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一、在挫折中摸索探究教學(探索期)

談,TI;教師反思,TR;課後討論,CD;研究者反思,RF。

T1 的教學信念,特別是對於低學習成就學生的教學建設性意向,深受其小學、中學時期偏 差行為影響,由於這些經驗使得 T1 相信學習行為偏差是可以被修正的,特別是來自於師長的教 誨。T1 的國二導師幫助他重新思考自己行為本質,數學家教老師幫助他在數學學習上取得前所 未有的自信,此一影響甚至延續到大學聯考志願選填,T1 選擇了數學系。

或許就是因為這些老師在關鍵的時刻拉了我一把,我也醒悟到自己其實希望的是別人的肯定!

我認為一個有教育熱誠的老師,若能多關注這些低成就孩子,就能對他的人生產生關鍵性的影 響!【TR-20140305】

美國為回應全球化的挑戰,2001 年 12 月布希政府通過了「不讓任一個孩子落後」法案(No Child Left Behind Act, NCLB),為落實兼顧品質與教育平等的雙重目標。此外,NCTM(2000)

為學校數學制定了六項原則(principle):均等、課程、教學、學習、評量與科技。其中,均等原 則揭櫫卓越的數學教育的必需以均等為前提,即對於所有學生的學習提供支持及秉持高度預期;

然而均等並非意味所有的學生須接受齊一式的教學,反之,針對所有學生為促進受教權及學習 成就之需要得進行合理且合適的教學調整。

當 T1 看見自己「不讓任一個孩子落後」的信念致使教學實務產生見樹不見林的窘境,自此,

T1 在往後專業成長的中,無論教學策略及教學程序或是信念,皆可以看到此反思所造成的改變;

並且在其專業成長成熟期時,T1 終能明白實踐數學教學真實均等應是藉由「因材施教」來達到

「不讓任一個孩子落後」的目標。

(二)教學實作成效不彰的挫敗:未建立數學學習常規

在開始正式施行數學探究活動前,我們與 T1 經過多次討論與磋商,包含教學策略、教案設 計與佈題、小組分組形式細節甚至學習進度,但在第一次活動結束後,我們與 T1 陷入了低潮。

主要原因除 T1 事前準備不足造成課室運作不順暢外,還有一部分是 T1 未能安排足夠的個人探 究時間,以至於學生在未充分理解規則及題目所傳達的概念前,即進入社會性脈絡,使得合作 學習流於形式。因著初始信念的影響,T1 認為學生學習的基礎奠定在良好學習常規之上,由於 T1 身兼國二個案班級導師,教師變成既是「任務性」又是「庶務性」的工作。

老實說身為個案班的導師是焦頭爛額,班級的瑣事每天都要耗掉我很多時間和精力。無形中,

班級經營影響著我的數學教學,相對於教育的信念影響著我的班級經營,我變得很難享受教學 的樂趣。【TR-20131107】

T1 相信數學探究與思維的發展應建構在良好的學習常規之上,學生如果沒有良好的社會性 常規,就無法在社會性的互動中學習尊重、欣賞別人的想法,遑論在社會性常規下建構推論、

猜想、反駁、論證等社會性數學常規(Yackel & Cobb, 1996)。

T1:就是要建立遊戲規則,建立模式,就是我以前會去告訴他們,現在你應該做什麼、你不要 做什麼,然後一直去提醒。

R :所以你希望孩子從常規開始學習自主、獨立?

T1:從常規開始自主,沒有常規就沒有辦法進入探究的脈絡。【TI-20140610】

(三)教學信念的衝突與改變:他山之石可以攻錯

個案教師 T1 雖然持有改革教學信念,但在實際教學仍採傳統講述策略,主要是 T1 對「不 讓任一個孩子落後」教學信念的堅持,希望所有學生都能參與學習。

我想,講述式教學並不是真的那麼一無可取,探究式教學也不是萬用,每個單元、每個主題應 該都可以嘗試各種的教學方法,而哪一種方法適合?就要因人而異因時因地制宜了。【TR-20140402】

由於 T2 一直以來都在課室裡以合作學習策略進行探究教學,於是我們邀請 T2 至 T1 課室 進行觀摩,希望透過在職老師間的實務性對話,幫助 T1 看到自己教學上的盲點,因為對於在職 教師而言,最直接的協助來自於社群成員的分享與討論(Cochran-Smith & Lytle, 1999)。

在整堂課的探究脈絡進行中,我看到 T2 清楚的說明學生可以採用的討論規則,老師的角色是 建立討論的規矩,並且從學生的發表中,引導學生去攻擊和反駁(妥善利用加減分,目的是增 強正向行為和削弱負向行為)最後再加以統整和歸納。【TR-20131009】

我們與 T2 的介入,是促成 T1 改變教學信念、重塑教學實務的誘因。在 T2 到 T1 課室觀摩 後,不到一週的光景,T1 即開始著手進行教學改革,先前遲遲未能改變的原因,某種程度而言

因為面對考試的檢驗,傳統講述教學是相對安全的作法,至少確定學生都「學過了」。

在一堂課結束後,我會想要比較探究式和傳統式學生的「成效」?但是這樣又落入「考試」目 標導向中,難怪我會一直退回傳統講述式課堂,因為安全、可掌握,且學生秩序看起來比較好。

經過這節課的火花撞擊,我想會加快我改變的速度和更堅定改變的方向。試想,為何在我課本

外主題式的探究活動中,我期待學生養成分工、參與、產出、溝通、表達、辯證反駁的種種行 為模式,為何在傳統課室卻只盯著「分數」呢?【TR-20131009】

(四)教師策略性佈題與學生發現樣式:玩遊戲也要有戰略

T1 的初始信念,某種程度會反映在其教學任務安排與設計上,因 T1 會經常顧慮學生是否 會在相同的探究主題下感到乏味,因此在顧及「新鮮感」的前提下,T1 得不停更換探究主題,

即便是相同主題也會以不連續的方式安排。如神算活動任務中,T1 希望學生在數結果中找出其 中所隱藏的公式,如 25.25=[(2+1).2].100+25,一般式為應由(x 5)2的格式轉換成為(10x +5)2, 但 T1 在假設性學習軌線(hypothetical learning trajectories, HLT)(Simon, 1995)的安排上少了位 值(place value)概念的鋪陳,致使大部分的學生僅能推論出(x-5)2= x 2-10 x +25 或(x +5)2= x 2+10

x +25,由於抽象化的符號運思佔據了活動的大部分時間,造成學生對過度抽象性的數學活動感

到興趣缺缺。因此在後續活動「拈子 2」改採遊戲的方式進行,活動的設計意象是希望學生在遊 戲中,透過「系統化」的方式尋找數學任務中所隱藏的規律,這樣的想法無形中成為往後設計 數學任務時進行策略性佈題的基礎。

就像打 lol、玩牌,如果你只是亂玩,就玩不出一個規則,一定要有系統地玩、找到它的規律,

如果沒有過程就找不到規律,就不知道公式怎麼來的了【CO-20140108】。

二、數學探究教學發展關鍵—「系統化」 (發展期)

(一)教學即是在實務中的學習:教學旨於促進學生學習的理解

T1 在探索期時,仍抱持以出非例行性的問題考驗學生的想法,同時在 T1 的過往施行探究 活動經驗中,大部分學生都能在探索自主過程中找到令人滿意的答案,然而個案班級卻未能達 成先前的預期,也正因如此,幫助 T1 能夠重新檢視藉由教學設計以促進學生學習的目的。

在這幾次活動中,我每次對學生的發現都不甚滿意,因為舊經驗影響著我對他們能力的期待值,

在學習單鋪設上,我都還是用一個大階梯,希望他們找方法、找策略、進而找答案。其實我真 的該給方法、給策略,不要吝惜讓學生「成功」。【TR-20131106】

拈子 3,是 T1 在個案班級中施行的拈子系列活動的最終回,回顧前兩次的拈子活動,拈子 1 是引起學生探究學習的動機的暖身活動,拈子 2 更以遊戲挑戰做為活動基調,目的是為了調 和神算的抽象符號思考所帶給學生的單調與乏悶,拈子 3 完全沒有程序性操作,直接進入概念 作為起始,完全以思考實驗的方式進入探究脈絡裡。T1 所設計的拈子活動情境如下:

「拈」(Nim)是極其古老且饒富趣味的一個遊戲。據說,「拈」源自中國,經由被販賣到美洲 的奴工們外傳。辛苦的工人們,在工作閒暇之餘,用石頭玩遊戲以排遣寂寞。流傳到高級人士,

則用辨士(Pennils),在酒吧櫃檯上玩。最常見而為大眾熟悉的玩法是這樣的:「兩人輪流取一 堆石頭,每人每次最少取 1 個,最多取 k 個,最後取光石頭的人贏得此遊戲。」請問有何致 勝之道?

T1 將拈子活動佈題從特殊化到系統化將之分為三個層次(A 為拈子活動一、B 為拈子活動 二、C 為拈子活動三):

A.如果兩個人共取 35 顆棋子,每次可以拿 2、4、6 顆棋子,最後取光棋子的人贏得此遊戲,

請問有何致勝之道?

B.將十二枚銅板分三列排成三、四、五個,兩人輪流取銅板,每次需在某一列取一枚或一枚 以上的銅板,但不能同時在兩列取銅板,最後將銅板拿光的人贏得此遊戲,請問必勝的 秘訣是什麼呢?

C.根據上次活動,當已知{0.1.1}、{0.2.2}為必勝棋形時,別人取第三列 5 顆後,此時,如 果換我們拿棋,該如何拿呢?(狀況一、在其中一列取 4 顆;狀況二、在其中一列取 3 顆;狀況三、在其中一列取 2 顆;狀況四、在其中一列取 1 顆)

在「拈子 3」教學行動後 T1 的心態產生很大的改變,特別是不再以「結果」來衡量學生學 了多少,反而聚焦在如何藉由教學策略與教學程序以促進學生學習的理解。事實上,發展對於 學生學習的理解,是教師專業成長的一個重要環節(Simon, 1997),因為教師的知識的發展應包 含關於學生學習,用於幫助教學決策制定(Fennema & Franke, 1992)。

這個活動跟以往設計不同的是,以前設計不同的主題是一個一個的活動,而這次設計的出發點 是:培養(或者說是強迫)學生學會用公約化的數學符號來做溝通,並且有共識地立基彼此都

「不言而自明」的必勝策略上,這對未來證明題,甚至是未來的活動有意義的地方在於學生必 須學會靜下心來 “紀錄”或者冥想棋局的變化。【TR- 20131204】

這次我聚焦的不再只是「學生發現了什麼」改變的是設法去理解或引導「學生如何發現」「學

生怎麼討論」、「小組角色的功能」以及「學生瞭解多少」。【TR-20131204】

(二)

數學探究教學核心知識的形成數乘法:特殊化、系統化、一般化

在本研究中「系統化」是指「有系統的特殊化」(Mason et al., 2010),從「舉例」、「有系統