一、表徵的意義
「表徵」( representation )是認知心理學的研究領域中相當重要的 概念，因為認知心理學研究的重點在探討人類如何將原始訊息經由表 徵歷程的轉換後，將資訊儲存於記憶中，又如何於需要時取回使用（張 春興，1988)更進一步瞭解人類如何知道它所處的環境，並以某種形 式來代表它所知道的事物（游自達，1995）。
表徵具有兩種意義，一是代表和傳遞某種訊息，二是代表內在的 心理結構。就問題解決的層次而論，好的表徵有助於問題解決，而不 當的表徵則會妨礙問題的解決。因此問題表徵適當與否，將會影響數 學問題的解題成功與否。
因為表徵是一個相當重要的概念，各學者對於「表徵」的定義也 有不同的定義，在心理學上，表徵指的是「將外在現實世界的事物以 另一種較為抽象或符號化的形式來代表的歷程」或「訊息處理過程中，
將訊息經譯碼( coding )後，轉換成另一種型式，以便儲存或表達的歷 程」（張春興，1988 ）。在數學認知心理學上，所謂「表徵」系指物 體以及他們之間關係的符號描述（蕭龍生，1993 ）。
此外，「表徵」與數學學習關係密切的另一因素，便是「多義性」。 所謂的表徵「多義性」是指同一數學知識或概念均可用多種不同的形
21
式加以表徵，原有的數學概念並不受外在表徵型式的變化所影響，例 如：「一」、「1」、「壹」、「one」雖是不同的表徵符號，但卻代表著相 同的數學概念。
二、表徵的分類
Bruner ( 1966 )認為透過「動作表徵」、「形象表徵」及「符號表 徵」等三種表徵的方式，兒童可以從過去的經驗提取保留下來的經驗 模型，以認識當前的刺激或將當前的刺激收納至過去的經驗模型。動 作表徵只靠動作認識外界的刺激，以動作、操弄等方式對於外在環境 的認識，尤其當某種知識很難藉由文字、語言、圖表進行教學時通常 需要藉由動作表徵為之，例如：單位分數內容物多寡的問題，若能經 由實際的做數活動應能讓學生更清楚瞭解。
形象表徵則是以記憶中的心向做為運思的材料，它是以經濟有效 的方式管理知覺組織，將它有系統的納入過去經驗模型，例如：學生 經由過去所學的一元二次方程式觀念套用在一元二次方程式上，並且 有系統的做取捨。符號表徵則是以抽象的文字符號進行運思，例如：
將未知數用 𝑥 來取代運算中的未知元素。事實上，符號本身是一種人 為的、抽象的、規約化的文化產物，若欲流暢的使用符號得必須先經 過社會化學習。
除了形式化的數學符號之外，有一些非型式化的表徵也可做為幫
22
助數學思考的工具，Lesh , Post 和 Behr ( 1987 )用溝通的觀點描述了 五種表徵的類別，包括實物情境(real─world situations)、具體操作物 (manipulative aids)、圖畫(pictures)、口語符號(spoken symbols)、以及 書寫符號(written symbols)。
圖 2-3-1 表徵系統互動模式
Lesh 等人( 1987 )強調此表徵系統互動模式不僅五個元素都很 重要，表徵之間的轉譯和同一個表徵內的轉化亦同等重要。換言之，
不只構成的元素重要，元素與元素間的動態關係亦至為重要。
23
表徵系統互動模式的五種表徵雖然都是可以讓外人察覺，但蔣治 邦( 1994 )認為圖像和符號的運思是內隱活動，在評估時需要透過「再 次呈現」才能溝通。換言之，將這兩種表徵都必須在教學者的要求下，
學習者才可能利用再表現的方式呈現出來。
因為表徵具有「多義性」的性質，在數學活動中，表徵扮演著兩 種角色：運思的材料與溝通的媒介，所以表徵是個體運思與溝通的重 要工具。而關於表徵的研究相當多，多位學者( Bruner , 1964；Lesh , 1987；Kaput, 1987)分別依三種不同的角度：運思的材料、溝通的媒 介及認知的歷程將其分類，綜合以上學者們的想法，可以將以上三大 類的表徵型式整理如下表 2-3-1。
24
表 2-3-1 三大類的表徵型式 不同的分類者 由「運思的材
料」分類
由「溝通的媒介 分類」
由「認知的歷 程」分類 分類者 Bruner( 1964 )
Lesh、Post &
Behr( 1987 )
Kaput( 1987 )
分類方式
1.動作的
2.圖像的
3.符號的
1.實務情境
2.具體操作物
3.圖畫
4.口語符號
5.書寫符號
1.認知與知覺 的表徵 2.解釋性的表
徵 3.數學內的表
徵 4.外在符號的
表徵
(楊敦州，2004，頁 9)
另外有研究（陸正威、王惠豐，1999 ）指出高解題能力者，是 由語言表徵轉換到意像表徵(如圖形、心像)，才轉換成型式(符號) 表徵。至於低解題能力者，由於無法順利將語言轉化為意像，所以無 法引發更高層的解題思維，影響了解題的能力。涂金堂( 2002 )也指 出解題者對於數學文字題所產生的問題表徵品質，會影響解題成功的 與否。
25
三、不同題目表徵之間的差異
由於表徵是運思的材料，若能透過不同題目表徵型式的輔助，幫 助學生理解問題描述，改善學生解題時的工作記憶負荷，對其解題表 現將有所助益（ Juhani , 1995 ）。於是將表徵分為圖像表徵、符號(文 字)表徵兩方面，因此就圖像表徵、符號(文字)表徵的差異做探討。
圖示法是外在表徵最常被應用的策略（杜佳貞，1999 ）。有些學 者認為圖示具有整體性與具體性，可以幫助學生形成恰當的表徵，豐 富 其 數 學 概 念 ， 增 進 解 題 表 現 ( Bishop , 1989 ； Webb &
Sherrill ,1974 )。
對概念學習而言，圖形通常蘊含大量訊息與概念內容，另具描繪 與事物有關的空間及視覺特性、整合與補充課文內容……等性質，換 言之，圖形表徵為協助學生從教材中快速了解及建構的有效工具，反 觀口語訊息則較難說明概念的整理架構，需用複雜與大量語法或文字 方能詳盡說明。
對教學而言，雖然圖形表徵具有上述的優點，但使用之際需考量 學生的認知負荷，以免使用不當造成干擾或誤導，加上目前許多教科 書並非極力極度重視文本內圖形的呈現( Schnotz & Bannert , 2003)，
因此圖形表徵的使用雖具提升教學成效的潛力，但若使用不當亦可能 出現反效果。蔡興國、陳錦章和張惠博( 2010 )亦指出若學生對於抽
26
象圖像表徵的學習有困難，應鼓勵學生退回圖像表徵，充分瞭解情境 之後，在進入抽象圖像表徵。
然而 Clement ( 1981 )認為圖示法對於學生在形成有效的問題表 徵上是無助益的，甚至會造成學生概念抽象化的困難。以下就「訊息 呈現」與「訊息解讀」兩方面來比較：
（一）、訊息呈現方面：
使用圖畫型式加上簡單的文字說明，在訊息的傳達上較為精煉，
容易引發學生的解題興趣。相反的，文字型式在訊息的傳達上就較為 繁雜，或許因此造成學生在閱讀理解上的困難(張欣怡，1997 )。
（二）、訊息解讀方面：
個體讀取文字訊息時，必須從頭開始閱讀與搜尋相關的訊息，然 後儲存於記憶中，之後周而復始的搜尋下一個訊息，直到解題需要的 訊息都到齊為止。反之，在圖畫題中，通常找第一個資訊，解題者就 容易在鄰近的地方搜尋到其他所需要的訊息資料 (Larkin & Simon , 1987 )。
27
表 2-3-2 文字與圖畫表徵的差異 表徵型
式 文字 圖畫
差異性
1.需要較多的說明，因此 內容較繁多。
2.可使用單一表徵方式 (文字)來呈現訊息。
3.關係是隱示的。
4.訊息間的連結是較不 緊密的，即下一個資訊 並非儲存在下一個敘述 中。
1.訊息表較為精煉，因此內容 較為簡單明瞭。
2.可以利用各種符號表徵方 式，如圖畫和符號，來呈現訊 息。
3.關係是明確的。
4.資訊間的連結較為緊密，即 下一個資訊可能儲存於鄰近 的位置。
(邱欣慧，2008，頁 26)
因此有學者( Moyer et al., 1984 )認為圖像表徵在數學的學習上 優點如下。
（一）、減少與閱讀有關的工作記憶。
（二）、幫助學生回憶類似記憶，建立適當的問題表徵。
（三）、鼓勵學生投入理解題意。
（四）、使曖昧不明的題意更明確，彌補文字資料的不足。
而在文字題部份，Wagner ( 1981a )於第五屆數學教育心理學會 ( PME )中提出一個探究學生對於「文字符號」概念理解的分析架構，
他認為文字符號在數學中有許多使用方式，依據它們出現的情境和所 指的元素，有不同的名稱(如未知數、一般數、不定數、常數等)。
28
在數學文字符號中，符號和指示對象決定其語意角色；而符號和 情 境 決 定 其 語 法 角 色 。 陳 彥 廷 與 柳 賢 ( 2009 ) 依 此 觀 點 並 綜 合 Kuchemann ( 1981 )與九年一貫課程綱要，建構一個七年級代數式 中文字符號語意、情境的架構。架構中，文字符號的語意角色包括「特 定數」、「特定未知數」與「一般數」三個類別；而文字符號的情境則 分為「多項式」與「方程式」兩個類別，每一類別下又分為「一元一 次式」與「二元一次式」等子類別，而每一個子類別下又有「列式」、
「單一運算」、「混合運算」以及「代換」等細項。
郭汾派、林光賢與林福來（1989）指出，文字符號在代數解方程 式、應用題等題材上都需被使用，是重要的數學概念。而美國數學教 師協會（The National Council of Teachers of Mathematics [ NCTM ], 2000）在《學校數學課程與評鑑標準》亦將對文字符號的理解，作為 5〜8 年級的數學教學目標。可見，文字符號在代數的學習佔有重要 的地位。
Collis（1975）將學生對文字符號的理解分為「視文字符號為一 個數字」、「視文字符號忽略不用」、「視文字符號為一個物件」、「視文 字符號為一個特定的未知數」、「視文字符號為一般數」以及「視文字 符號為一個變數」等六個類別。八十年代起，CSMS 團隊依據 Collis
（1975）的研究，探討英國青少年對代數文字符號的理解（Booth , 1984 ; Hart , 1980 ; Kuchemann , 1981）。他們發現，13 歲與 15 歲學生 的表現並不理想。
29
學者（Booth , 1988 ）陸續針對學生的錯誤概念提出報告。例 如，學生會將文字符號當成具體實物或具體實物的標記（NCTM , 1981)；
固著於文字符號的刻板性用法，不能隨著文字符號名稱改變，而作適 應性解題。因此，他們認為替換不同的文字符號，會改變整個題意，
而必須用完全不同的方法作答（Ernest , 2006 )。
Clement , Lochhead 與 Monk( 1981 )也發現，學生會混淆代表 實物的文字符號和代表實物數值的文字符號。可見，學生對文字符號 的學習產生許多困難。
在國內，Booth 於 1987 年往國內台灣師範大學演講後，郭汾派、
林光賢與林福來（1989）即修訂 CSMS 團隊所編製的試題進行本土的 研究。研究指出，學生在文字符號單元容易出現錯誤。
而其他學位論文（方吉雄，2001；袁媛，1993；許正諭，2005；
陳慧珍，2001；廖福彥，2002；謝和秀，2001；謝宜玲，2003；羅榮 福，2003）也呼應郭汾派等（1989）與洪有情（2005）的發現。
綜合這些文獻發現，學生對於文字符號會產生「混淆代表實物的 文字符號和代表實物數值的文字符號」、「將文字符號當成未知數、某 數或任意數」的另有概念（謝宜玲，2003；Clement , Narode & Resnick , 1981）。
此外，相關研究從運算角度也發現，隨著（□→ x、y）的符號逐