一次不等式之解題正確百分比

第四章結果與討論

本研究從 204 位學生在一次不等式測驗試卷的基本概念及應用 問題的解題表現加以分析，探討學生發生錯誤原因，本章根據研究待 答問題將結果分為四個部份說明。第一節以學生在不等式單元測驗結 果的正確率探討學生在不等式測驗的表現情形；第二節依學生解題的 結果分析學生的解題策略；第三節將學生錯誤類型作歸類、整理出學 生在本研究中出現的錯誤類型。第四節根據第三節的歸類探討其發生 錯誤的原因與學生的困難。

一、學生在各試題之表現情形統計

本研究將一次不等式試題區分為四類如下：甲類-以文字符號列 式[列式]、乙類-不等式運算法則[算則]、丙類-不等式求解[求解]、

丁類-文字問題求解[文字題]，所有學生在一次不等式測驗中每一題 之答題情形，包含答題人數、答對人數、正確率如下表（見表 4-1-1）。 表 4-1-1 學生作答正確率統計表

主題分類 題號 答題人數 正確人數 各類平均確率 2 204 96

甲-[列式]

7 204 125

0.54

1 204 122 乙-[算則]

5 204 116

0.59

4 204 146 丙-[求解]

6 204 111

0.63

3-1 204 101 3-2 204 52

8 204 82 9 204 99 丁-[文字題]

10 204 72

0.40

由上表學生在不等式測驗卷的平均正確率為 50，四類型平均正 確率 54，顯示半數的學生在文字符號計算與不等式解題是有困難的，

四個類型的表現以丙類的不等式求解（63％）最佳，其次為乙類的不 等式運算法則（59％），再來是甲類的以文字符號列式(54％)，最差 為丁類的文字問題求解（40％）；其中學生在乙類的不等式運算法則

（59％）、丙類的不等式求解（63％）、文字符號列式(54％)明顯優於 丁類的文字問題求解（40％），此差距顯示了學生能了解運算規則並 操作符號的運算，但對不等式數學實質意義並未真正理解與熟練，對 文字理解的符號表示也有所缺乏，符合前述國內研究袁媛（1993）、

王如敏（2004）等的研究結果：學生對文字符號的理解有很大的差異，

無法真正連結文字符號與題意之間的訊息。尤其當出現了學生不常見 的題型或文字敘述時（如題 3-2、題 10），由於上述能力的缺乏，正 確率呈現明顯的下降。

二、各國中學生作答的情形

以下表格以學校為不同樣本群體，統計不同學校的學生在各題目 的正確、錯誤與空白未作答作答情形(表4-1-2)。

表4-1-2 三所國中學生各題表現統計表

A國中 B國中 C國中

類 題 正確 錯誤 未答 正確 錯誤 未答 正確 錯誤 未答 2 0.45 0.33 0.22 0.54 0.23 0.23 0.44 0.45 0.11 甲

7 0.63 0.24 0.13 0.58 0.33 0.09 0.47 0.48 0.05 1 0.65 0.35 0.00 0.58 0.42 0.00 0.53 0.47 0.00 乙

5 0.55 0.37 0.08 0.73 0.22 0.05 0.40 0.55 0.05 4 0.78 0.16 0.06 0.70 0.25 0.05 0.68 0.29 0.02 丙

6 0.63 0.27 0.10 0.61 0.29 0.10 0.37 0.57 0.06 3-1 0.51 0.31 0.18 0.56 0.33 0.11 0.40 0.37 0.23 3-2 0.35 0.35 0.30 0.23 0.38 0.39 0.17 0.48 0.35 8 0.46 0.21 0.22 0.52 0.33 0.15 0.21 0.66 0.13 9 0.56 0.21 0.23 0.59 0.22 0.19 0.28 0.40 0.32 丁

10 0.42 0.32 0.26 0.30 0.31 0.39 0.32 0.27 0.41 平均 0.55 0.29 0.16 0.54 0.30 0.16 0.39 0.45 0.16

三個不同的樣本群中，A 國中正確率 56％與 B 國中正確率 54％

相近，而 C 國中正確率 39％較前兩者為低，雖然各樣本群間表現的 比較不是本研究所探討的重點，影響此差距的因素很多，但從各群學 生中解題行為共通性的比較中可發現，除了教師教學方式與城鄉差距 的因素外，可從接下來的學生表現的比較探討發現，學校使用教科書 版本的不同應是影響學生表現的重要因素。

三、學生解題表現討論

研究者所編之測驗卷題目包括四類主題：甲類-文字符號列式；

乙類-不等式運算法則；丙類-不等式求解；丁類-文字問題求解。以 下分別對學生在各類題型的表現作說明。

甲類-文字符號列式：甲類問題分別列於第 2 題與第 7 題，第 2 題的正確率為 0.54 與 7 題的正確率為 0.59 高於各類問題的平均表 現，可見半數學生已具以文字符號表示的能力；第 2 題的題目敘述中 內含男生平均數、女生平均數、總平均數三個項目，而要求以一個指 定未知數(X)對三者間的關係以不等式作表示，對於分組平均量與總 平均量關係概念不清楚的學生會造成文字符號轉譯上的困擾。在這一 組題目中，由國中基本學力測驗題改編的第 7 題，學生必須對圖形中 放入 3 個玻璃珠但水位仍不足和放入 5 個玻璃珠造成滿溢，對數值上 的認知與不等符號作連結。研究者對各小題的細分統計時，發現有

161 位(79％)的學生能觀察到前第 1 小題與第 2 小題中圖形與文字的 不等符號關係，能對不等量作適當的符號表示，但在第 3 小題對兩個 不等關係做合倂求其交集關係時，有多位學生由於對交集意義不了解 或相關問題處理經驗的缺乏，會有停止繼續作答或自創表示式的情 形，可見學生對不等式的範圍解概念沒有真正的理解。

乙類-不等式運算法則：乙類問題分別列於第 1 題與第 5 題，對 於運算法則的熟悉學生都有較好的表現，正確率分別為 0.60 與 0.57。其中第 1 題中學生的答案有 87％的選項集中於第 C 與第 D 選 項，顯示學生對 A、B 選項中不等式兩邊同時加、減某數不會造成不 等符號方向的改變的概念很有信心，但對等式兩邊同時乘以或同時除 以某數時會感到困惑，除了對意義的理解不足，也有過於依賴記憶口 訣的情形，研究者在晤談的過程中，發現學生在比較兩數關係時會受 限於正數與正數的比較、很少會考慮到負數與負數、正數與負數的比 較關係，研究者認為學生在做兩數的比較時，除了對特定數系的迷 失，沒有理解「數」在數線上的意義會是產生此類錯誤的重要原因；

學生在第 5 題有 0.95 的高作答率，顯示學生對不等式運算有信心，

但僅有 57％能完全正確，除了在運算技巧、負號對不等符號的處理 外，選答的錯誤也佔有很大的比例，同樣也顯示了學生沒有理解數在

丙類-不等式求解：此類觀察學生解不等式運算技巧的題目分別 列於第 4 題與第 6 題；不等式的求解是學校不等式教學的重點，學生 在此也有較好的表現，第 4 題的正確率為 0.72 為本問卷的最高表現。

丙類的第 4 題為教科書中的基礎題型，除了將指定數代入不等式以判 斷解的方法，有更多的人選擇以兩不等式求交集以判斷解的方法，但 有發現到不同學校解題策略的使用比例有很大的差距，其中在第 6 題 時尤為明顯，使用南一版本的 A 國中與 B 國中正確率為 0.63 與 0.61，

明顯高於使用康軒版的 C 國中正確率 0.37，此部分會在第二節探討 解題策略時，分析此現象可能的成因。

丁類-文字問題求解：數學的文字題型通常是學生感到困難之 處，本單元也不例外，文字問題求解運算是應用題的主要能力，從程 序上學生必須看懂問題、瞭解解題的目標、提出正確的假設、列出適 當的式子、以正確的運算求得解答、做出正確的判斷、寫出正確的答 案，此問題解決的完整過程乃是前三類問題解決能力的總和，完整達 成解題對學生而言並不容易。此類問題為第 3 題、第 8 題、第 9 題與 第 10 題，學生答對的比率偏低，此四題的平均答對率僅 0.40，同時 也有 0.27 的高空白率，顯示學生對文字題的理解轉譯列式表示到運 算求解的過程感到困難，以第 3 題而言，從兩個不同難度的布題下學 生表現的結果發現：在第 1 個子題以 60 場為母數以求六成以上勝率

時還有 0.50 的正確率，但第 2 子題中以 30 場加上連續皆贏場數為母 數的六成以上勝率求連續贏的場數時，卻僅 0.25 的低正確率，原因 在於第 2 子題的問題敘述方式學生感到不習慣與沒有理解母數為不 確定數的概念。綜合學生在幾題文字題的表現，可發現學生對熟悉的 題型有較高的作答率與正確率，也能依題意設未知數與列式，對不常 見的敘述語法或高層次的思考問題(第 3 題第 2 個子題與第 10 題)則 感到不知如何回答問題。

在國內吳季鴻（2001）、楊金城（2004）與國外 Simon (1980) 等 的研究結果：學生因為具備的預備知識不足、沒有注意關鍵字句，使 學生缺乏了解代數是如何結合數學的關係式，當題目取材至真實情境 中時，學生似乎不能就真實世界的狀況來思考。測驗結果發現：當題 目是機械性的運算操作時學生有較好的表現，但是對轉譯文字對應到 代數符號時常面臨困境，學生能否瞭解及分析題意、是否能掌握解題 的關鍵與發揮數學基模知識來辨別及決定不同題目該使用的解法和 方向，是教學者需要發更多的時間來引導學生的地方。

整體而言，在每題一均至少安排一個文字符號運算概念的布題 下，學生的整體表現並不高，全部共 11 題(第 3 題有兩個子題)的答 對總平均為 0.54，此平均數並不代表學生在此單元沒有學習完整，

表現中找到學生解題困難的地方，進而利用面談的方面去確定學生的 學習成果與思考方式，接下來的單元分別對學生正確解題的資料分析 學生在不等式的解題策略，對學生錯誤解題的資料分析學生解題錯誤 的成因。