第五章 結論與建議
第二節 建議
一、教學方面的建議
(一) 實際數值的使用與比較：
不等式以比較大小為起點，在本次研究結果，學生在解答判斷 能力較差，教學者可以用更多的實際數值的使用與比較，來確立學生 對不等式判定的數感，尤其是在負數值的判定上，教學者應在教學過 程利用解題示範的時機，結合數線概念，引導學生落實數線標示的實 證工作，內化數值在不等式中的合理意義，破除學生對整數解的迷 失，應可使學生避免此類的錯誤，並增進學生對運算規則的理解。
(二) 重視文字轉譯的訓練：
本研究發現：學生在此單元最大的困難在於文字符號的轉譯 上，從幾題學生以列舉的方式求解的例子，可知學生對數值接受度高 於文字，教學者可藉由更多對問題作實證行為，使學生理解題目中不 等條件，加強學生對關鍵詞句的掌握能力，協助學生具有文字符號的 列式能力，學生使用經驗的增加，應能降低學生上課有理解與測驗時 不會寫的落差，對於多層次的思考題還是以引導式的問句為訓練方式 為宜，減少學生直接放棄作答，方有助於學生在代數學習的思考與解 題。
(三) 做好實證的工作：
綜合學生測驗結果的資料與學生晤談的經驗，可發現學生在
「運算」部分出現錯誤有些是急於求解，導致某一步驟失誤，或是「粗 心大意」致運算錯誤，要不就是數值計算能力的缺乏，這些部分應可 透過細心、練習、計算習慣的調整加以糾正而獲得改善；至於文字符 號的能力與文字題的問題解決方面，有學生反應：『上課老師講的都 很簡單，也都有聽懂，但遇到測驗題目時是容易錯。』。學生會將看 懂老師的解題行為誤認為自己在聽懂後也能做到，因此上課老師對語 言連結到文字符號的說明與解釋的過程，應引導學生在課堂內對上課 內容的數學原則做實證的工作，將教師教學過程中的數學概念轉化為 學生的數學知識，強化學生數學概念轉譯為符號文字的理解。
二 對未來研究的建議
(一) 不等式學習對不同學習階段的成就與影響
本研究目的在探討學生在不等式單元的解題策略和錯誤類型的 原因與困難，施測與面談對象為國中三年級學生，使用課本為國中數 學第六冊。在最新教科書的編輯，此單元現已編排在七年級學習完二 元一次聯立方程式之後，對於七年級與九年級學生兩個不同的學習歷 程，是否會有相當類似的學習表現與學習困難，建議未來可針對此方
(二) 教科書編選對不等式學習表現
本研究樣本的三所學校所使用的教材僅包含 X 版與 Y 版共兩個版 本，目前市面上使用教科書計有四個版本，本研究結果已呈現在不同 版本間有某些程度上的差異，但在所有不同版本的教學下是否真的存 在不同的差異與影響，此全面性的問題或可提供後續的研究做探討。
(三) 其它變項在不等式的研究
本研究目的在探討學生解題策略和錯誤類型的原因與困難，並 未探就其它的變項，諸如：地域、性別、學習成就、學習態度與補救 教學對此單元學習的影響，都可作進一步的探討。
參考文獻 一、中文部分
九章（1996)。錯在那裡？：中學生解數學題常犯的錯誤分析。九章 出版社。
王如敏（2004）。國二學生解一元一次方程式錯誤類型分析研究。國 立高雄師範大學數學系碩士論文。
仁林出版社（2006）。國民中學數學教師手冊第六冊。
余民寧（1999）。國小數學學習障礙學生的知識結構評量與數學學習 障礙診斷測驗編製之研究。行政院國科會專案研究。
李靜瑤（1993）。高雄市國二學生數學解題歷程之分析研究。國立高 雄師範大學水利及海洋工程學系碩士論文。
吳明玲（2003）。國小二年級學童數感表現之研究。屏東師範學院數 理教育研究所。
吳季鴻（2001）。高雄地區高三學生一元二次不等式運算錯誤類型之 研究。國立高雄師範大學數學系碩士論文。
林清山（1987）。認知心理學對教育研究的影響。現代教育，第四卷 第六期，71-85 頁。
周宏樵（2004）。八年級學生對代數文字題錯誤類型分析之研究。國
金玉麒（1987）。國中生絕對值及不等式概念的錯誤分析與補救教學。
國科會專題研究。編號：NSC75-01110-S017-005。
南一書局（2006）。國民中學數學教師手冊第六冊。
袁 媛（1993）。國中一年級學生文字符號概念與代數文字題的解題 研究。國立高雄師範大學數學系碩士論文。
莊松潔（2005）。不同年級學童在具體情境中未知數概念及解題歷程 之研究。國立中山大學教育研究所碩士論文。
許正諭（2005）。九年一貫體制下國中生文字符號運算概念認知理解 情形之研究。國立高雄師範大學數學系碩士論文。
陳聖雄（2005）。高一學生解一元二次不等式的主要錯誤類型及其補 救教學之研究。國立高雄師範大學數學系碩士論文。
陳建廷（2006）。國一學生一元一次方程式解題歷程之研究。國立中 山大學教育研究所碩士論文。
陳慧珍（2001）。南投縣國一男女生對文字符號概念與代數文字題之 解題研究。國立高雄師範大學數學系碩士論文。
黃明晃（1998）。數學年夜飯。台北市。心理出版社。
康軒書局（2006）。國民中學數學教師手冊第六冊。
楊金城（2004）。國一學生解數學文字題解題歷程之分析研究。國立 高雄師範大學數學系碩士論文。
蔡育霖（2005）。嘉義地區八年級學生一元一次方程式單元錯誤類型 之分析研究。國立高雄師範大學數學系碩士論文。
鄭麗玉 (1994)。認知心理學。台北市。五南出版社。
謝孟珊（2000）。以不同符號表徵未知數對國二學生解方程式表現之 探討。國立台北師範學院數理教育研究所。
謝明昆（2002）。國二學生解數學文字題歷程之分析研究。國立高雄 師範大學數學系碩士論文。
戴文賓（1998）。國一學生由算術領域轉入代數領域呈現的學習現象 與特徵。彰化師範大學科學教育研究所碩士論文。
二、英文部分
Brown, J. S. & Vanlehn, K. (1980). Repair Theory : A generative of theory of bugs in procedural skill. Cognitive, 4, 379-426.
Collis, K. F. (1975). The development of formal reasoning. Newcastle:
Australia: University of Newcastle.
Femiano, R. B. (2003). Algebraic problem solving in the primary grades.
Teaching Children Mathematics, 9(8), 444-449.
Kaput, J. (1998). Transforming algebra from an engine of inequity to an engine of mathematical power by “algebrafying” the K-12
curriculum. In National Council of Teachers of Mathematics(Eds.), The nature and role of algebra in the K-14 curriculum. Washington, DC: National Academy Press.
Kathlen, T. T. (1986). Error reduction strategies for whole number operations in grade four. Doctoral Dissertation, University of
Kieran, C. (1992). The learning and teaching of school algebra. In D. A.
Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning. New York: Macmillan Pub.
Kilpatrick, J. (1985). A retrospective account of the past 25 years of research on teaching mathematical problem solving. In Silver, E. A.
(Ed.), Teaching and learning mathematical problem solving:
Multiple research perspectives, (pp. 1-15). N.J. : L. Erlbaum Associates.
Kuchemann, D. E. (1981). Algebra. In K. Hart (Ed.), Children’s understandings of mathematics. London: John Murry.
Lester, F.K. (1980). Problem solving: Is it a problem? In M.M. Lindquist (Eds.), Selected issues in mathematics education (pp.29-45).
Berkeley, Calif: McCutchan Pub. Co.
Matz, M. (1982). Towards a process model for high school algebra errors. In D. Sleeman, & J. S. Brown, (Eds.), Intelligent tutoring system. London: Academic Press.
Mayer R. E. (1985). Implications of cognitive psychology for instruction in mathematical problem solving. In E. A. Silver (Ed.). Teaching and learning mathematical problem solving. New Jersey, NY: Hillsdale.
Movshovitz-Hadar, N., Zaslavsky, O., & Inbar, S. (1987). An empirical classification model for errors in high school mathematics. Journal for sesearch in mathematics education, 18, 3-15
National Council of Teachers of Mathematics. (1989) Curriculum and evaluation standards for school mathematics. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
Polya, G. (1945). How to solve it : A new aspect of mathematical method.
Princeton University Press.
Rojano, T. (1994). Problem solving: From the development of algebraic ideas to algebraic thinking. Kluwer Academic Publishers, New York, USA.
Schliemann D. A., Carraher W. D., J. S. & Brizuela M. B., (2007).
Bringing out the algebraic character of Arithmetic from childrens ideas to classroom practice. New Jersey: Lawrence Erlbaum Association.
Schoenfeld, A. (1985). Mathematical problem solving. New York:
Academic Press.
Schwarzenberger, R. (1984). The importance of mistakes. The 1984
presidential address. The Mathematical Gazetee, 68(445): 159-173.
Simon, H. A. (1980). Problem soloving and education: Issues in teaching and research. In D. T. Tuma, and F. Reif (Eds.), New York:
Lawrence Erlbaum Associates, Publishes.
Sutton, C. & West, L. (1982). Investigating children’s existing ideas about science. ERIC Document Reproduction Service.
Vanlehn, K. (1982). Bugs are not enough. Empirical studies of bugs, impasses and repairs in procedural skills. The Journal of
Mathematical Behavior. 3, 3-71.
Vergnaud, G.. (1988). Long term and short term in learning algebra. In C.
Laborde (Ed.), (pp. 189-199). Paris: La Pensee Sauvage.
Von Glaserfeld E. ( 1987) Constructivism as a scientific method.
Wagner, S. (1981). Conservation of equation and function under
transformations of variable. Journal for Research in Mathematics Education.
Whitney, H. (1985). Taking responsibility in school mathematics
education. L. Streefland (ed.), Proceedings of the Ninth International Conference for the Psychology of Mathematics Education
(Vol.2).Utrecht: State University of Utrecht.
附錄一：預試測驗題
選擇題 7 題與非選擇題 13 題共 20 題如下：
一次不等式單元預試測驗卷
1.（ ）甲、乙、丙、丁四人比身高，若丁比甲矮，丙比丁高，乙比 丁矮，甲比丙高，則下列何者正確？
(A)甲最矮 (B)乙最矮(C)丁最矮 (D)丙最高
2.（ ）已知a、b和c三數，若a＞b，且ac＜bc，則下列哪一個一定 是正確的？
(A)a＋c＜b＋c (B)a－c＜b－c(C)
a
2c < b
2c
(D)c b a <c
3.( )某職業棒球隊在例行賽前30場比賽中，只贏了12場，卻輸了18 場(即稱勝率為四成， 0.4
12 =30 )，試問此球隊在例行賽的60場比賽中
，至少還須贏幾場方可使勝率達六成以上。
(A)20 (B)24 (C)25 (D)30
4.（ ）如圖，已知2個□比3個○重，則下列哪一個圖示是錯誤的？
(A) (B) (C) (D)
5.（ ）下列何者不是二元一次不等式2x＋5y－3≧0的解？
(A)(0 , 2
1) (B)(－1 , 1)(C)(
4 11 ,
3
−1) (D)(1.1 , 0.2)
6.小章身上原有x元，先用去5元，又用去了剩下的一半，而剩下的還 超過20元，則依題意可列不等式為：_____________________
7.某國中三年一班共有學生40人，其中有25位是男生，某次數學段考
，全班平均分數不低於72分。假設男生平均分數為x分，女生的平均
8.以下數字4.5、6、11.3、5.2、－5、
4
61中哪些數同時為不等式4x
＋13＞31及5x－11≦42的解？
9.解不等式：3(x-15)＞7(x-2)-14的最大整數解為何。
10.請在數線上，圖示不等式2x－2≦－3(x－6)中，x的範圍。
11.一元一次不等式－5(x＋a)＜3＋x的解為x＞－13，則a =？
12.解
2
8 1 2
6 4
3 x + − ≤ x + +
的一元一次不等式，求x的範圍
13. 若x、y 的範圍為分別－3＜P＜2，－2＜Q＜4，則試求(1)P+2Q
（1）5P－2Q 與（2）P×Q 的範圍。
14.x 取什麼整數值時，
3 3
1− x的值會在 3 與 4 之間。
15下圖是測量一物體體積的過程：
步驟一，將300ml的水裝進一個容量為450ml的杯子中。
步驟二，將三個相同的玻璃珠放入水中，結果水沒有滿。
步驟三，同樣的玻璃珠再加入兩個放入水中，結果水滿溢出。
根據以上過程，推測一顆玻璃珠的體積在下列哪一個範圍內？
(1ml＝1cm3)
16 小文到體育用品社購買球鞋時，老闆介紹：「這雙鞋子按原價以七 折特價賣你，這樣你最少可省了 500 元。」，請問此雙鞋子原價最低 為多少元？
17.某水果商發現一般在運送高級甜柿的過程中，都會有10％受到碰 撞損壞。如果他打算將每個以30元買進的高級甜柿，以每個40元的價 格出售，而且要賺1200元以上(假設那些受損的不能販賣)，那麼他至 少要訂購多少個高級甜柿？
18.某旅行團想參觀天文館，天文館的入場券規定50人以上可享八折 的優待，100人以上可享七五折優待，如果此旅行團人數在50到100 人之間，請問此團體_____人以上時，買100張入場券反而便宜。
19.小明帶了150元到麵包店買麵包與蛋糕，若麵包一個15元，蛋糕一 個20元，小明兩種都要買，請問共有多少種買法？
20.平常考滿分為100分，小傑在班上的前三次的平常考成績分別為50
、70、90分，但是小明的目標是平均85分以上，問小傑至少需要再考 幾次小考才有可能達成目標。