事實上「教練」只是角色認同覺察過程中的過渡的印象，在發展系統化佈題策略、多工發 展程序，以及覺察到學生是學習中心應施以因材施教後，T1 將自己的教師角色認同推向更高位 階—「佈題者」。回想起來，T1 對於「導師」及「數學教學」兩者角色糾結的覺察，似乎是他在 專業成長歷程中的重要養分。在最後兩次活動的課室觀察中發現，T1 似乎重拾過往對於數學教 學的熱情與自信；T1 會將假設性學習軌線中的諸多細節先行佈局，視教學流程的進行隨時彈性 調整，在歸納學生的數學發現上亦能按照學生發現的層次加以統整後安排學生的發表順序，使
學生能夠清楚掌握數學知識發現的整體脈絡。「佈題者」並非只是設計數學任務，其中更包含課
室環境的建構、學習社群的管理以及全班性論述的統整與歸納，亦是 T1 在專業成長計畫中的完 美註解。
R：他們今天開始類比，去找先備知識，然後去讓他們會的教不會的，然後就把二進位的推法 全部講一次。
T1：我覺得他們在討論的時候可能還沒有發展到那麼多
R：你今天比較突破的地方是你會去引導，把他們的發表順序按照你的想法來安排。
【TI-20140611】
老師的角色原本專職教學，現今漸次變成引導者，再慢慢成為佈題者！只要先預想好學生目前 到哪裡，接下來往哪裡去，當我覺得學生學得差不多了，我嘗試大膽的跳躍，直接佈下難題。
【TR-20140618】
一般式，在「系統化」佈題策略形成後，T1 逐漸能掌握佈題脈絡的進行，輔以記錄策略來幫助 學生進行論證，在發展「多工教學程序」後，更能專注於學生的發表、論證，並歸納結果產生一 致性的結論。
（二）對核心知識的概念理解
本節探討數學教師探究教學的核心知識聚焦於數學、教學和學習，即包含教師解決數學問 題（包含臆測與論證）的數學知識、教導數學問題解決的教學知識和學生學習問題解決的學生 學習知識等三部分，特別是教師對於學生學習數學探索（含臆測與論證）知識的理解。
T1 在設計數學探究活動時特別是數學內容會思考如何與課程內容結合，或者與學生未來學 習的相關性，從探索期一直到成熟期皆是如此，此外 T1 是位高自我效能感的老師，在活動的過 程中皆會親自參與學生學習活動，藉此引導學生進行數學思考，探索期時 T1 預期學生數學探究 學習能夠透過不斷試誤找到數學問題中所隱藏的樣式。
R：所以必勝的棋型有很多種？
T1：對，在以前大家覺得必勝棋型有很多類型，最近有一本書家把它轉成二進位後結果全部都 變成同一個棋型，我是沒有期盼他們會進到那麼高階去，但至少慢慢抓到。【TI-20131106】
發展期時，藉由系統化佈題策略，T1 對於數學臆測的理解有了不一樣的思維，但仍然堅持
能夠直接猜出一般式再透過舉例加以檢驗的過程，比較符合他心目中對於數學臆測的理解，「系
統化」對 T1 而言反而不是形成「猜想」的過程。事實上，T1 是在發展對於學生學習理解的過 程中，漸次理解「系統化」對於學生數學臆測思維發展的重要性。
T1：我以前覺得臆測是先猜、檢驗，亂檢驗、亂檢驗，然後接著就會檢驗出系統的檢驗，系統 的特殊化檢驗，然後去修正那個猜想。
R ：現在呢？
T1：感覺上現在是不猜，不會直接猜十二階有多少，不會猜 N 階有多少，直接就開始從 1、2、
3（系統性特殊化）。【TI-20140219】
這樣的想法也反映在 T1 的課室實務中，誠如探索期的研究發現，T1 認為樣式的探索需
要透過
不斷的嘗試，這樣的想法也形成了 T1 對於數學臆測中「系統化」的理解。R：可是你今天的不同在於將上次紀錄兩個改成三個，你又幫他們分類分好了。
T1：對啊，脈絡都先鋪好了。
R：依照你的習慣我認為你可以把他們的東西整理在下一張學習單裡。
T1：那就很多東西啊，會有多分細項狀況一、狀況二、狀況三這樣，列出來就一串啊，這一他 們讀的話會不知道下一次的重心在哪裡，通常我們都是一直試誤、一直試誤，玩個一百次 後，ㄟ，就發現是什麼、什麼！【TI-20131204】
在探索期時 T1 對於課室常規的關注一直與他「不讓一個孩子落後」的教學信念產生衝突，
因為開放討論的課室中低成就孩子的學習參與度比較低，原因是 T1 沒有辦法在每個小組中逐一 去關注不參與數學活動的低成就學生，在發展期時 T1 注意到可以透過小組幹部賦權與常規的建 制來達成促進學生參與數學活動的目的。
T1：可是如果是傳統講述，低成就學生就可能會被列在趕的鴨子的最後一隻。但現在我會停在 希望他不要去影響別人，他如果願意參與的時候可以參與，可是等到他有興趣參與的時候 就是，因為他前面沒學到，他就沒有辦法去攻擊，就只能坐在那……
R：就常規啊！就是你要怎麼討論，討論的方法、反駁的方法，就是要一層一層去思考。
T1：嗯，他先要有常規才有學習、合作。【TI-20131231】
成熟期時，T1 會考慮數學活動設計內容幫助學生利用前面活動的數學知識作為先備知識，
下述的皮克面積公式是奧地利數學家喬治皮克（Georg Pick，1859～1943）所發現的一個面積速 算法，以格點為頂點的多邊形叫格點多邊形。若已知在多邊形內部的格點稱為內格點（代號 x）， 在多邊形邊上的格點稱為邊格點（代號 y），則面積可以透過 1
2
y
x 而得。T1 在設數學問題
時，某種程度已先為學生預想到可能的延伸概念，儘管學生有可能不會遭遇到，然而運用已知 猜想論證未知即是數學探究學習的重要旨趣之一。T1：我發現我之前做的那個皮克面積面積公式，也是內格點一個變項，外格點一個變項。控制 住內格點，觀察外格點變動去看面積的變化。
R：就是兩個變數就變難了！就像青蛙跳的 m 對 n 一樣。
T1：他很難直接看出來！【TI-20140305】
此外，T1 注意到探究活動中記錄對於學生數學思考的重要性，儘管有些學生能夠藉由心象 來完成如河內塔的活動中的數學任務，T1 仍然認為符號紀錄式數學形式化思考中不可或缺的過 程，其次，T1 會考慮到學生進行數學探究時所需要的數學內容知識。
R：今天紀錄的流暢性強很多。
T1：我發現他們會記下來…
………
T1：可是我們希望的是他看到符號的對稱去看到其他的。
…………
T1：本來想說第二次就讓他們聚焦在記錄上，就直接從記錄中…【TI-20140305】
由於 T1 了解到不同學生應該給予不同程度的支持，「探究」對於 T1 而言是建構主動學習環 境的脈絡，但學生必須先進行個人探究形成數學猜想，並藉由社會建構，在反駁、特殊化、系統 化及一般化來來回回的歷程中藉由論證形成客觀性的知識。
探究就是分兩種，一種是個人的，一種的是社會的，個人的就是要自己去尋找 pattern 找規律，
當然你要先理解題意，然後逐漸發展出自己的數學知識，然後再來跟其他人溝通、分享，透過 合作方式分享，然後進到社會建構的過程，然後到發表再形成全班性的、一致的知識。
【TI-20131231】
R：你對探究的理解是什麼？
T1：就是佈一個豐富的情境，學生透過同儕的討論，在彼此的知識上建構新知。
R：那臆測跟探究有何不同？
T1：在探究的時候自然就會有人提出猜想、一般式的推論或提出反例加以反駁，所以兩個很難 切割。【TI- 20140610】
（三）適性推論與建設性意向
NRC（2001）主張教學素養中的適性教學推論，強調教師能對教學設計與實作結果進行反 思與推理，特別是針對學生學習困難、成因與可能對策的推理。在探索期時，對於 T1 而言數學 探究教學所帶來最大的挑戰即是時間。
T1：時間一直是問題，因為要處理常規，所以時間就很趕，現在再壓進去就變成超趕，很多東 西都只能交代過去，就更難在平常課室讓他探究。【TI-20131112】
R：為什麼不能直接破題啊？
T1：我覺得必勝的關鍵策略不能由我講出來，我只能用問句一直問、一直問，我覺得需要時間 啦，他靜下來，說不定回去想想明天就有東西出來，但是時間就是有限。【TI-20131106】
T1 除了理解到時間是提升數學探究教學效能的關鍵外，為促使學生能在既定時間內達成有 效的數學產出，在磋商過程中發現數學任務內容設計是最重要的環節，數學任務內容一直是 T1 很在意的議題，因為數學任務設計影響學生的數學參與、假設性學習軌線、先備知識以及 T1 對 於學生數學探究學習的預期。
R：像上次的活動…他們來不及將他們的想法慢慢的消化掉，所以他們好像…沒有辦法在統整 的時候有具體的內容。
T1：來不及想好又要轉述出來，又要發表。
R：所以一直以來你希望他們在最後能統整出一個精緻化的結果，一直出不來的原因也有可能 在這裡。
T1：那解決的方式應該再降低階一點【TI- 20131106】
此外，T1 將任務設計類型分類成抽象思考與具象操做兩類，此點符應 Cañadas 等人（2007）
的主張，即不同的任務類型能夠促進學生在不同的情境下引動數學臆測思維，而統整策略的運 用，反映了 T1 希望藉由全班性的論述形成客觀的數學知識。
R：按照我們以前的討論，你讓學生靜下來後讓他又能進入數學情境的的方式，就是條件設定 好後現在開始玩，就有要有一個人負責記錄，然後上來說明過程發現什麼結果。
T1：可是現在又跳到只有純抽象思考，又沒有操作。
R：不然我們下一次就跳到同時並行啊！
T1：然後有立即的檢討。【TI- 20131204】
T1 建立學生數學探究學習社群最重要的策略是建立學習常規，一來幫助學生在學習軌線上 進行有效的學習外，二來「不讓任一孩子落後」的真義是幫助學生建立一個自主的學習環境。
R：姑且不論學生的表現，就是這一年你這樣做下來有什麼感想？
T1：就是要建立遊戲規則，建立模式，不要一個（老師）對三十幾個（學生），叫他去做什麼，
就是我以前會去告訴他們什麼是好的、什麼是對的、什麼是錯的，然後現在你應該做什麼、
你不要做什麼，然後一個人一直去提醒、一直去提醒。【TI- 20140610】
回顧 T1 的專業成長歷程脈絡，建設性意向是主導 T1 發展數學探究教學的關鍵。研究初期 T1 採傳統講述教學原因是考量績效責任，幫助學生把講義上的例題精熟，就能讓學生的學習成 就達到一定績效。因此，會產生學生參與活動意願不高的情形，因為數學任務內容無關乎考試，