學習成效比較好，但吸收學科知識少的學生學習成效一 定比較差，並且容易將心思放在校園以外的環境中，這對於學生的學 習歷程將造成一定量的影響。但在檢測學生學習成效下，往往忽略了 學生的解題歷程。近年來已經有許多學者看重的不是評量結果，而是 學生解題的歷程，而在學生解題的歷程中，往往會受到題目表徵的干 擾，尤其是應用題，在現今的考試題目中，有些題目有附圖，有些則 否，而學生的作答在題目圖示與否是值得探討的。
研究者認為圖示具有文字上無法說明的特性，學生可經由圖示來 瞭解題目的意思，基於研究者相信人的獨特性，因此，具有圖示的題 目至少提供兩種知識傳遞的方式(1：文字表徵；2：圖文表徵)，學生 在具有圖示的題目可能會表現比較好。但有些題目卻不具有圖示，這 並不代表不需要圖示來輔助說明，而是出題者只提供一種知識傳遞的 方式，如此的出題方式會對學生造成影響嗎？有圖示、無圖示是更好
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還是更差？研究者對此看法具有高度興趣。因此研究者藉由探討題目 表徵及解題歷程之間的關聯性來預期學生在學習成效上的差異。
第二節、研究目的
一、探討國二學生在兩種不同表徵(文字題、圖文題)與紙筆測驗卷 解題結果的之關係。
二、探討國二學生在兩種不同表徵(文字題、圖文題)與數學解題歷 程結果晤談之關係。
第三節、研究問題
一、國二學生在兩種不同表徵(文字題、圖文題)於紙筆測驗卷解題之 結果之關係為何？
二、國二學生在兩種不同表徵(文字題、圖文題)與數學解題歷程結果 之關係為何？
第四節、名詞釋義
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一、兩種表徵題
Lesh ( 1987 )有題出五種表徵，包括「實物情境、具體操作物、
圖畫、口語符號以及書寫符號」，在本研究中，只用圖畫與書寫符號。
兩種表徵題係指文字題與圖文題。文字題即為一般的應用問題，只包 含文字部份。至於圖文題，它與文字題包含的文字內容是完全相同的，
但附加圖示來表示文字題中所包含的內容。
二、解題
研究者收集學生施測之後的紙筆試卷將解題分為三部分，分別為 列式、計算過程以及答案，這三步驟；第二部份為學生作答研究者所 設計的六到應用問題
三、解題歷程
本研究的解題歷程係參考 Schoenfeld ( 1985 )所提出的數學解題 歷程六階段時間序列圖(閱讀、分析、探索、計畫、驗證以及遷移) 來呈現學生的解題歷程晤談內容。
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第五節、研究限制
因研究者應用題型以及地點的不同，提供兩點限制：
一、本研究的數學題目類型為一元二次方程式的應用問題，其研究結 果並不一定適宜推論到其他類型的題目上。
二、本研究只以高雄市某一所國中的國二為樣本，其結果並不一定推 論全國所有國二學生上。
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第貳章、文獻探討
本章一共分為四節，第一節為何謂數學解題、第二節是數學解題 歷程、第三節是表徵的相關概念以及第四節一元二次方程式的相關研 究。研究者探討以上有關文獻，做為本研究的依據。
第一節、數學解題與解題歷程
國內九年一貫的數學課程目標中明定培養學生獨立思考與解決 問題的能力，其中數學課程綱要也強調問題解決就是運用個人先前以 具備的經驗、知識、技能和瞭解( 教育部，2003 )，去思索、探索、
推理，到新的或不熟悉的情境，去尋求解答的歷程。NCTM (美國數 學教師協會)在 1980 年 Agenda for Action 中認為問題解決( problem solving )必須是學校教學的重心，且於 1989 年在其出版的中小學數學 課程及其評量標準中第一項亦指出「數學即解題」( Mathematics as problem solving )( NCTM , 1989 )，認為數學教育應該培育學生數學解 題能力，使其有能力應用所學的數學知識和計算能力去解決身邊所遇 到的問題，成為數學解題者。
Lester ( 1980 )認為數學解題是指一個人面臨一種沒有算式可以 獲得答案的數學情境，而個人必須使用先前已具備的經驗、知識、技 能與瞭解，去探索、探究、推理，以滿足未能解決的陌生情境需求。
美國的 Kilpatrick ( 1985 )指出「所有的數學都是數學家們在形成
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數學問題及解題的過程中所創造出來的。」他曾以三個不同的觀點來 描述數學解題的定義：
一、心理層面
數學解題常被定義為一個情境，在此情境中，解題者想到達目標，
但通往此目標的路徑無直接到達的方式，因此而產生問題，為了解決 此一問題，於是需要尋求答案，而在尋求答案的過程中，需要用到一 些數學概念、原理及方法等，亦即把解題看成「解題者為了達到某一 目標而做的一些活動。」
二、社會─人類學的層面
把一個數學問題當作是老師給學生的一項課題，學生在接受此項 課題時與老師產生微妙的互動，師生雙方根據自己所關注的焦點，而 互相解釋對方的行動和意圖，及從自我觀點出發解釋對方的觀點。
三、數學及數學教育層面
將數學問題當作是數學建構基模的來源及數學教學的工具，亦即 透過數學解題的教學與學習，學生可以建構自己的數學知識。所以數 學解題是讓學生搭起數學鷹架的重要工具。
同樣的，國內近來數學教育改革也以數學解題為方向，現行的九
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年一貫的數學課程綱要就將「獨立思考與解決問題」列為十大基本能 力之一( 教育部，2003 )。由此可知，數學解題在數學教育占有極其 重要的地位。
數學解題是數學教育的原始目標，那麼什麼是解題？以下列出關 於解題的ㄧ些專家學者所提出的理論與見解：
認知心理學家 Piaget 把一個人從新生直到成年人的認知發展大 致分為四期：感覺運動期、前運思期、具體運思期、形式運思期。
Piaget 認知發展理論的最後一個時期是形式運思期，通常是 11 歲之後以至成人。這個時期的青少年的思維不再受限於必須以實際物 體為起點，而可以用各種抽象的形式做各種假設性的思考，同時思維 方式也更加合理化與邏輯化，而可以更加不受限制地去想像各種假設 情況下的理想狀況等等也讓他們面對這世界時，會比兒童期有著更多 的理解狀況與看法。
大抵而言，青少年進入形式運思期之後，其思維方式會有以下比 較大的明顯改變。
(一)、可以做完整的假設與推論；
(二)、可以做虛擬的命題思考。
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而現今的國中學生年齡約莫 12 歲到 15 歲已經進入 Piaget 所提出 的形式運思期，因此對於現今國中生是否到達 Piaget 所提出的形式運 思期值得我們去探討。
為了探討 Piaget 所說的(ㄧ)可以做完整的假設與推論，我們有必 要知道解題者在解題的認知過程發展，接下來，參考 Polya (1945)、
Lester (1980)、Schoenfeld (1985)等十一位學者對解題歷程的論說。論 述如下：
一、Polya 的數學解題歷程模式
Polya (1945)是最早有系統提出解題策略的學者，他在其所著「如 何解題」(How to solve it)一書中，強調解題的重要性，並將解題歷程 分為四個階段：
(一)瞭解問題(understanding the problem)；
(二)擬定計畫(devising a plan)；
(三)執行計畫(carry out the plan)；
(四)回顧答案(looking back)。
其解題歷程四階段說明如下：
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(一)瞭解問題
1.解題者必須瞭解「未知數是什麼？」、「已知數是什麼？」、「有什麼 條件？」、「要確定未知數，條件是否充足？不夠或者夠多？或者矛 盾？」。
2.劃一個圖，引入適當的符號。
3.解題者是否可寫下條件的各個部份？
(二)擬定計畫
找出原有資料和未知數之間的關係，如果找不到，要考慮如何輔 佐以去解決，解題者應該有解決問題的計畫。
1.解題者以前看過這個題目嗎？或看過類似但以不同形式表達的題 目嗎？
2.解題者知道與這個問題有關的問題嗎？知道解題可用的定理嗎？
3.注意未知數！嘗試去想一個有相同或者類似未知數的熟悉問題。
4.解題者能重述問題嗎？是否能用不同的方式來重新描述它？
5.如果解題者不能直接解這個問題，先嘗試從一些相關的問題著手。
解題相似或類比的問題？或是否能解這個問題的一部分？解題者能
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從已知的條件導出有用的結果嗎？若只保留已知條件的一部分，這樣 對於未知數能確定到什麼程度？能考慮其它已知數來決定未知數嗎？
解題者可以怎麼改變已知數與未知數？如果必要的話，兩個都改變，
則新的未知數會和已知數更接近嗎？
6.解題者使用所有的已知數了嗎？使用所有的條件了嗎？解題者是 否已經考慮過與這個問題相關的所有充要概念嗎？
(三)執行計畫
執行計畫並檢查每一個步驟。解題者能清楚地確定每一步驟都正 確嗎？解題者能證明每一步驟都正確嗎？
(四)回顧答案
1.解題者能檢驗答案或驗證解題過程嗎？
2.解題者能用不同方式導出這個結果嗎？或能將這個結果或方法應 用到別的問題嗎？
二、Lester 的數學解題歷程
Lester ( 1980 )以六階段來描述數學解題歷程，並強調這六階段是 不同但卻互相關聯的。說明如下：
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(一)察覺問題(problem awareness)
解題者所面對的情境，能瞭解解題困難的存在並察覺這是一個問 題，並且有意願解決問題。如果學生沒有意識到困難或者是沒有解題 的意願，這整個歷程是毫無意義的。此時解題者必須瞭解：
1.在問題中相關及非相關的訊息是哪些？
2.瞭解訊息間的關係嗎？瞭解所有項目的意思嗎？
(二)理解問題(problem comprehension)
此階段發生於當學生開始對這個問題產生感覺(making sense out of the problem)時。這個階段包含兩個子階段：
1.轉譯(translation)：解題者將問題所提供的資料轉換成對自己有意義、
可以理解的字句。
2.內化(internalization)：解題者提取相關訊息並分類，且判斷彼此相 關的程度。
很重要的是，在這個階段解題者會形成內在的問題表徵(an internal representation of the problem)，此表徵會隨著解題者在一步步尋找解答 的過程中，從起初的不穩定到之後的穩定性提高。
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(三)目標分析(goal analysis)
對於某些題目適合建立子目標，有些則否。而子目標的確認也包 含問題組成的部分確認，通常有助於問題理解與解題歷程發展，也便 於應用熟悉的策略與技巧。此階段解題者將訊息歸類，並做成細目，
而進而去認清問題的結構，以便更進一步去瞭解問題的成份，是否滿 足以下的條件：
1.有任何子目標可以幫助達成目標嗎？
2.這些目標有一定的次序嗎？
3.這樣的次序編排正確嗎？
4.有正確認清問題的運算條件嗎？
(四)計劃發展(plan development)
計畫發展包括了辨識更多可能性的策略。解題者擬定一個可行計 畫、清楚可行的策略，將子目標編列程序和詳細運算。解題者要能瞭 解解題進行的程序與方法，而這個階段常常是學生感到困難的部份，
因為學生常常無法去組織它們的思考以及計畫。因此解題者應注意下 列事項：
1.是否有其它的方式可以解這個問題？
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2.有更好的方法嗎？
3.是否曾經解過類似的題目？
4.這樣的計畫能達成目標或者是子目標嗎？
(五)執行計畫(plan implementation)
解題者執行擬定的解題計畫。執行錯誤的可能性會產生混淆的情 境，有時解題者會因為簡單的計算錯誤而無法找到正確的模式。因此 解題者必須注意下列的事項：
1.使用的策略正確嗎？
2.計畫的步驟順序正確嗎？還是能使用不同的順序？
(六)程序和解答評估(procedures and solution evaluation)
此階段不僅要檢查答案是否有意義，而且從目標分析到發現解答 的解題歷程做系統性的評估，此皆屬於這一階段。因此解題者應該注 意下列的事項：
1.解答是否符合問題的條件？是否具有一般性(generalization)？
2.解題者所學的是否能幫助解題者解決其它的問題？
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(三)Schoenfeld 的數學解題歷程模式
Schoenfeld ( 1985 )在解題歷程中，以控制因素的觀點，將解題歷 程區分成：1.閱讀；2.分析；3.探索；4.計畫；5.驗證；6.遷移六個階 段。他將解題歷程分為上述的六個階段，從巨觀的原案分析可以看出 解一道數學問題時，花多少時間在每一階段上，以及階段之間的轉移 情形。以下以表 2-2-1 表示之。
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表 2-2-1 Schoenfeld 解題歷程六階段細目 Schoenfeld 解題歷程六階段 解題相關問題
一、閱讀(reading)
1.注意到所有問題嗎？條件是明 顯的？或是模糊的？
2.正確了解目標狀態嗎？目標狀 態是明顯的？或是模糊的？
3.是否評估解題者現有的知識與 問題之間的關係？
二、分析(analysis)
1.選擇什麼觀點？此選擇是明確 的或者是不明確的？
2.採取的行動是否根據問題的條 件？
3.採取的行動是否朝向目標？
4.條件和目標有何關聯？
5.解題者的行動合理嗎？
三、探索(exploration)
1.本階段的問題是條件引起的？
或目標引起的？
2.所採取的行動有方向或重點 嗎？行動有目的嗎？
3.有無監控行為？監控行為的有 無對解答的結果有無影響？
4.解題者所採取的行動是否合 理？
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Schoenfeld 解題歷程六階段 解題相關問題
四、執行計畫(planning implementation)
1.是否有計畫行為？
2.計畫與解題有關係嗎？是否適 當？是否有良好的架構？
3.學生是否評估計畫的相關性、
適當性以及結構性？
4.執行時是否有依循計畫有系統 的執行？
5.是否在局部或整體層次評估執 行？
6.評估有無對結果產生影響？
五、驗證(verification)
1.解題者是否重新檢查答案 2.有無考驗解答？或有的話，將 如何考驗？
3.有無對歷程及解答評估？對結 果的信心如何？
六、遷移(transition)
1.對解題當前的狀態有無評估？
若放棄一種解題途徑，是否有利 用其中有用的部份？
2.有無評估之前放棄的解題途 徑？對解題局部或整體影響如 何？所採取的行動適當且充份 嗎？
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3.是否評估採取新解題途徑的任 何影響？或直接跳入新途徑？
4.採取新途徑有無評估所有影 響？行動是否適當且充份？
Schoenfeld ( 1985 ) 提供研究者一種呈現解題例歷程的方法，稱 六階段時間序列圖，被國內外者研究者使用。例如：李昱葳( 2015 )
圖 2-2-1 Schoenfeld ( 1985 )六階段時間序列圖
(四)、美國數學督導協會( NCSM，1977 )定義解題為運用個人已有的 知識到一個新的或不熟悉的問題過程。
(五)、Greeno ( 1987 )解題是依賴解題者記憶中，如何表徵訊息、如何 提取訊息及如何運用到問題的情境中。
(六)、Davis ( 1984 )解題是由形成問題表徵，以及對該表徵進行分析 等兩個幾乎同時發生的歷程所構成。
(七)、Kilpatrick ( 1985 )從心理學層面而言，數學解題常被定義一個情
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境，在此情境中某人想到某一目標，但直接通往此目標的路徑已經被 阻塞，因此產生問題。
(八)、黃敏晃( 1991 )解題是解題者如何把自己從困境中解脫出來的過 程。
(九)、Mayer ( 1992 )就認為「問題」有三項特徵：(一)、已知狀態：
說明已知條件或情境、(二)、目標狀態：說明欲達成的目標、(三)、
障礙：無法立即通往正確答案的阻礙。
(十)、張春興( 1993 )將問題定義在問題的情境，經由思考與推理而達 成目標的心理歷程。
(十一)、胡炳生( 1994 )在『數學解題思維方法』一書中提到所謂的解 題方法應包含三個層次的內容：
1.課本上所列的常規數學題的具體解法和技巧。如一元二次方程式求 根公式解法、幾何中做輔助線的技巧等。
2.課本上提及的但未展開的數學解題『通法』，如分析法與綜合法、
反證法、幾何問題解析證法等。
3.解題的一般思考原則和總策略，及熟悉化原則、簡單化原則、多樣 化原則及規劃策略。
綜合上述的學者所下的定義，解題的過程就是將題目所給予的狀 態經由我們所內化的先備知識去引導出正確答案的過程。
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第二節、表徵的相關研究
一、表徵的意義
「表徵」( representation )是認知心理學的研究領域中相當重要的 概念，因為認知心理學研究的重點在探討人類如何將原始訊息經由表 徵歷程的轉換後，將資訊儲存於記憶中，又如何於需要時取回使用（張 春興，1988)更進一步瞭解人類如何知道它所處的環境，並以某種形 式來代表它所知道的事物（游自達，1995）。
表徵具有兩種意義，一是代表和傳遞某種訊息，二是代表內在的 心理結構。就問題解決的層次而論，好的表徵有助於問題解決，而不 當的表徵則會妨礙問題的解決。因此問題表徵適當與否，將會影響數 學問題的解題成功與否。
因為表徵是一個相當重要的概念，各學者對於「表徵」的定義也 有不同的定義，在心理學上，表徵指的是「將外在現實世界的事物以 另一種較為抽象或符號化的形式來代表的歷程」或「訊息處理過程中，
將訊息經譯碼( coding )後，轉換成另一種型式，以便儲存或表達的歷 程」（張春興，1988 ）。在數學認知心理學上，所謂「表徵」系指物 體以及他們之間關係的符號描述（蕭龍生，1993 ）。
此外，「表徵」與數學學習關係密切的另一因素，便是「多義性」。 所謂的表徵「多義性」是指同一數學知識或概念均可用多種不同的形
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式加以表徵，原有的數學概念並不受外在表徵型式的變化所影響，例 如：「一」、「1」、「壹」、「one」雖是不同的表徵符號，但卻代表著相 同的數學概念。
二、表徵的分類
Bruner ( 1966 )認為透過「動作表徵」、「形象表徵」及「符號表 徵」等三種表徵的方式，兒童可以從過去的經驗提取保留下來的經驗 模型，以認識當前的刺激或將當前的刺激收納至過去的經驗模型。動 作表徵只靠動作認識外界的刺激，以動作、操弄等方式對於外在環境 的認識，尤其當某種知識很難藉由文字、語言、圖表進行教學時通常 需要藉由動作表徵為之，例如：單位分數內容物多寡的問題，若能經 由實際的做數活動應能讓學生更清楚瞭解。
形象表徵則是以記憶中的心向做為運思的材料，它是以經濟有效 的方式管理知覺組織，將它有系統的納入過去經驗模型，例如：學生 經由過去所學的一元二次方程式觀念套用在一元二次方程式上，並且 有系統的做取捨。符號表徵則是以抽象的文字符號進行運思，例如：
將未知數用 𝑥 來取代運算中的未知元素。事實上，符號本身是一種人 為的、抽象的、規約化的文化產物，若欲流暢的使用符號得必須先經 過社會化學習。
除了形式化的數學符號之外，有一些非型式化的表徵也可做為幫
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助數學思考的工具，Lesh , Post 和 Behr ( 1987 )用溝通的觀點描述了 五種表徵的類別，包括實物情境(real─world situations)、具體操作物 (manipulative aids)、圖畫(pictures)、口語符號(spoken symbols)、以及 書寫符號(written symbols)。
圖 2-3-1 表徵系統互動模式
Lesh 等人( 1987 )強調此表徵系統互動模式不僅五個元素都很 重要，表徵之間的轉譯和同一個表徵內的轉化亦同等重要。換言之，
不只構成的元素重要，元素與元素間的動態關係亦至為重要。
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表徵系統互動模式的五種表徵雖然都是可以讓外人察覺，但蔣治 邦( 1994 )認為圖像和符號的運思是內隱活動，在評估時需要透過「再 次呈現」才能溝通。換言之，將這兩種表徵都必須在教學者的要求下，
學習者才可能利用再表現的方式呈現出來。
因為表徵具有「多義性」的性質，在數學活動中，表徵扮演著兩 種角色：運思的材料與溝通的媒介，所以表徵是個體運思與溝通的重 要工具。而關於表徵的研究相當多，多位學者( Bruner , 1964；Lesh , 1987；Kaput, 1987)分別依三種不同的角度：運思的材料、溝通的媒 介及認知的歷程將其分類，綜合以上學者們的想法，可以將以上三大 類的表徵型式整理如下表 2-3-1。
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表 2-3-1 三大類的表徵型式 不同的分類者 由「運思的材
料」分類
由「溝通的媒介 分類」
由「認知的歷 程」分類 分類者 Bruner( 1964 )
Lesh、Post &
Behr( 1987 )
Kaput( 1987 )
分類方式
1.動作的
2.圖像的
3.符號的
1.實務情境
2.具體操作物
3.圖畫
4.口語符號
5.書寫符號
1.認知與知覺 的表徵 2.解釋性的表
徵 3.數學內的表
徵 4.外在符號的
表徵
(楊敦州，2004，頁 9)
另外有研究（陸正威、王惠豐，1999 ）指出高解題能力者，是 由語言表徵轉換到意像表徵(如圖形、心像)，才轉換成型式(符號) 表徵。至於低解題能力者，由於無法順利將語言轉化為意像，所以無 法引發更高層的解題思維，影響了解題的能力。涂金堂( 2002 )也指 出解題者對於數學文字題所產生的問題表徵品質，會影響解題成功的 與否。
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三、不同題目表徵之間的差異
由於表徵是運思的材料，若能透過不同題目表徵型式的輔助，幫 助學生理解問題描述，改善學生解題時的工作記憶負荷，對其解題表 現將有所助益（ Juhani , 1995 ）。於是將表徵分為圖像表徵、符號(文 字)表徵兩方面，因此就圖像表徵、符號(文字)表徵的差異做探討。
圖示法是外在表徵最常被應用的策略（杜佳貞，1999 ）。有些學 者認為圖示具有整體性與具體性，可以幫助學生形成恰當的表徵，豐 富 其 數 學 概 念 ， 增 進 解 題 表 現 ( Bishop , 1989 ； Webb &
Sherrill ,1974 )。
對概念學習而言，圖形通常蘊含大量訊息與概念內容，另具描繪 與事物有關的空間及視覺特性、整合與補充課文內容……等性質，換 言之，圖形表徵為協助學生從教材中快速了解及建構的有效工具，反 觀口語訊息則較難說明概念的整理架構，需用複雜與大量語法或文字 方能詳盡說明。
對教學而言，雖然圖形表徵具有上述的優點，但使用之際需考量 學生的認知負荷，以免使用不當造成干擾或誤導，加上目前許多教科 書並非極力極度重視文本內圖形的呈現( Schnotz & Bannert , 2003)，
因此圖形表徵的使用雖具提升教學成效的潛力，但若使用不當亦可能 出現反效果。蔡興國、陳錦章和張惠博( 2010 )亦指出若學生對於抽
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象圖像表徵的學習有困難，應鼓勵學生退回圖像表徵，充分瞭解情境 之後，在進入抽象圖像表徵。
然而 Clement ( 1981 )認為圖示法對於學生在形成有效的問題表 徵上是無助益的，甚至會造成學生概念抽象化的困難。以下就「訊息 呈現」與「訊息解讀」兩方面來比較：
（一）、訊息呈現方面：
使用圖畫型式加上簡單的文字說明，在訊息的傳達上較為精煉，
容易引發學生的解題興趣。相反的，文字型式在訊息的傳達上就較為 繁雜，或許因此造成學生在閱讀理解上的困難(張欣怡，1997 )。
（二）、訊息解讀方面：
個體讀取文字訊息時，必須從頭開始閱讀與搜尋相關的訊息，然 後儲存於記憶中，之後周而復始的搜尋下一個訊息，直到解題需要的 訊息都到齊為止。反之，在圖畫題中，通常找第一個資訊，解題者就 容易在鄰近的地方搜尋到其他所需要的訊息資料 (Larkin & Simon , 1987 )。
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表 2-3-2 文字與圖畫表徵的差異 表徵型
式 文字 圖畫
差異性
1.需要較多的說明，因此 內容較繁多。
2.可使用單一表徵方式 (文字)來呈現訊息。
3.關係是隱示的。
4.訊息間的連結是較不 緊密的，即下一個資訊 並非儲存在下一個敘述 中。
1.訊息表較為精煉，因此內容 較為簡單明瞭。
2.可以利用各種符號表徵方 式，如圖畫和符號，來呈現訊 息。
3.關係是明確的。
4.資訊間的連結較為緊密，即 下一個資訊可能儲存於鄰近 的位置。
(邱欣慧，2008，頁 26)
因此有學者( Moyer et al., 1984 )認為圖像表徵在數學的學習上 優點如下。
（一）、減少與閱讀有關的工作記憶。
（二）、幫助學生回憶類似記憶，建立適當的問題表徵。
（三）、鼓勵學生投入理解題意。
（四）、使曖昧不明的題意更明確，彌補文字資料的不足。
而在文字題部份，Wagner ( 1981a )於第五屆數學教育心理學會 ( PME )中提出一個探究學生對於「文字符號」概念理解的分析架構，
他認為文字符號在數學中有許多使用方式，依據它們出現的情境和所 指的元素，有不同的名稱(如未知數、一般數、不定數、常數等)。
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在數學文字符號中，符號和指示對象決定其語意角色；而符號和 情 境 決 定 其 語 法 角 色 。 陳 彥 廷 與 柳 賢 ( 2009 ) 依 此 觀 點 並 綜 合 Kuchemann ( 1981 )與九年一貫課程綱要，建構一個七年級代數式 中文字符號語意、情境的架構。架構中，文字符號的語意角色包括「特 定數」、「特定未知數」與「一般數」三個類別；而文字符號的情境則 分為「多項式」與「方程式」兩個類別，每一類別下又分為「一元一 次式」與「二元一次式」等子類別，而每一個子類別下又有「列式」、
「單一運算」、「混合運算」以及「代換」等細項。
郭汾派、林光賢與林福來（1989）指出，文字符號在代數解方程 式、應用題等題材上都需被使用，是重要的數學概念。而美國數學教 師協會（The National Council of Teachers of Mathematics [ NCTM ], 2000）在《學校數學課程與評鑑標準》亦將對文字符號的理解，作為 5〜8 年級的數學教學目標。可見，文字符號在代數的學習佔有重要 的地位。
Collis（1975）將學生對文字符號的理解分為「視文字符號為一 個數字」、「視文字符號忽略不用」、「視文字符號為一個物件」、「視文 字符號為一個特定的未知數」、「視文字符號為一般數」以及「視文字 符號為一個變數」等六個類別。八十年代起，CSMS 團隊依據 Collis
（1975）的研究，探討英國青少年對代數文字符號的理解（Booth , 1984 ; Hart , 1980 ; Kuchemann , 1981）。他們發現，13 歲與 15 歲學生 的表現並不理想。
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學者（Booth , 1988 ）陸續針對學生的錯誤概念提出報告。例 如，學生會將文字符號當成具體實物或具體實物的標記（NCTM , 1981)；
固著於文字符號的刻板性用法，不能隨著文字符號名稱改變，而作適 應性解題。因此，他們認為替換不同的文字符號，會改變整個題意，
而必須用完全不同的方法作答（Ernest , 2006 )。
Clement , Lochhead 與 Monk( 1981 )也發現，學生會混淆代表 實物的文字符號和代表實物數值的文字符號。可見，學生對文字符號 的學習產生許多困難。
在國內，Booth 於 1987 年往國內台灣師範大學演講後，郭汾派、
林光賢與林福來（1989）即修訂 CSMS 團隊所編製的試題進行本土的 研究。研究指出，學生在文字符號單元容易出現錯誤。
而其他學位論文（方吉雄，2001；袁媛，1993；許正諭，2005；
陳慧珍，2001；廖福彥，2002；謝和秀，2001；謝宜玲，2003；羅榮 福，2003）也呼應郭汾派等（1989）與洪有情（2005）的發現。
綜合這些文獻發現，學生對於文字符號會產生「混淆代表實物的 文字符號和代表實物數值的文字符號」、「將文字符號當成未知數、某 數或任意數」的另有概念（謝宜玲，2003；Clement , Narode & Resnick , 1981）。
此外，相關研究從運算角度也發現，隨著（□→ x、y）的符號逐
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漸複雜，及題目的情境含有較大的數值，則學生的通過率會隨之降低
（郭汾派、林光賢與林福來，1989；Carpenter , Lindqist , Silver , Lester
& Garofalo , 1982）。而許正諭( 2005 )認為學生也常發生下列情形：
（一）、運算結果表達不當。
（二）、加、乘算混淆或係數和指數錯置。
（三）、錯誤類比推廣。
（四）、公因子迷思等運算上的問題。
可見文字符號不僅在數學課程的銜接上具重要地位，學生也在學 習過程中出現許多困難。
若問題的陳述內容與學生的經驗有關係，將有助於訊息的提取，
減少工作記憶負荷，幫助學生在文字題的解題表現。然而，若文字題 的問題長度過長，包含了較多的訊息待處理，會增加解題者在工作記 憶的負擔( Barnett , 1984 & 林文生，1996 )，減慢解題速度或增強解 題難度。
其實，每一個表徵的系統皆不相同，因為他們強調或不強調不同 方面的概念重點及建構。他們在處理相關概念、資料簡化、即在不同 情境下的精簡皆不相同。舉例來說，有些圖形值一千字，有些語言則 簡潔與更有效率( Lesh , Landau &Hamilton , 1983 )。因此，學生在面
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對圖像表徵、符號(文字)表徵兩種不同表徵系統時，其解題概念運用 及解題歷程的差異，是值得探討的問題。
第三節、一元二次方程式的相關研究
一元二次方程式在代數課程佔有相當重要的地位，延續七年級方 程式的概念，擴張至多項式的概念、勾股定理與方根的運算、因式分 解，最後以解一元二次方程式做結束，完成國中階段的代數主題。乘 法公式、商高定理以及一元二次方程式分別屬於代數主題中的幾何代 數量、數量樣式，規律，解方程式等之高階關係(系統化)。這些概念 的瞭解需要仰賴文字符號概念、一次式、解一元一次方程式、等量公 理、平方根、數量樣式、幾何量等概念的瞭解。
相關的「一元二次方程式」單元學習，被安排在國中二年級課程中，
詳細的分年細目表，如表 2-4-1 所列；
表 2-4-1 八年級分年細目表
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8-a-01 能熟練二次式的乘法公式。
8-a-02 能理解簡單根式的化簡以及有理化。
8-a-03 能認識多項式及相關名詞。
8-a-04 能熟練多項式的加、減、乘、除四則運算。
8-a-05 能理解畢式定理(Pythagorean Theorem)及其 應用。
8-a-06 能理解二次多項式因式分解的意義。
8-a-07 能利用提公因式法分解二次多項式。
8-a-08 能利用乘法公式與十字交乘法做因式分解。
8-a-09 能在具體情境中認識一元二次方程式，並且理 解其解的意義。
8-a-10 能利用因式分解來解一元二次方程式。
8-a-11 能利用配方法解一元二次方程式。
8-a-12 能利用一元二次方程式解應用問題。
李盈賢( 2006 )針對高雄市某國中二年級學生，進行「一元二次方 程式」的迷思概念的類型及成因的探討分析，發現在「一元二次方程 式」迷思概念內容如下：(一)因式分解解一元二次方程式的基本原理 不清楚；(二)不了解應用問題題意而無法列出算式；(三)完全平方式 的求法不清楚；(四)一元二次方程式定義不清楚；(五)因式分解解一 元二次方程式不熟悉；(六)配方法解一元二次方程式觀念不清楚；(七) 無法正確用判別式判斷一元二次方程式是否有解；(八)求值式計算錯 誤。
而在「一元二次方程式」迷思概念成因內容如下：(一)基本觀念 建立不夠扎實；(二)學生對文字理解觀念太弱；(三)基本四則運算的 能力不夠；(四)太偏重記憶而缺乏理解。
林美娟( 2010 )將學生所犯的錯誤答案以及錯誤觀念、統整後的類 行為：
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1.一元二次方程式的認識與解的概念 (1)一元二次方程式判別錯誤
(2)方程式的解或根一定能滿足方程式的應用不熟悉 2.因式分解法解一元二次方程式
(1)因式分解一元二次方程式的基本原理不清楚 (2)十字交乘分解錯誤
(3)當成多項式的因式分解
(4)等量除法公理使用錯誤造成少一個解 (5)乘法公式混淆、遺漏或遺忘
3.配方法解一元二次方程式 (1)平方根的觀念錯誤
(2)完全平方式的判斷與運用錯誤
(3)忽略等量加法公理或等量加法公理的觀念錯誤 (4)配方法解一元二次方程式步驟或原理不清楚 4.公式解解一元二次方程式
(1)判別式計算錯誤 (2)公式解的公式背錯 (3)公式解的係數寫錯
(4)無法使用判別式判斷一元二次方程式是否有解 (5)不瞭解應用問題題意而無法列出算式
(6)無法判斷答案是否合理
由於一元二次方程式在國中階段是代數的結尾部份，因此研究者
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往前回歸到文字符號的相關關係以及方程式的概念，提供讀者在看本 文獻時，能瞭解一元二次方程式的演進。
一、文字符號的相關認知
文字符號的使用，代表學生進入代數的學習。而代數語言在不同 時期有不同表徵，而有不同意義( 陳維民，1998 )。因此要去研究文 字符號就要去研究代數的歷史演進。
根據代數演進的研究，可將文字符號的演進發展史分為三階段：
（一）、文辭代數：
約在西元 250 年以前的這個時期，人類只能用口語形式的自然語 言來表達特定方程式的使用，並無符號與特殊記號來表示未知數。
（二）、簡單代數：
到西元 250 年，古希臘數學家 Diophantus 提出運算符號之後，
人們開始嘗試一些簡單的符號以及文字來代表未知數，但是只會求特 定方程式的解，並無法提出一般方程式的通用公式解。
（三）、符號代數：
Vieta ( 1549─1603 )提出以符號來表示某一給定但未知的數，
此階段的代數方程式係數，能以文字符號表示且也能夠具有一般數字
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中的算則去演算，而能求出方程式的一般解。
對數學中的文字符號，Collis ( 1975 )從學生觀點出發將文字符 號概念，分成六種不同的使用層次：
1、文字符號可輕易推導出的值：如：x + 3 = 4中的x = 1 。
2、文字符號可省略不用：指文字符號雖然出現在題目中，但在解題 過程中不影響計算結果，如：x + y = 43，x + y + 2 = 43 + 2，在此 例子中，前後兩式只在後段「+2」有所不同，因此 用 43 代替相
同的值而可以直接求出x + y + 2 的答案為 45。
3、文字符號當做事件：即文字符號為代表物的簡寫或註記，如：a 代表某一多邊其中一邊的長度的量而不是單純數字。
4、文字符號當做題目給定的未知數：如：一多邊形有 n 邊，而且每 一邊長為 3，於是得到周長為 3n。這是可以直接運算。
5、文字符號當做可量化的數字：文字符號代表一組數而非單一數值 如：c 是代表小於 5 的數。
6、文字符號當做變數：即文字符號代表一未定的數值，如：比較 n 與 2 的大小。
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由上述 Collis 的分類，前三者的描述文字符號的使用，停留在具 體層次。而後三者的分類，則過渡到抽象的思考模式。在方程式的概 念學習，若學生對文字認知，只是停留在具體階段，固然可以解決一 些簡單問題，不過若欲到結構較為複雜的問題時，則往往沒有辦法適 當的使用文字符號，因此形成了解題的難度與概念的迷思。
Wanger ( 1981 )研究，改變方程式及函數中的文字符號名稱，
對學生具有影響的情節。他發現許多學生固著於所命名的文字符號，
刻版的用法。當原有的文字符號一被改變時，甚至認為整個題意完全 改變，以致影響解題的能力。由此可知學生並沒有完全瞭解文字符號 在問題中所代表的意義。
Booth ( 1984 )發現：學生在解代數題時，對於文字符號的定義 及 運 算 都 有 困 難 。 學 生 通 常 將 兩 個 未 知 數 合 併 起 來 ( 例 如
)，或去掉括號。
Steinberg , Sleeman 和 Ktorza ( 1990 )指出：在學習代數時，
很多學生並未有正確的等價概念。多數學生學習到的是如何運用轉換 來解方程式，但卻不知道方程式可用來判定兩者是否等價。
上述的學者都將重點擺在代數，接下來研究者將藉由學者們的概 念只討論細化過後的方程式部份。
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二、方程式
代數的另一核心就是方程式。方程式的定義如下：方程式是斷定 兩個表示式具有相同值的公式，它可以是恆等方程式 ( identical equation 通常稱衡等式 identity )，對於任何給定的變量都成立。也可 以是條件方程( conditional equation )，僅對於變量的取一定的值(方 程式的根，root )才成立。在上述定義中提到的方程式的根(解)是不 同表徵式中的一種共同關係，以式子而言，即滿足的數(數學辭典，
1999 )。
笛卡兒( Descartes )這位十七世紀法國偉大的哲學家、數學家，
解析幾何的創始人說過：「一切的問題都可以轉換為數學問題，一切 的數學問題都可以轉換成代數問題，一切代數問題都可以轉換成為方 程式，一切問題均將迎刃而解。」，也就是說以問題解決與數學的角 度來看，方程式在代數學的領域中扮演著重要的角色( Polya , 1945 )。
Clement , Lochhead 和 Monk ( 1981 )指出：有很大比例主修 科學的學生，甚至無法將簡單的句子轉換成方程式。學生解題之所以 出現錯誤多半是在將文字轉換成方程式所產生，而非是簡單代數技能 或簡單的比例問題。
Wollman ( 1981 )對 Clement 等人的研究工作做進一步研究，發
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現造成這些轉譯錯誤的原因有下列幾點：
（一）、做得太快。
（二）、列完方程式沒有立即檢驗。
（三）、未根據題目的意思列式。
（四）、未使用文字符號來列式。
三、配方法
謝佳叡 ( 2000 )的研究指出從學生對於方程式中如果有未知系 數時，便顯得困難來看，對於公式解的推導，宜再謹慎思考適合學生 學習的教學方法。在配方法的教學上，在配成完全平方的教學內容上 特別強化概念性教學，至使學生在較一般化或有變化的題目中犯錯較 少的現象來看，對於配方法的學習不宜太快進入程序性教學，宜適度 的強化概念性教學。
陳志全 ( 2005 )針對國二學生在「用配方法解一元二次方程式」
之錯誤類型、犯錯原因。結論如下：發現在「配方法解一元二次方程 式」的錯誤類型內容如下：(一)方程式與多項式定義用法混淆不清；
(二)無等價概念以致扭曲等量公理的運用；(三)無法配出適合及完全 正確的完全平方式；(四)分數、根式、整數、文字符號個別及相互間 的化簡及平方錯誤；(五)正負符號的誤置或忽略遺漏；(六)開根號與 等量公理移項法則的順序錯置；(七)無法從圖形文字符號方程式作適 切的轉換與聯結；(八)建立一個無法完成配方法的步驟。
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而在「配方法去解一元二次方程式」的錯誤原因內容如下：(一) 前備的知識不足；(二)舊的學習經驗和新的學習經驗相互干擾；(三) 沒有正確的使用運算規則；(四)忽略了題目給予的條件或答案的完整 性；(五)無法瞭解題目的敘述；(六)受到不同表徵題目的影響而無法 做出正確判斷。
四、因式分解
對於因式分解的定義，大多大同小異。以下列舉幾位專家學者對 於因式分解所下的註解：
呂溪木( 1983 )在「數系與因式分解」中對因式分解的定義如下：
多項式的因式分解就是將一個多項式寫成其質因數的連乘積，而質因 數應至少為一次多項式。
根據九十六年學年度各版本教科書數學課本第三冊對於因式分 解的定義如下：(一)南一版：將一個𝑥的二次式寫成兩個一次式的乘 積就將這叫做二次式的因式分解；(二)康軒版：將一個𝑥的二次式寫 成兩個一次式的乘積，稱之為二次式的因式分解；(三)翰林版：將一 個多項式寫成兩個或兩個以上多項式的乘積，就稱為該將多項式因式 分解。
上述的幾位學者對於因式分解都是以多項式當做出發點，而研究 者所做的一元二次方程式的因式分解，與上述學者的定義相同，只差
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在於研究者所做的討論是具有等式的方程式，而方程式的因式分解與 多項式的因式分解幾乎是相同的，差異只是於將方程式做因式分解之 後，必須多加瞭解到任何非 0 的數相乘皆不為 0，只要加上這個概念 與上述學者們對於多項式因式分解的定義，則可稱為方程式的因式分 解。
五、十字交乘法
因式分解的解題方式共有相當多的方法，但大致上可分為以下四 種，研究者將一一介紹，其中第四種方式為十字交乘法，為了與上述 的因式分解做個連接，研究者一併連其餘三種方法介紹。
(一)提出公因式：一多項式中各項均含有相同的因數時，採用提公因 式法。
(二)分組分解：一多項式中雖然各項沒有相同的因式，但經過分組分 解之後，組與組之間又有相同的因式時，採用分組分解法。分組分解 法大致分為三步驟：1.將原式的各項作適當分組。2.分別提出每組的 公因式。3.將經過處理後的每一組當作一項，在將各項提出公因式。
(三)利用乘法公式：運用之前所習得的乘法公式，若有多項式符合其 公式形式，則直接套用公式進而達到因式分解的目的。
1.利用平方差公式： 𝑎2− 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)
多項式符合𝑎2− 𝑏2的形式，則將多項式化為(𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)的形式。
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2.利用平方和公式：(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
多項式符合𝑎2+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2的形式，則將多項式化為(𝑎 + 𝑏)2的形式。
3.利用平方差公式：(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2− 2𝑎𝑏 + 𝑏2
多項式符合𝑎2− 2𝑎𝑏 + 𝑏2的形式，則將多項式化為(𝑎 − 𝑏)2的形式。
4.十字交乘法：十字交乘法大多運用在二次多項式上，且各項系數為 整數者。使用的前提是假設二次多項式是由兩個一次多項式乘積而來，
在運用多項式直式乘法檢驗假設的兩個一次多項式的乘積是否符合 原多項式。
六、判別式
設 方 程 式 為 ， 屬 於 實 數 ， 則 稱
為判別式(discriminant of quadratic equation)。
著名科學家牛頓(1642─1727)在其《普遍的算數》中指出，判別 式之等於 0，大於 0 及小於 0 分別表示，該方程式具有等根、實根和 虛根。判別式是一元二次方程式中重要的算式，因為其決定了方程式 解的形式，也是使用公式解方程式時第一步必須要求出的算式，由判 別式出發可以討論高次方程式解的形式，進而引出近代代數的產生。
所以判別式在一元二次方程式中扮演的角色相當重要。
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七、公式解
巴比倫留下的陶片顯示，在大約公元前 2000 年，古巴比倫的數 學家就能解一元二次方程式。在大約公元前 480 年，中國人已經使用 配方法求得二次方程的正根，但是並沒有提出通用的解題公式。公元 前 300 年左右，歐幾里得提出了一種更為抽象的的幾何法求解二次方 程。7 世紀印度的 Brahmagupta 是第一位懂得使用代數方程，它同時 容許有正負數根。11 世紀阿拉伯的花拉子密獨立地發展出一套公式 以求方程的正整數解。亞伯拉罕‧巴希亞在他的著作 Liber embadorum 中，首次將完整的一元二次方程式解法傳入歐洲。
據說施里德哈勒是最早給出二次方程的普通解法的數學家之一。
但這一點在他的時代存在著爭議，這個求解的規則是(引自婆什迦羅 第二)：
在方程的兩邊同時乘以二次項未知數的係數的四倍；在方程的兩 邊同時加上一次項未知數的係數的平方；然後在方程的兩邊同時開二 次方。
例如：解關於 x 的方程
在方程的兩邊同時乘以二次項未知數的係數的四倍，即 4a，得
，在方程的兩邊同時加上一次項未知數的係數
的平方，即𝑏2，得 ，然後在方程的兩
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邊同時開二次方，得 ，接下來經由移項法
則以及除上 2a，則可得到公式解𝑥 = −𝑏±√𝑏2𝑎2−4𝑎𝑐。
在第三節裡，解一元二次方程式的方式有上述這五種。另外，因 以上第二章所述的文獻探討解題、表徵，研究者很有興趣去探討「一 元二次方程式」以及兩種「表徵」的解題有何異同。
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第參章、研究方法與設計
本章共分為四節：研究對象、研究工具、研究流程、資料收集與 分析。期對本研究的預試作完整的說明。
第一節、研究對象
在本研究中研究對象無論是預試、正式施測及訪談對象均為國二 學生。
一、表徵測驗卷實施 (一)、預試研究對象：
第一次預試對象以台中市立某中學二年級共 28 位學生。第二次 預試對象為高雄市立某中學二年級共 29 位學生。
(二)、正式研究對象：
以高雄市立某國中二年級某兩班的學生為正式研究對象，施測之 前與導師做規劃。學生共 43 位(20 位圖文題；23 位文字題)
二、晤談的執行：
研究者與班級老師討論之後，班級老師將願意配合以及口語表達
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佳的學生選出，因此，只選出六位學生當作正式晤談對象。
(一)預試訪談組共一位男生，名為小元，是國中二年級的學生。
(二)正式訪談組共六名女生，分別是小婷、小雅、小莉、小羽、小柔 還有小盈。
研究對象剛好男生為預試組，而女生為正式組，實屬巧合，而非 研究者所預設的立場。
正式研究對象：採取上學期的三次月考的數學成績，以第一名文 字題、第二名圖文題、第三名文字題…以此類推的方式去分配考卷。
第二節、研究工具
研究工具這兩份皆是一元二次方程式表徵測驗卷：文字題紙筆試 卷、圖文題紙筆試卷。除了收集紙筆資料，更有收集大綱及題目一個、
晤談資料。
一、正式施測工具(紙筆)
研究者參考九年一貫綱要及討論後，再設計一元二次方程式測驗卷，
並考慮兩個版本；文字題以及圖文題。每分卷共 6 題，而圖文題配對 的文字題，是題意相同卻沒有附圖，也不影響作答，以下是經 2 次預 試以及討論修改才定稿的測驗卷。
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表 3-2-1 正式施測文字題與圖文題題目
文字題 圖文題
第一題
1. 用 100 公尺的鐵絲 網去圍成面積是 800 平 方公尺的長方形菜圃，此 菜 圃 的 一 側 長 邊 是 河 堤，不用鐵絲網去圍，並 且完全圍完 100 公尺，設 所圍成長方形的短邊長 度為 x 公尺，則 x 值為 ______。
1. 用 100 公尺的鐵絲 網去圍成面積是 800 平 方公尺的長方形菜圃，此 菜 圃 的 一 側 長 邊 是 河 堤，不用鐵絲網去圍，並 且完全圍完 100 公尺，設 所圍成長方形的短邊長 度為 x 公尺，則 x 值為 ______。
第二題
2. 有一個長 40 公尺、
寬 30 公尺的長方形花 圃。為方便遊客欣賞，想 要開闢兩條兩邊與長寬 平行且相交成十字型的 等寬通路。但希望剩下種 植花卉的面積為 935 平方 公尺，則所開闢通路的寬 度為 公尺。請用"
配方法”做答。
2. 有一個長 40 公尺、
寬 30 公尺的長方形花 圃。為方便遊客欣賞，想 要開闢兩條兩邊與長寬 平行且相交成十字型的 等寬通路。但希望剩下種 植花卉的面積為 935 平方 公尺，則所開闢通路的寬 度為 公尺。請用"
配 方 法 " 做 答 。
第三題
3. 若將正方形的其中 一邊加上 √𝟐𝟏公尺後，所 形 成 的 長方 形面 積 為 𝟏 平方公尺，則原正方形的 邊長為多少公尺？
3. 若將正方形的其中 一邊加上 √𝟐𝟏公尺後，所 形 成 的 長方 形 面積 為 𝟏 平方公尺，則原正方形的 邊長為多少公尺
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文字題 圖文題
第四題
4. 有 一 長 方 形 土 地 的 長、寬比為 3：2，今從此 長方形的長邊 4 公尺處垂 直向下劃，直到另一長 邊，開闢成走道，而走道 之外的新長方形開闢成 花圃。若花圃的面積為 520 平方公尺，試問原長 方形土地的周長為多少 公尺？
4. 有 一 長 方 形 土 地 的 長、寬比為 3：2，今從此 長方形的長邊 4 公尺處垂 直向下劃，直到另一長 邊，此新的長方形開闢成 花圃。若花圃的面積為 520 平方公尺，試問原長 方形土地的周長為多少 公尺？
第五題
5. 有 一 大 圓 以 及 一 小 圓，將其圓心重疊形成一 同心圓，今將大圓內部扣 除 小 圓 部 份 命 名 為 環 形，此環形的寬是 2 公 分。若環形的面積與小圓 的面積相等，則小圓的半 徑是 。
5. 有 一 大 圓 以 及 一 小 圓，將其圓心重疊形成一 同心圓，今將大圓內部扣 除 小 圓 部 份 命 名 為 環 形，此環形的寬是 2 公 分。若環形的面積與小圓 的面積相等，則小圓的半 徑是 。
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文字題 圖文題
第六題
6. 假 設 t ＝ 人體的下半身長
人體的身高 ，其中 下半身長是由腳底至肚 臍的長度。而當 t 滿足 t：1＝1：( t＋1 ) 時，
人的外表比例是最美麗 的。已知小美的身高是 162 公分，其下半身與身 高的比值為 0.6，則她應 穿幾公分的高跟鞋，才能 使身材比例最美觀？( 請 以四捨五入法取近似值 至 整 數 ， 其 中 5 ≒ 2.236 )
6. 假 設 t ＝ 人體的下半身長
人體的身高 ，其中 下半身長是由腳底至肚 臍的長度。而當 t 滿足 t：1＝1：( t＋1 ) 時，
人的外表比例是最美麗 的。已知小美的身高是 162 公分，其下半身與身 高的比值為 0.6，則她應 穿幾公分的高跟鞋，才能 使身材比例最美觀？( 請 以四捨五入法取近似值 至 整 數 ， 其 中 5 ≒ 2.236 )
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表 3-2-2 題號與分層細目表以及難易度分配表
第 1 題 第 2 題 第 3 題 第 4 題 第 5 題 第 6 題 8-a-06
能理解二次多項式 因式分解的意義
𝘷 𝘷 𝘷 𝘷 𝘷 𝘷 8-a-07
能利用提公因式法 分解二次多項式
𝘷 𝘷 𝘷
8-a-08
能利用乘法公式與 十字交乘法做因式 分解
𝘷 𝘷
8-a-09
能在具體情境中認 識一元二次方程 式，並理解其解題 意義
𝘷 𝘷 𝘷 𝘷 𝘷 𝘷
8-a-10
能利用因式分解來 解一元二次方程式
𝘷 𝘷
8-a-11
能利用配方法解一 元二次方程式
𝘷 𝘷
8-a-12
能力應二次方程式 解應用問題
𝘷 𝘷 𝘷 𝘷 𝘷 𝘷
難度
易 𝘷 𝘷
中 𝘷 𝘷 𝘷
難 𝘷
二、修改過程
研究者在工具的設計，有經指導教授及中學老師商討修正，包括共兩 次預試，兩次的題目及修改關係如下表。
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表 3-2-3 第一次預試第 5 題之修改
第一次預試第 5 題 第二次預試第 1 題 5. 用 100 m 的鐵絲網去圍成面
積是 800 m2的長方形菜圃，此菜 圃的一側長邊是河堤，不必再用 鐵絲網去圍並且圍完 100 m，設 所圍成長方形的短邊長為x m，
則x值為______。
1. 用 100 公尺的鐵絲網去圍成 面積是 800 平方公尺的長方形菜 圃，此菜圃的一側長邊是河堤，不 用鐵絲網去圍，並且完全圍完 100 公尺，設所圍成長方形的短邊長度 為x 公尺，則x值為______。
第 5 題修改之處：研究者經由光華國中彭祥雲老師以及梁淑坤指導老 師討論之後，怕學生認為 m 也是一個變數，因此將 m 改為公尺；以及 將”不必再用鐵絲網去為並且圍完 100m”更改其語句，以達到更為 順暢的語句，最後考量短邊長可能與長邊與短邊弄錯意思，因此更改 為短邊長度。
表 3-2-4 第一次預試第 4 題之修改
第一次預試第 4 題 第二次預試第 2 題 4. 有一個長 40 公尺、寬 30 公
尺的長方形花圃。為方便遊客欣 賞，想要開闢兩條等寬且相交成 十字型的通路。但希望剩下種植 花卉的面積為 936 平方公尺，則
2. 有一個長 40 公尺、寬 30 公 尺的長方形花圃。為方便遊客欣 賞，想要開闢兩條兩邊與長寬平 行且相交成十字型的等寬通路。
但希望剩下種植花卉的面積為
