（一）學生假設性學習軌線的精緻化：以非線性多工教學程序提升教學效能
研究初期 T1 會在數學活動中佈題後即期待學生能夠推論出數學樣式中所隱藏的一般式，由
於缺乏階梯鷹架的支持，造成學生參與數學活動的動機降低外，更因學生得花更長的時間討論 而影響活動進度的安排。由於 T1 是位具有高效能感的教師，經常會因學生的表現、如何實踐探 究教學的旨趣而感到焦慮，儘管如此 T1 仍會努力嘗試去解決教學實務上所遭遇到的困難，也正 因如此促使 T1 發展出多工教學程序，即在同一時間學生上台書寫小組發現、學生書寫工作單、
教師先行為下個階段佈題並在小組間協助學生探究、授權小組幹部引導小組討論。
今天（神算活動）各組學生雖然都有提出一般式的想法，但大部分都沒能運用到位值概念，因 此無法論述證明一般化結果的正確性，這是我假設性學習軌線（Simon, 1995）下次應該鋪設的 更縝密一點的地方。【TR-20131023】
T1 之所以發展出多工教學程序，一則是覺察學生應負起學習責任，二則是在發展數學探究 教學的過程中，藉由反思與實踐在探究教學設計上更能清楚掌握學生的假設性軌線，在教學程 序或策略的使用上能更有彈性，達到提升教學效能的目標更能專注於學習環境的建構。
比起上學期，做數學活動對我而言有種駕輕就熟的感覺，不管是事前的準備學習單、當下分組 的職責、討論的形式、突發狀況的處置…等等，雖然是千頭萬緒，但是現在可以更好整以暇地 完成。【TR-20140219】
R：我今天看到你會在同一個時間裡讓很多教學程序同時進行，感覺在時間、空間上有比較大 的彈性。
T1：以前我辦不到這樣！以前我覺得這個時間到做完就上去，時間到就應該做什麼…
【CD-20140416】
我開始嘗試在教學實務上多工並行，將關注的焦點放在「在多少人理解」、「多少人參與」。這 樣的想法開始讓我在一般課室放下壓力，把學習責任「丟還」給學生。現在我會覺得，老師的 責任是在引起動機、提供學生適當的探索題材，以及提供好的合作環境，而不是把學生學習的 責任扛在身上。【TR-20140416】
（二）不讓任一個孩子落後的真義：「因材施教」才是真平等
T1 在下學期數學活動任務中特意安排了一次「尺規作圖」，該活動是 T1 以數學課本內容作 為數學探究活動的嘗試，其緣由來自於研究者邀請 T3 及校內數學教師為其數學探究教學課室進 行觀摩及建言，該課室施行前一週，T1 即在個案班級數學課室中完成六大基本尺規作圖的教授，
T1 所設計的數學任務為藉由六大基本尺規作圖，完成麥田圈圖形的複製及創作，在創作前 T1
希望學生能夠將各組所分享的作法抄寫至學習單上，以達集思廣益的目的。
T3：你剛剛請孩子站著抄，我覺得不好ㄋㄟ！
T1：但是如果沒有做這個動作會拖更久。
T3：那個東西我們老實說也是表面啦！
T1：基本上我已經給一段時間了，有認真執行的已經做完了，問題就在那些被動的，我會覺得 如果沒有到一定的程度我沒有辦法繼續下面的程序。【TI-20140407】
藉由 T3 建言，T1 重新審視與檢驗自己的教學信念，開始覺察到過去自認對於低成就學生 的關注，並非真實的平等。但隨著 T1 的自省與覺察，我們觀察到 T1 在後續活動中做了很大的 調整，特別是在教師角色認同與數學任務佈局。
經過觀摩後的分享討論，才知道我自以為有效率的處理方式，其實造成假平等，要求一致，也 是假平等，這樣的教學方式，無形中一直拖累我的進度使課堂的辯證失焦，也讓深度消失。事 實是學生程度有差異，應該要彈性標準，多給予肯定和鼓勵。【TR-20140408】
（三）教師即佈題者：教師角色認同的自我覺察
探索期時，T1 堅持學習單必須在「工欲善其事必先利其器」的前提下做好萬全準備，以應 付不時之需。其實這樣想法的背後是為了提升教學效能，因為 T1 認為探究教學比起傳統講述教 學要更多的準備，不同程度的學習單可以提升學生的參與。
我會有一個預想的進度，看他們施行的結果怎樣再去調整，所以不一定要按照什麼形式走。甚 至是，我希望有一百種學習單，滿個櫃子都有，就是每一種都印一百張放著，我如果覺得什麼 適合就用哪一個。【TI-20130925】
T1 在專業成長成熟期中，最令人眼睛為之一亮的地方莫過於他運用「空白」學習單來起始 數學任務，除了讓學生更能專注於佈題脈絡外，更讓學生多了一份期待感，這樣的想法其實來 自於 T1 對個案班級學生的了解。在成熟期時，T1 完全顛覆了先前的想法，在「魔你的數 2、3」
T1 給學生「空白」學習單，以先前的發現作為進行佈題的基礎。
T1：可是就會像上次那樣，你活動單一給他，他就覺得哦！怎麼又是這個！可是你如果給他空
白學習單，他就會覺得你想幹嘛？就能讓學生猜不到接下來要
做什麼，進而提升他們
的學習動機。
R：是不是學生已經熟悉你的模式了？已經養成習慣了？
T1：可是如果我現在反過來想，你一個活動做三次，第一次這個活動可能沒辦法做得很深，老 師介入得很多，可是他還是把他帶到三次。下一個活動，他就大概知道那個模式，做三次 就不會有期待感。【TI-20140617】
「魔你的數」（圖 5）遊戲方式是開始時請一位同學選定 1 至 63 其中一個數字，然後老師逐 次問他這個數字是否依序出現在表格一到六，最後教師透過該學生的回答，以表格一到六的最 小數字 1、2、4、8、16、32 作為該表格所代表的基數，若學生回答有則加上該表格所代表的基 數，加總的結果即是學生原先選定的數字，如數字 5 會出現在表格一、三，則 1 加 4 即得到 5。
「魔你的數」是開放式的數學探究任務，學生必須根據表格中所存在的數字樣式猜想並推論出 背後隱藏的二進位原理。因著數學問題的開放程度，學生學習社群管理能力、佈題脈絡掌握技 巧、課室論述管理及教學進程整體的運籌帷幄等面向，對教師而言在在都是極具挑戰的任務。
回顧 T1 在發展期「爬樓梯」活動，任務活動設計是將費伯納契數列的樣式隱藏在樓梯的數學解 題任務中，讓學生自然而然地發現其中的數學原理。在當時，T1 看待學生數學學習過程的想法 已不同於研究初期，傾向於將自己視為訓練學生探究學習的「教練」。
樓梯活動前面設計了兩小節的暖身，以類比的方式來佈局，讓學生了解解題策略的多元性。T1 會利用學生討論時間，先行把接下來要學生發表或討論的內容預先鋪排在黑板上，待學生進行 到一定步驟後就銜接預先鋪好的佈題脈絡。【RF-20140219】
現在我能夠在事前思慮佈局（學習單內容安排），對學生程度的瞭解，對不進入狀況的學生處 置都有思考過，所以我能夠從「管理者」變成現在是「看局者」，現在比較像是「教練」！
【TR-20140219】
圖 5 魔你的數活動表格
事實上「教練」只是角色認同覺察過程中的過渡的印象，在發展系統化佈題策略、多工發 展程序，以及覺察到學生是學習中心應施以因材施教後，T1 將自己的教師角色認同推向更高位 階—「佈題者」。回想起來，T1 對於「導師」及「數學教學」兩者角色糾結的覺察，似乎是他在 專業成長歷程中的重要養分。在最後兩次活動的課室觀察中發現，T1 似乎重拾過往對於數學教 學的熱情與自信；T1 會將假設性學習軌線中的諸多細節先行佈局，視教學流程的進行隨時彈性 調整，在歸納學生的數學發現上亦能按照學生發現的層次加以統整後安排學生的發表順序，使
學生能夠清楚掌握數學知識發現的整體脈絡。「佈題者」並非只是設計數學任務，其中更包含課
室環境的建構、學習社群的管理以及全班性論述的統整與歸納，亦是 T1 在專業成長計畫中的完 美註解。
R：他們今天開始類比，去找先備知識，然後去讓他們會的教不會的，然後就把二進位的推法 全部講一次。
T1：我覺得他們在討論的時候可能還沒有發展到那麼多
R：你今天比較突破的地方是你會去引導，把他們的發表順序按照你的想法來安排。
【TI-20140611】
老師的角色原本專職教學，現今漸次變成引導者，再慢慢成為佈題者！只要先預想好學生目前 到哪裡，接下來往哪裡去，當我覺得學生學得差不多了，我嘗試大膽的跳躍，直接佈下難題。
【TR-20140618】