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一次不等式之解題策略研究

第三章 研究方法

第二節 一次不等式之解題策略研究

表現中找到學生解題困難的地方,進而利用面談的方面去確定學生的 學習成果與思考方式,接下來的單元分別對學生正確解題的資料分析 學生在不等式的解題策略,對學生錯誤解題的資料分析學生解題錯誤 的成因。

參考上述研究,研究者概歸納此階段學生在解方程式與不等式 單元問題時大致會使用的 11 個解題策略包括:

(一) 學生在甲類[列式]的解題策略有 2 種:

(S1)轉譯,依題意直接轉譯為文字符號表示式 (S2)化簡,去括號的化簡與運算

(二) 學生在乙類[算則]與丙類[求解]的解題策略為:

(S3)運算性質、運算與四則運算化簡與展開 (S4)畫圖表徵,以作圖方式判斷正確解 (S5)代入法,以數值代入判斷符合者

(S6)解集合法,求解兩個以上不等式的解集合 (S7)等量公理,以等量公理化簡不等式

(三) 學生在丁類[文字題]的解題策略為:

(S1)轉譯,依題意直接轉譯為文字符號表示式 (S2)化簡,去括號的化簡與運算

(S3)運算性質、運算與四則運算化簡與展開 (S4)畫圖表徵,以作圖方式判斷正確解 (S5)代入法,以數值代入判斷符合者

(S6)解集合法,求解兩個以上不等式的解集合

(S8)解不等式,依題意列不等式並求解 (S9)解方程等式,依題意列方程式並求解

(S10)組合數字,以題目中的數字依題意加以重組以求解 (S11)列舉法,列舉可能情形直到出現符合解

(S12)猜測答案,猜測或加以以驗算得解者

將本研究中學生在不等式單元所呈現的 12 個解題策略依解題歷 程整理如下表:

主題分類 甲-[列式] 乙-[算則] 丙-[求解] 丁-[文字題]

解題策略 (S1)轉譯 (S2)化簡

(S3)運算性質 (S4)畫圖表徵 (S5)代入法 (S6)解集合法 (S7)等量公理

(S3)運算性質 (S4)畫圖表徵 (S5)代入法 (S6)解集合法 (S7)等量公理

(S1)轉譯 (S2)化簡 (S3)運算性質 (S4)畫圖表徵 (S5)代入法 (S6)解集合法 (S7)等量公理 (S8)解不等式 (S9)解方程式 (S10)組合數字 (S11)列舉法 (S12)猜測答案 本節將對各類型題目作說明,並對學生正確解題的結果進行分 析,探討學生在不等式問題所呈現出的解題策略,除了第 1 題(乙類) 為選擇題,無法看出學生用來解題的方式或策略,在此節不予討論 外,將其餘各題分別依四類(甲類-列式;乙類-算則;丙類-求解;

丁類-文字問題)的解題策略分別加以歸納分析,探討學生解題的思 考型態:

甲類-列式

表 4-2-1:甲類解題策略統計

類型 題目 解題策略 解題人數 佔正確總人數

轉譯 83 86%

2 化簡 13 14%

轉譯 92 74%

7 化簡 33 26%

【題教2】某國中三年一班共有確生40人,到中有25位不男生,某次數確晤考,

全班平均分數不低於72分。假設男生平均分數解X分,女生的平均分數比男生的 平均分數多4分,則:

依據題意可列出X的一次不等式解 ___________________。

【說明】:此題中學生須具備平均數的數學知識,以男生總分為25X 加上女生總分(40-25)×(X+4)後除以總人數,再根據題意以不等符 號連結寫出表示式。對於此題學生多能了解題目要求以一個未知數將 三者的關係列一個不等式表示,所呈現出的解題策略如下:

策略(S1)-轉譯:解題者依題意將以文字符號當作「數」並根據題意 中平均數的概念以運算符號的除法([25X +15(X +4)]÷40≥72)、或乘 法([25X +15(X +4)]≥72×40)或分數( 72

40

) 4 ( 15

25X+ × X + )表示之。

策略(S2)-化簡:依題意將以文字符號當作「數」進行運算做作化簡 處理或計算(例如:40X+60≧2880、X≧70.5),由於題目並未要求以 最簡式表示,所以學生呈現出的型態各異,只要有進行進一步的運算 皆歸於此類策略。

【題教7】針正一個玻璃珠的體積:

假設一個玻璃珠的體積解x,分別依下列步驟列不等式針正一顆玻璃珠的 體積。

步驟一,將240ml的水裝進一個容量解300ml的杯子中。

步驟二,將三個閱同的玻璃珠放入水中,結果水沒有滿。

可列不等式解:_______________。

步驟三,同選的玻璃珠再加入兩個放入水中,結果水滿溢出。

可列不等式解:________________。

根據以上確程可依不等式針正一顆玻璃珠的體積會在哪一個可能範圍內

?(1ml=1cm3)

【說明】:學生在此題中須根據圖形中玻璃珠數量變化與水位的關係

,察覺到參考數值與水杯容量的不等關係列出不等式,再利用解不等 式得到合理的範圍解。

策略(S1)-轉譯:依圖形中水杯未滿與水杯滿溢的情形,以文字提示將 兩個不等式表示出來,進行化簡與合併後得出可能範為例如:

3X+240<300 X<20 5X+240>300 X>12 可能範圍為:12<X<20

策略(S2)-化簡:依圖形與文字提示找出關鍵字的含意,圖形一中以 3X<60 表示 3 顆玻璃珠少於 60cm3,圖形二中以 5X>60 表示 5 顆玻 璃珠必大於 60cm3,將兩個不等式中玻璃珠所代表的體基的量表示出 來,進行合併後得出可能範為解;也有學生知道問題的目標且認為只 寫出如 240+3x<300 的表示式會被扣分,而先加以運算直接將運算的 結果以 X<20 或 X>12 表示。

此類問題在測試學生是否能從文字的提示依題意要求將文字轉 譯為符號表示,學生在題 2 中分別根據對平均數的了解或以除法、或 以乘法、或以分數合理表示全班平均與男、女分組平均的比較量的關 係,題目僅要求以符號表示即可,學生表現中發現多位學生會對表示 式不放心而進行化簡處理。在問題 7 和題 2 的不同點在於,回答問題 7 時學生必須觀察圖形對「水沒有滿」與「水滿溢出」的關鍵詞句的 理解轉換為不等符號的使用,將一個玻璃珠的範圍值以不等符號表 示,對於缺乏此類解題經驗者在嘗試說明時有呈現出像是 5X<60<

3X 者,而此類表示雖能與題意相符,但不符題目中「一顆玻璃珠」

的要求,因此研究者認為此情形不為正確的解題。

乙類-算則 (另一題為選擇題,本節略) 表 4-2-2:乙類解題策略統計

類型 題目 解題策略 解題人數 佔正確總人數

運算性質將未知數文字置於左邊 76 66%

運算性質將未知數文字置於右邊 36 31%

5

運算後以畫圖表徵判斷 3 3%

【題教5】解不等式:3(X-18)<7(X-2)-14的最小整數解解解。

【說明】:此類題目在測驗學生對運算規則的理解與熟悉,學生在使 用移項法則或等量公理求解的過程,是否能正確以分配律化簡、正確 處理負號,與能否正確判斷符合不等式的合理解。

策略(S3)-運算性質:依據運算規則進行展開與移項運算,以未知數 在不等符號左邊或右邊為解題起點,算得一個最簡表示式,由最後的 表示式決定最小整數解。

策略(S4)-畫圖表徵:學生對分數與負數常會判斷錯誤,對於不確定 的數值,解題者以數線作圖的方式協助判斷正確的解。

在本研究中,乙類要求的不等式運算法則,是以等量公理為推理 基礎的移項法則,與解方程式最大不同之處有二:第一個是在「運算 過程」中以在兩邊同時乘以一個不等於 0 的負數時,會使不等符號的

方向改變;第二個是對運算過程的結果須加以「對所求解的判斷」。

從題 5 的 0.95(表 4-1-2)的高作答率及 0.57 答對率(表 4-1-1),學 生僅呈現 2 種解不等式的解題策略,一個是大部分學生都具備的移項 法則,另一個是對解不確定時以數線作圖的輔助,顯示學生對不等式 運算題型很習慣,發生錯誤的之處也以運算過程與解的判斷為主,研 究者可分為兩個方面作說明。

在「運算過程」方面,可將學生在題 5 的運算過程分為未知數在 不等符號的左邊與不等符號的右邊,解此題時若將未知數置於不等式 左側較符合一般學生的計算習慣,但是,學生必須面對不等式兩邊同 乘負數時使不等符號方向須做改變;將未知數置於右側的方式,雖較 少學生使用卻能避開不等式乘以負數令方向改變的問題。在本研究 中,能以未知數左侧處理的學生有 151 正確率為 0.67,以未知數在 右侧處理的學生有 43,正確率為 0.36,由本研究數字可知學生通常 將未知數置於不等符號左方的解題方式能有較高的成功解題機會。

在「對所求解的判斷」方面,不等式的運算過程能正確運算者有 163 位,能作正確運算者佔 0.8,能進一步正確判斷解者有 113 位,,

也就是說有 24 位學生是正確運算後的選答錯誤,資料也顯示有 16 位 學生在正確計算過程後並未對解進一步推斷,可知有部分雖能熟練計

丙類-不等式求解

表 4-2-3:丙類解題策略統計

類型 題目 解題策略 解題人數 佔正確總人數

運算性質 9 6%

代入法 68 47%

4

解集合法 69 47%

解集合法 104 94%

6 等量公理 7 6%

【題教 4】以下數字 3.5、4.5、6、11.3 中哪些數同時解不等式 4x+13>31 確 5x

-11<42 的解?

【說明】:學生須判斷 4 個數中能同時符合兩個不等式條件的共同解。

策略(S3)-運算性質:解題者先對第一個不等式進行移項運算,得到 範圍解x>4.5並依此結果判斷符合者為6與11.3;接著對第二個不等 式也進行移項運算,得到另一個範圍解x<10.6並判斷符合者為3.5

、4.5與6,僅6同時符合兩個不等式為此題的解。

策略(S5)-代入法:將各數值分別代入兩個不等式,以驗算方式找出 符合兩不等式要求的解,學生把每個數都代入第一個不等式作計算判 斷符合解,將符合者繼續代入第二個不等式,以淘汰或選取的方式得 到最後解答,也有學生將每個數代入每個不等式再加以判斷者。

4×3.5+13>31 4×4.5+13>31 4×6+13>31 4×11.3+13>31 27>31 18+13>31 37>31 58.2>31 不符合 不符合 符合 符合

5×6-11<42 5×11.3-11<42 19<42 45.5<42 符合 不合 答:-6

策略(S6)-解集合法:解題者分別對兩個不等式進行運算,找出兩不 等式的最簡表示式分別為x>4.5與x<10.6,將兩個表示式合併為範 圍解4.5<x<10.6,以此判斷得到結論:僅6符合範圍內的解。

【題教6】請在數線上,圖示不等式-4(x+5)<2x-2<-3(x-6)中,x的範圍。

【說明】:題目沒有預備的指示說明,學生須察覺此式和一般不等式 不同,將已知不等式條件視為-4(x+5)<2x-2、2x-2<-3(x-6) 的兩個一次不等式,進行各別的運算得到兩個不同方向的範圍解,以 數線表示得到一個解集合的範圍解。

策略(S6)-解集合法: 將已知條件分割為-4(x+5)≦2x-2與2x-2

<-3(x-6)兩個不等式進行移項運算,得到兩不等式-3<x與 x<4 的最簡表示,將兩表示式合併為-3<x<4,並將此結果以數線表示。

策略(S7)-等量公理:以等量公理對原不等式進行化簡把項目或數值 減少,解題者以分配律去括號得-4x+20<2x-2<-3x+18,以每項 加2得到-4x+22<2x<-3x+20,找出-4x-18<2x與2x<-3x+20兩不 等式進行運算的得最簡表示,將兩表示式合併為範圍解得到範圍解為 -3<x<4。

丙類的題目要求認識解與不等式的關係,學生在題目 4 問及 X 的 求解時所採用的解題策略以代入式與解不等式的方法為主,對題意理 解且知道能以檢驗的方法判斷解的學生,會以代入法重複將指定值分

別代入兩個不等式,以找出皆能符合要求者;對能理解題意且知道兩 不等式有其共同範圍解的學生,還可採用解兩個不等式求共同範圍解 的方法以達簡化計算的目地,可是對運算技巧的訓練也會影響採用的 方法。

在本研究中有 98 位學生採用解不等式的解題策略(S6),其正確 率為 0.74,另外有 92 位學生採用的是代入法的策略(S5),其正確率 為 0.75,可見以上的兩種策略的正確率相當接近,A 國中與 B 國中的 學生採用解不等式策略 S6 的比律率高於 C 國中的學生。在題目 6 問 及不等式的求解時,在缺乏代入特定值以求解的條件下,學生可將原 題目分割成兩個不等式求範圍解,或將原題以等量公理化簡後,同樣 分為兩個不等式求範圍解,有 163 位學生採用了正確的解題策略,答 對者有 134 位,正確率 0.82,而不了解的同學往往是強行湊一個答 案或將題目重新抄一遍,可見在解題技巧需求較高的題目,學生若能 夠使用對應的解題技巧,則具很高的成功解題的機會。

題目 6 因為在不等符號間有 3 處皆有 x 項,以等量公理做化簡時 不易化簡為標準式,所以許多學生到中途時發現無法繼續作答而放 棄,僅有少部分學生能以等量公理的方法(一段式)化簡成功,大部 分同學以兩段式的方法成功解題。研究者又發現在題目 6 的答對者

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