解不等式錯誤類型的原因與分析

本研究藉由收集學生測驗的紙筆資料歸納學生的解題策略與錯 誤類型，以發現學生學習代數在不等式單元會有那些方面的困難，或 產生的迷失概念，分析其困難與產生迷失的原因，給與教學的改進方 向。針對學生的錯誤類型採用「含指導語的晤談方式」，以了解學生 對測驗題的認知與解題行為，用引導的方式讓學生能說出其想法，透 過引導性的發問發現學生的困難，進而引領學生於晤談過程調整想 法，走向正確理解的途徑達到正確解題的目標，或透過學生反思了解 出現錯誤的原因，使其學習能更具信心與興趣。

造成學生在解題時出現錯誤，其原因可能不僅是單一的原因或單 一的困難，有可能在某一小地方或過程的失誤造成，也可能是多方面 能力之不足所致。Movshovitz-Hadar , Zaslavsky, Inbar (1987) 將學生 解題錯誤原因分為六類：(1)誤用資料、(2)誤釋語意、(3)不合邏輯的 推論、(4)扭曲定理或定義、(5)未驗證解答、(6)技術上的錯誤。綜合 對學生在方程式解題的研究文獻（Kuchemann, 1981；戴文賓, 1999；

林清山、張景媛, 1994），學生由算術領域轉入代數領域時，因為不 了解文字符號概念，在方程式學習遇到些困難的原因有：1.解題過程 受舊經驗影響、2.對文字符號認知上的差異、3.對記號以及制約認知

上的差異、4.不了解同類項的意義與合併規則、5.不了解已知條件與 未知條件之關係、6.不會做假設導至假設與式子不符、7.不會計算含 括號的化簡問題、8.不了解方程式的意義、9.無法查覺到所計算的答 案是否合理。

本研究綜合上述研究並參考學生文字符號運算概念之研究(許正 諭，2005)的節結果與不等式解題研究(陳聖雄, 2005；吳季鴻, 2001)，對學生在不等式單元解題測驗上的錯誤原因作以下分類：

D1.算術思維的錯誤類推

D2.舊思維上的解題策略受新思維干擾 D3.不瞭解符號的正確表示法

D4.認為未知數僅表示特定的數系 D5.對運算定律、法則不瞭解或誤用 D6.忽視題目的數據與資料

D7.缺乏對「以文字符號代表數」的認知 D8.對數學的邏輯語法與定義不清楚 D9.缺乏將文字敘述轉譯成代數式的能力

學生在不等式單元產生錯誤的原因依解題歷程分類整理如下：

解題歷程 了解問題 擬定計畫 執行計畫 回顧

類別 轉譯 計畫與監控 解題執行 問題整合

錯誤類型 E1 不了解題意 E2 誤用符號 E3 錯誤組合數值 E6 假設錯誤

E7 誤用未知條件 E8 誤用解題策略

E9 數值運算錯誤 E10 符號運算錯誤 E11 誤用運算規則

E4 錯誤概念 E5 誤判解答

二、錯誤原因與困難分析

本 單 元 以 學 生 晤 談 所 選 取 的 題 目 進 行 學 生 紙 筆 資 料 呈 現 錯 誤 類 型 與 晤 談 的 結 果 作 錯 誤 原 因 與 困 難 的 分 析。晤 談 對 象 主 要 是 針 對 在 一 次 不 等 式 紙 筆 測 驗 的 資 料 中 明 顯 有 困 難 者 ， 於 甲、乙、丙、丁 四 類 題 目 中 每 一 類 中 挑 選 一 題 學 生 較 常 發 生 錯 誤 的 題 目 進 行 晤 談 ， 所 選 取 的 題 目 分 別 為 ： 甲 類 （ 第 2 題 ）、

乙類 （ 第 1 題 ）、 丙類 （ 第 6 題 ）、 丁類 （ 第 3 題 ）。

以下以四個類型的晤談題針對錯誤原因所引發的錯誤類型的分 析作舉例說明：

甲類-以文字符號列式

【題教2】某國中三年一班共有確生40人，到中有25位不男生，某次數確晤考，

全班平均分數不低於72分。假設男生平均分數解x分，女生的平均分數比男生的 平均分數多4分，則：

依據題意可列出x的一次不等式解___________________

錯誤原因 D1 造成數值運算錯誤(E9)：學生在數值計算過程沒有注意 數字的位數，出現數字計算的錯誤使運算結果位數不正確，學生在移 項計算時將數字 72×40 計算失誤使表示式[5X＋15(x+4)]≧288 的數 值少了一個位數。

錯誤原因 D3 造成誤用符號(E2)：學生不瞭解符號的正確表示法，部 份學生對不等符號中「不大於」、「不低於」、「不足」等反向涵意的符 號界定不清，常有誤用而不自知的情形，例如將題目中的平均不低於 72 分以

40

) 4 ( 15 25X + X +

＞72 表示，忽略了題意中有可能「等於」的情 形。

錯誤原因 D5 對運算規則錯誤(E11)：學生在學習「正負數與括號的運 算」時就有些學生已經迷失還沒有得到適當的修正，加上粗心的干擾 使有些學生對分配律如 15(X+4)的展開沒有充分的理解，出現[5X＋

15x+4)]≧2880 的錯誤，此類學生能順利的計算出答案，但結果是「有 時後會對」或「有時後會錯」，尤其在在展開示中具有負號或係數時 常會出現此類錯誤，原因在於學生對運算定律、法則不瞭解或誤用所 造成。

錯誤原因 D8 造成不了解題意的錯誤(E1)與數學概念的錯誤

(E4)：發生此項錯誤的學生，主要是因為對數學邏輯的語法與定義不

用的條件辨識不清楚，以致不了解題目的解題目標，沒有掌握到關鍵 詞句的涵義而產生錯誤，例如學生會忽略了全班總分為平均分數×學 生總人數，將表示式寫為 25X＋15(x+4)≧72，但此表示式並不完整。

對於不了解平均數定義的學生，即始他能理解符號所代表的意義，也 可能錯置除數的位置，如：25X＋15(x+4)÷40≧72。

錯誤原因 D9 造成假設的錯誤(E6)：學生對文字敘述轉譯成代數能力 的不足，造成學生假設出錯誤的不等式，學生會對部分資訊過於重視 而忽略其他必要的已知條件，若加上數學概念的錯誤或運算符號的錯 誤表示，則會出現和題意要求有很大差距的表示式，例如：X+X+4≧

72 的表示式中，可能看出學生只關注到男、女分數的不同，沒有注 意個別人數的不同與平均數的意義。也有學生能正確將男生的總分 25X 加上女生的總分 15(X+4)，得到全班總分為 40X+60，卻誤解平均 數的意義，將全班總分除以 2，表示成(40X+60)÷2≧72。由於不少學 生在代數能力轉譯的不足也有出現如[X＋(X+4)]÷40≧72 的情形，此 表示式中沒有將男生人數乘上男生分數、女生人數乘上女生分數，因 此造成第 6 題雖然是填充形式，其出現的錯誤類型是所有題目中最具 多樣化的結果，學生缺乏文字敘述轉譯成代數式的能力是主要的原 因。

第 2 題學生面談結果

學生錯誤類型-數學概念的錯誤(E4)－錯誤情形：25X＋15(x+4)÷40≧72。

T1：你 在 這 題 的 答 案 不 正 確，請 你 再 詳 細 檢 查 表 示 式 找 出 錯 誤 的 地 方 。 S1： 看 不 出 來 (確 生 經 確 仔 細 重 看 題 教 並 比 針 使 答 案 後 ) 。

T2：那 我 們 從 最 開 始 的 地 方 一 個 一 個 步 驟 來 檢 查，你 要 把 你 的 結 果 說 出 來 。

S2： 好 。

T3： 全 班 40 人 ， 到 中 男 生 有 25 人 ， 那 女 生 有 幾 人 ？ S3： 40-25， 有 15 人 (很 肯 定 )。

T4： 全 部 男 生 分 數 的 總 分 確 解 表 示 ？ 可 以 用 寫 的 。 S4： 25x(邊 說 邊 寫 )。

T5： 好 ， 那 麼 女 生 的 總 分 數 又 確 解 表 示 ？ S5： 女 生 分 數 不 x+4， 所 以 不 15(x+4)

T6： 很 好 ， 到 教 前 都 很 正 確 。 那 現 在 寫 出 全 班 的 總 分 。 S6： 總 分 不 25x+15(x+4)。 (確 生 覺 得 很 振 奮 )。

T7： 全 班 有 40 人 ， 那 麼 全 班 的 平 均 不 多 少 ？ S7： 25x+15(x+4)÷40

T8： 現 在 再 把 不 低 於 72 分 ， 加 到 表 示 中 。

S8： 25x+15(x+4)÷40≧72。(確生針現和使來的答案閱同而感到奇怪)。

T9： 這 選 好 了 ， 你 把 它 寫 成 分 數 的 形 式 。

S9： 72

40 ) 4 ( 15

25x+ x+ ≥

T10:這 個 答 案 不 正 確 答 案 ， 請 你 比 較 看 看 和 使 來 的 式 子 有 解 不 同 S10： … … …

T11： 針 現 錯 誤 的 使 使 了 嗎 ？

S11： 全 班 平 均 不 全 班 總 分 除 以 全 班 人 數 ， 使 來 的 式 子 中 只 有 女 生 的 分 數 有 除 以 40， 男 生 的 沒 有 。

T12： 確 果 我 不 想 以 分 數 表 示 那 要 怎 麼 做 ？ S12： 25x+15(x+4)≧72×40

面談分析

研究者先讓學生對自己的答案先做觀察，讓學生先做第一次的反 思動作，然後以階段性的引導讓學生逐步把結果以分段的方式說出，

不等符號的表示，研究者也從中發現此學生對平均數的定義大致上是 清楚的，此時學生卻發現結果和原來的答案相同，這時研究者發覺在 語言敘述上無法讓學生看出不等式的不同，「男生的總分加上女生的 總分除以學生的總人數」中文語言和數學語言在結構上是有區別的，

因此給予適當的引導讓學生改以分數的形式表示，讓學生以不同的模 式作表示式，並給予對其答案的肯定，學生則開始自動做第二次的反 思動作，給與答案合理化的解釋發現其對原表示式錯誤的地方，在上 述過程中學生對分段式的答案較具信心，研究者則去發現如何讓學生 不會出錯的運算模式並給予修正意見，讓學生能找出自己出現錯誤的 地方。

如同戴文賓(1998)對由算術領域進入代數領域的國一學生學習 現象的研究發現，只要學生得到解題與輔導的機會，都願意且有能力 進入代數領域，這能克服學生不肯學習數學的情形。國三學生即使對 代數學習已有長時間的學習經驗，但是在解題過程中還是常會遭遇困 難，從上數學生的晤談實例，學生需要的並不是長時間的反覆練習，

透過對語言結構的辨證，學生能從錯誤的經驗中理解語言與符號的轉 化所應注意的細節。

乙類-不等式運算法則

【題教1】（ ）已知a、b和c三數，若a＞b，且ac＜bc，則下列哪一個一定不正 確的？

(A) a＋c＜b＋c (B) a－c＜b－c (C)

a

c < b

c

c b a <c

錯誤原因 D2 造成運算規則的錯誤(E11)：發生此類錯誤的原因是學生 的新思維（解不等式）解題策略加入到已經習慣的舊思維（解方程式 或等式）的解題策略產生干擾，直接套用所背誦運算規則而沒有考慮 其它可能情形，例如學生知道不等式兩邊同乘以一個負數時就必須改 變不等符號的方向而選取 C 選項。

錯誤原因 D4 造成概念的錯誤(E4)：學生從 a＞b 且 ac＜bc，判斷因 為「＞」的兩邊同乘以 c 使得方向改變為「＜」，所以 c 必為負數。

因此在 a²＞b²的條件下，若兩邊也是同乘以 c，則必須改變不等符號 的方面故答案一定是 C 選項：a²c＞b²c，但是由於學生認為未知數僅 表示代表一個特定的數，大部份的學生認定 a、b 應該都是正整數，

而沒考慮 a²＞b²的真實性，而出現概念的錯誤，很多學生都是以正數 或正整數來驗證未知數。

錯誤原因D5造成運算規則的錯誤(E11)：當學生知道一個大家都在用 的口訣時，往往會忽略計算法則的推理過程與其細節，此種對運算定 律、法則不瞭解會造成運算規則的錯誤，例如:有學生認為在a＞b，c

＜0的條件下

c b

ca < 是正確的，因為他知道：兩邊同「乘以」負數要

變號。而他固執地相信除法不是乘法，忽略了「除以c就是乘以c的倒 數」的另一個計算原則。

錯誤原因 D6 造成運算規則的錯誤(E11)：忽略題目的數據與資料 也是造成運算規則錯誤的原因之一，學生忽略已知條件中 a＞b，且

ac＜bc 暗示 c 即為一個負數的訊息，而認為 D 選項的

c b

a <c _是錯誤 的，而選取其它選項。Matz (1982) 提出的錯誤形成原因：第一是學 生錯誤地使用法則，第二是學生在不恰當的時機使用不適當的法則。

也就是說學生會因能力不足會在解題過程使用不適當的法則，或者在 解題過程中將舊經驗類化到不適用的新題目中。

第 1 題學生面談結果

學生錯誤類型-數學概念的錯誤(E4)－錯誤情形：答案為 C 選項。

T1： 你 在 這 題 的 答 案 不 錯 的 ， 請 你 重 看 題 教 再 重 新 不 答 。 S1： 答 案 不 D(確 生 沒 有 重 看 題 教 而 立 即 不 答 ) 。

T2： 解 什 麼 ？

S2： 使 解 A 和 B 一 定 不 錯 的 。 那 答 案 一 定 不 D 了 。 (很 有 自 信 )。

T3： 怎 麼 說 A 和 B 一 定 不 錯 的 。

S3： 使 解 A 和 B 不 兩 邊 同 時 加 和 同 時 減 ， 同 加 、 同 減 不 不 會 變 號 的 。 T4： 那 C 解 什 麼 不 錯 的 。

S4： 不 知 道 。 (立 即 就 說 )。

T5： 好 ， 那 麼 你 現 在 把 錯 的 使 使 找 出 來 。 S5： 沒 找 到 。 (立 即 就 說 )。

T6： 那 這 選 好 了 ， 你 確 解 c 不 正 數 還 不 負 數 。 S6： c 不 負 數 。

T7： 解 什 麼 ？