本節將透過電子白板所扮演的角色與其應用於教學中對學童學習情況的影 響，及教學活動中所實施之學習單，依序說明所實施的三個教學活動歷程。
（一）「規律製造機」教學活動實施歷程
1. 透過電子白板呈現與規律相關圖片與動畫的例子，有助於引起學童的學習動 機與增加師生間的互動性
本研究為了強化學童將數學概念與生活連結，在教學活動一開始即讓學童 發表自己應用規律解決日常生活中的相關經驗，也利用電子白板呈現多媒體的 圖片或動畫等與規律相關的素材，藉此引起學童學習動機與體認察覺規律重要 性的共鳴。討論的過程中學童發表踴躍，學童起初分享的例子都不是利用規律 現象以解決生活中的「應用」，而是運用規律所得到的已知結果，因此研究者 舉例較貼近學童生活的經驗，藉此引發學童更深一層的討論。最後學童也列舉 出研究者在教學前未預設過的例子。
T：在看完老師電子白板中所舉的例子後，大家來說說看生活中有那些規律 的現象
M1：我知道，就是一心、二聖、三多…九如、十全
T：沒錯，而且這些路都是互相平行的喔！那依照數字命名有什麼好處阿？
L1：比較好記。
T：除了比較好記，我們還比較不會迷路阿！譬如說，如果你要往北走，我 們就可以看路名的數字是不是一直往上加，數字越大就越北邊，越小就 越往南邊，這就是規律的應用阿。你們再想想看有沒有其它的？
H2：我知道了，像我們家的門牌號碼！數字會變，還有很像都是單號、雙 號不同邊。
H1：還有電話號碼的前兩碼。
T：不錯喔。這個老師也沒有想到，我們可以從來電顯示知道這是哪裡打來 的，而且數字大小跟地區也有關係。 （教學活動師生互動記錄 0520）
利用電子白板呈現與規律相關的例子
2. 透過電子白板拖曳與搬移的功能以分類形數圖形，有助於學童運用直觀推理 能力
研究者佈題呈現依照方格緊密排列所設計的 15 個形數圖形，學童可利用電 子白板操作，直接拖曳任意的形數圖形，依照所察覺的圖形規律作分類。從學 童分類的原因說明以檢視其是否具有直觀的代數推理能力。
T：解釋一下你為什麼要把這三個圖形放在一起？
L2：這邊多了 2 個（點數圖形多出來的地方），然後…
T：那這個圖和這個圖之間是不是怪怪的？
L2：應該少了一個。
T：因為上面沒有圖形了，你可不可以幫我畫在白板上？
L2：（畫出第三個圖形如下圖右），這邊會再多 3 個，然後第四個圖。
（教學活動師生互動記錄 0520）
在學童分類說明規律的過程中，發現學童無法完整描述圖形的規律。一般 都僅介紹方格是如何增加，而忽略了描述形數圖形所具有的相似外型。故在學 童分享中，研究者也適時引導學童藉由描述圖形的外觀與方格延伸的模式來說 明形數圖形的規律。
T：那你說說看這四個圖形的規律是怎樣？
H2：就 2、4、6、8…
T：你說的是數量，那形狀有沒有關係？
H2：有阿，都是長方形。
T：你跟大家說一下每一個圖到底是依照什麼規律變成下一個圖？
H2：都一直增加 2 個。
T：你可以點出來是哪 2 個嗎？
H2：最後這兩個。
1 2 3 4
（教學活動師生互動記錄 0520）
3. 透過「規律製造機」學習單檢核學童是否能判斷圖形的規律
研究者試圖由學童所自行設計的形數圖形，檢視其對圖形規律「察覺」與
「運用」兩方面的能力。填寫結果顯示學童皆能自行設計出蘊含規律的形數圖 形，並能由圖形外觀與方格數量延伸的共同性質作簡單的描述。
學習單問題：請將你所製造的規律圖形畫下來，並簡單的描述它的規律。
H1 M1 L1
H2 M2
L2
(二)「小小規劃師」教學活動實施歷程
1. 透過電子白板結合 Flash 程式以創作形數圖形，易使學童「感受」形數圖形規 律的延伸
利用電子白板搭配 Flash 軟體的程式，請學童上台作圖分享自己設計的形數 圖形。透過作圖的過程，學童可將圖形規律延伸模式的歷程作完整的呈現，教 學者和其他學童也可從構圖的順序感受到其依照規律延伸的歷程。
T：換 H2 來說說你的十字架。
H2：（利用電子白板操作）
T：解釋一下你設計這個圖形的規律。
H2：我的就是一個十字架，每次都一直往外面增加 4 個方格（右圖圈起部 分）。
T：大家有看到嗎？他每次都增加這四個。所以他的十字架就一直越來越大 囉。
（教學活動師生互動記錄 0520）
2. 在電子白板限制的範圍中以延伸形數圖形，有助於學童預測形數圖形中的數 量關係進而形成遞迴推理能力
研究者佈題在一有限制的範圍中，讓學童將自己所設計的形數圖形作延 伸，預測與規劃「第十個」圖形是否能完整呈現在此範圍中，從預測方格延伸 的模式建立學童察覺共同數量關係模式的能力。
學童在預測第十個圖形的方格數時，一般都是利用所察覺圖形的規律一一 點數的方式往下推算，例如先算出第三個再算出第四個，以此類推依序算出到 第十個圖所需要的總方格數。雖然此類學童已具備有利用所察覺圖形的規律推 算下一個的遞迴推理能力，但對於方格數量關係的共同模式仍無法從預測的過 程中建立。
T：解釋一下第十個為什麼全部是 12 個方格。（如右圖）
M2：因為都相差 2，所以第十個圖加 2 就是 12 個。
T：怎樣相差 2，跟大家再說清楚一點。
M2：因為第一個圖有 3 個，第二個圖有 4 個，第三個圖有 5 個，就是 1 比 3、2 比 4…，都相差 2。
T：這樣算是比的關係嗎？比值有一樣嗎？
M2：很像不是？
T：不過 M2 很好喔！他發現這兩個數之間有關係，只要加 2 就可以知道是 多少了。
（教學活動師生互動記錄 0527）
在分享的過程中，大部分的學童都能順利的將自己的結果作呈現，但與研 究者起初想透過「規劃」的方式確有一段落差。因為學童多是利用嘗試錯誤的 方法透過電子白板作圖，並無規劃好第十個圖形應該從何處開始畫起，直到完 成後才敢肯定回答研究者的問題「是否能在此範圍中完整呈現？」。其中，僅 有 H1 能完整的按照研究者的佈題，達到需「事先規劃」的要求。
T：大家做做看你的圖形可不可以在這個範圍裡面畫出來。
H1：範圍有多少格阿？
T：我們一起來數數看阿。1、2、3…，所以長邊有 24 格，寬邊有 18 格，
大家開始試試看吧。
T：你的眼鏡每邊變成幾格？
H1：10 格。
T：為什麼會有 10 格。
H1：因為第一個圖是 1 格，然後一直各增加一個，
所以第十個就會是 10 格。
(教學活動師生互動記錄 0527) 3. 透過「小小規劃師」學習單檢核學童是否能利用圖形規律察覺未知的數量關
係
研究者佈題給定一組規律形數圖形與一個未知第幾個圖形的方格數量，讓 學童進行反向思考，逆推需要此方格數量是該組圖形的第幾個圖？由學童的解 題策略與算法記錄，從中得知其是否運用所察覺的形數圖形規律作逆運算，或 已發展出共同的數關量關係模式並運用進行解題。藉此檢視學童能否達到遞迴 層次的代數推理能力。六名學童的學習單中，H1、H2、M1 及 L1 是利用已知的 共同數量關係模式（每延伸一個圖形會增加 5 個方格），作逆運算進行解題（已 知方格數量÷每次增加的方格數 5），顯示其能運用遞迴層次的能力進行逆向的 思考。
學習單問題： 若按照這個規律長大後的圖形全部需要 81 個方格，請問是這一組 圖形的第幾個「長大」的樣子呢？請將你的想法寫下唷？
18
24
94
M1 計算結果與解題策略說明
M2 和 L2 雖已察覺圖形延伸的規律模式，但解題策略卻是從第一個圖所需 的方格數依序列出，直至符合問題所要求的數量 81 個而得到是第 16 個圖形。
雖然後者的方式並不如研究者預期是利用逆推的方式進行解題，但其與前者都 能利用所察覺形數圖形的規律，預測推理下一個圖形的方格數量，顯示兩解題 類型的學童皆已具備遞迴層次的代數推理能力。
M2 解題策略說明 (三)「公式發明家」教學活動實施歷程
1. 利用電子白板所設計的二維表格以記錄算式，有助於學童察覺數量關係中的 變數，進而以代數符號列出一般式
研究者利用 H1 所設計之形數圖形進行佈題，透過二維表格的方式將「第幾 個圖形」、「所需方格數量」和「方格數量算式」一一記錄下來，學童在透過
二維表格察覺形數圖形共同的數量關係模式後，亦能利用此關係式作延伸並列 出方格數量的算式，此時研究者再進一步引導學童察覺關係式中的變數，並透 過詢問如何描述形數圖形所需的方格數量讓學童參與討論，並引發其體認使用 代數符號列式的需求性。
形數圖形佈題 二維表格呈現記錄 T：大家看看算法好像都一樣。有沒有不一樣的地方？（算式 1）
M2：有唉！只有乘以 5 的數字要改。
T：很好喔！那我把它圈起來，你覺得這些圈起來的數字為什麼會變阿？又 是怎麼變的？
M2：因為都會一直增加 5 個。
H1：就是要算第幾個圖形就把它減 1。
T：沒錯…這其實就是在算有幾個 5。譬如說第三個圖就是多了二個 5，第 十個圖就是多了九個 5。
T：現在如果圖形一直延伸到第 1000 個，你知道怎麼算嗎？
M1：可以啊，就是 6＋(1000-1)×5。
T：如果要告訴別人第 2000 個圖形的方格總數要怎麼算，你會怎樣說明呢？
M1：就是看你要算第幾個圖，把它減 1 之後乘以 5，再加 6 就可以了。
T：恩，可是有沒有更簡單的方法呢？
S：……（沈默）
T：譬如要你算第 x 個，你要怎麼算？
M1：就是把 x 減 1 之後乘以 5，再加 6。
T：沒錯啊！你可以把剛剛說的按照原本的方式寫成一個算式嗎？
H1：是 6＋（x-1）×5 嗎？
T：很好阿，這就是我們自己所想出來的公式喔。
T：很好阿，這就是我們自己所想出來的公式喔。