一次不等式之解題錯誤類型

一、錯誤類型

在第二章文獻探討時提到學者林清山、張景媛(1994)所提出學生

題整合的錯誤概念，(3) 解題計畫與監控的錯誤概念，(4) 解題執行 的錯誤概念。

陳聖雄（2005）高中學生在一元二次不等式解題研究將錯誤類型 分為：(1) 將先前學習過的知識作錯誤的類推，(2) 受到老師教學口 訣、教材編排、及不當記憶公式的影響，(3) 先備知識不足，(4) 無 法將一元二次不等式和二次函數的圖形作正確的聯結，(5) 對不等式 的運算邏輯不清楚，(6) 受到直觀的影響。

吳季鴻(2001) 在高中學生在一元二次方程式的運算之錯誤類型 分為：(1) 因式分解錯誤，(2) 錯誤的運算規則，(3) 同號、異號的處 理錯誤，(4) 變號的處理錯誤，(5) 恆正、恆負的判斷錯誤，(6) 將領 導係數當作正數處理，(7) 將「無解」及「無限多個解」概念做過度 推廣。

本節將綜合以上述論點將學生的錯誤類型以解題歷程中的轉 譯、問題整合、計畫與監控、解題執行為主軸，依國中一次不等式的 學習內容與學生作答情形，參考上述國內學者在不等式的研究，彙整 本研究中學生出現的錯誤類型細分如下表：

表 4-3：誤類型分類表

類別 細分項目

轉譯的問題 (E1)不了解題意 (E2)誤用符號 (E3)錯誤組合數值 問題整合的問題 (E4)錯誤概念

(E5)誤判解答 (E6)假設錯誤 計畫與監控的問題 (E7)誤用未知條件

(E8)誤用解題策略 解題執行的問題 (E9)數值運算錯誤 (E10)符號運算錯誤 (E11)誤用運算規則

以下依各題錯誤類型作說明：

(一)甲類-以文字符號列式

【題教2】某國中三年一班共有確生40人，到中有25位不男生，某次數確晤考，

全班平均分數不低於72分。假設男生平均分數解x分，女生的平均分數比男生的 平均分數多4分，則：

錯誤類型－(E1)不了解題意：發生此項錯誤的學生，主要是不了解題 目提示的意義，忽略了全班總分為平均分數×學生總人數，表示式並 不完整。

25X＋15(x+4)≧72 正確：5X＋15(x+4)≧72×40 錯誤類型－(E2)符號使用：不等式符號誤用。

40

) 4 ( 15 25X + X +

＜72 正確:

40

) 4 ( 15 25X + X +

≧72

錯誤類型－(E4)數學概念：未了解平均數的意義，以致平均數的表式 式不正確，只對某部分作除法。

25X＋15(x+4)÷40≧72 正確：[5X＋15(x+4)]÷40≧72 錯誤類型－(E6)假設錯誤：學生對數學概念的錯誤或數學知識不足，

使文字符號與運算符號的表示出現錯誤。學生只關注男女分數的不 同，沒有注意到各別人數的不同與平均數的意義，例如：學生知道兩 者差 4 分，缺乏相關的平均數表示方法。

X+X+4≧72 正確：[5X＋15(X+4)]÷40≧72 學生能正確地將男生總分 25X 加上女生總分 15(X+4)，得到全班總分 為 40X+60，卻誤解平均數的意義，認為平均就是除以 2，將全班總分 除以 2:

(40X+60)÷2≧72 正確：(40X+60)÷40≧72

學生沒有將個別人數乘入個別分數中：

[X＋(X+4)]÷40≧72 正確：[5X＋15(x+4)]÷40≧72 題目要求以 X 表示，非二元符號且不等符號也錯誤:

40 15

25X + Y ≧72

錯誤類型－(E9) 數值運算：數值計算錯誤，72×40 運算結果位數不 正確。

[5X＋15(x+4)]≧288 正確：[5X＋15(x+4)]≧2880

錯誤類型－(E11) 運算規則：沒有適當做分配律 15(X+4)的展開，這 種情形出現次數很高。

[5X＋15x+4)]≧2880 正確：[5X＋15x+60)]≧2880

【題教7】針正一個玻璃珠的體積：

假設一個玻璃珠的體積解x，分別依下列步驟列不等式針正一顆玻璃珠的 體積。

步驟一，將240ml的水裝進一個容量解300ml的杯子中。

步驟二，將三個閱同的玻璃珠放入水中，結果水沒有滿。

可列不等式解：_______________。

步驟三，同選的玻璃珠再加入兩個放入水中，結果水滿溢出。

根據以上確程可依不等式針正一顆玻璃珠的體積會在哪一個可能範圍內

？(1ml＝1cm³)

錯誤類型－(E1)不了解題意：學生能理解圖形中數字的意義，但未整 理題目訊息，對題目的目標不清楚。

3X+240＜300 X＜20 5X+240＞300 X＞12

可能範圍為：3X+2400＜300＜5X+240 正確：12＜X＜20 可能範圍為：3X＜60＜5X

沒有察覺出關鍵詞句的意義，解題者沒有考慮原先已有 240m 的水。

解題者不了解題意列式錯誤或表示式不完整

可能範圍為 12＜X 正確：12＜X＜20 錯誤類型－(E2) 誤用符號：錯用不等符號

可能範圍為 12＜X≦20 正確：12＜X＜20 錯誤類型－(E4)數學概念錯誤：未求出範圍值，第 1 個或第 2 個不等 式列式正確，但未歸納求出範圍值，或是解題者對不等式有誤解，認

為「不等」的意義就是「多一點點」或「少一點點」，且只有考慮整 數部分。

錯誤類型－(E9) 數值運算：計算錯誤 3X＜60 X＜20

5X＞60 X＞14 正確 X＞12

(二) 乙類-不等式運算法則

【題教 5】解不等式：3(X-18)＜7(X-2)-14 的最小整數解解解。

誤錯類型－(E5) 誤判解答：未判斷解答或解題者運算正確，但對數 值產生混淆又沒有參照數線作比較，故使選答錯誤者

-4X＜26

X＞-6.5 答：-5 正確：答：-6

誤錯類型－(E9) 數值運算：運算錯誤、數值計算錯誤、不正確的正 負數相抵消。

3X-13＜7X-14-14

26＜4X 正確：－26＜4X 解題者沒有經過式子的運算，直接套用數字想找出答案，也未具備範 圍解的概念。

3X-54＜7X-14-14

12-55＜28-28 修正：不可直接套用某一特定數值 X=4

答：4

錯誤類型－(E11) 運算規則：未完成不等式求解運算或未注意運算式 中的負號。

運算過程不完整：展開式不正確、運算規則錯誤。

3(X-18)＜7(X-2)-14

3X-54＜7X-14 正確：3X-54＜7X-14-14 3(X-18)＜7(X-2)-14

3X+54＜7X-14-14 正確：3X-54＜7X-14-14

(三) 丙類-不等式求解

【題教 4】以下數字 3.5、4.5、6、11.3 中哪些數同時解不等式 4x＋13＞31 確 5x

－11＜42 的解？

錯誤類型－(E2)誤判解答:選答錯誤

2

9＜X＜11

答：4.5、6 正確:6

錯誤類型－(E10)符號運算:誤用計算規則。

4X+13＞31 4X＞18 X＜

2

9 正確: X＞

2 9

5X-13＜42 5X＜55 X＜11

錯誤類型－(E9)數值運算: 數值計算時產生錯誤。

5X-13＜42

5x＜28 正確:5X＜55

3.5×5=17.5 4.5×5=22.5 6×5=30 11.3×5=56.5 正確：

3.5×4+13 4.5×4+13 6×4+13 11.3×4+13 3.5×5-13 4.5×5-13 6×5-13 11.3×5-13 將所得數字直接化為最接近的整數。

錯誤類型－(E9):驗算不完全

數字的計算方法合理，但未計算出正確答案。

【題教6】請在數線上，圖示不等式－4(x+5)≦2x－2＜－3(x－6)中，x的範圍。

錯誤類型－(E1)不了解題意：不知道解題目標，直接進行移項計算沒

有達到式子簡化的效果者。

-4X-20＜2X-2＜-3X+18

-20＜2X-2+4X＜-3X+18+2 --->將第一的式的-4X 移到第二式，將第 二式的-2 移到第三式，產生違反等量公理的原則。

錯誤類型－(E8)誤用解題策略：未理解題意，分別進行兩組不等式的 化簡運算，而強行用一個不等式的形式進行解題。

-4X-20＜2X-2＜-3X+18 -X-20＜5X-2＜18

-X＜5X+18＜38 ---→無法繼續求解過程的運算

錯誤類型－(E11)運算規則：展開式運算錯誤、移項錯誤、負耗處理 錯誤。

-4(X+5)＜2X-2

-4X-5＜2X-2 正確：-4X-20＜2X-2 2X-2＜-3X＋18

5X＞20 正確：5X＜20

(四) 丁類-文字問題求解

【題教3-1】某職業棒球隊在確行賽前30場比賽中，只贏了12場，卻輸了18場(即 稱勝率解四成， 0.4

12 =30 )，試問使球隊在確行賽的60場比賽中，若想使勝率達 六成以上，至少還須贏幾場？

錯誤類型－(E2)誤用符號：誤解題意符號使用錯誤，將「以上」用

「＞」符號表示。

60

X ＞0.6 正確：

60

X ≧0.6

X＞36 X≧36

36-12=24 答：25 場 36-12=24 答：24 場 錯誤類型－(E6)假設錯誤：誤解題意做出不正確的列式

誤解題意將比賽總場次 60 場，將出現的數字加總，誤認為 90 場。

90

X ≧0.6 正確：

60

X ≧0.6

X≧54

誤認場次為 90 場，且不等符號使用錯誤。

90

X = 0.6 正確：

60

X ≧0.6 X= 54

54-12= 42 Ａ：42 場

將總場次 60 場誤認為是 30 場加繼續的比賽場次。

X X + + 30

12 ≧0.6 正確：

60

X ≧0.6

X≧15

誤認場次為 90 場。

90

12+X ≧0.6 正確：

60

X ≧0.6

錯誤類型－(E3)錯誤組合數值：不了解題意，沒有明確目標，以組合 題目中數字求得一個解答。

30 18=

10 6

答：6 場

錯誤類型－(E5)誤判解答：正確列式，決定解時錯誤或未做解的判斷。

60

X ≧0.6

X≧36

答：36 正確答：24

列式正確且運算正確，但作答時在原答案加 1，而產生錯誤。

設需贏 X 場，

60

12+X ≧0.6 12+X≧36

【題 3-2】接上題，確果接下來的比賽每都贏，則可以提早達到勝率六成以上，

則必須要連續贏幾場？

錯誤類型－(E1) 不了解題意：有多位學生因不了解題義而抄寫前題 的解答或者列一個與題意不符的不等式，「假設」是學生常忽略的重 要步驟，學生會為了列式、求解而沒有分辨題目敘述的改變，分析未 知數代表何數量，致假設錯誤或作答有缺陷。

錯誤類型－(E2)誤用符號：誤解題意符號使用錯誤

X X + + 30

12 ＞0.6 正確：

X X + + 30

12 ≧0.6

錯誤類型－(E3)錯誤組合數值：不了解題意，沒有明顯目標，依題目 出現的數字以計算式湊出一個答案。

錯誤類型－(E5)誤判解答：經正確的列式與計算，但解答錯誤者，陷

入「≧」是「多一點點」的迷失。

X X + + 30

12 ≧0.6，X≧24，答：25 場

錯誤類型－(E6)假設錯誤：知道解題目標但錯用解題條件使列式錯誤 者。

X X

+

30 ≧0.6 正確：

X X + + 30

12 ≧0.6

錯誤類型－(E9)數值計算錯誤：計算方法合理，但未得到正確解答

【題教 8】小文到體育用品社購買球鞋時，老闆介紹：「這雙鞋子按使價以七折 特價賣你，這選你最少可省了 500 元。」，請問使雙鞋子使價最低解多少元？

錯誤類型－(E2)誤用符號：誤解題意不等符號錯用 X-0.7X＞500 正確：X-0.7X≧500

500≧X-0.7X 正確：500≦X-0.7X

錯誤類型－(E3)錯誤組合數值：不了解題意，沒有明顯目標，依題目 出現的數字以計算式湊出一個答案。

10

3 X≧500

X≧1666.6

答：1666 正確：答：1667

錯誤類型－(E6)假設錯誤：誤解題意不正確列式 -X+0.7X＞350

錯誤類型－(E9) 數值運算：乘、除法數值計算錯誤 X-10

7 X≧500

10

3 X≧500 X≧ 3

166662 正確：X≧

3 16662

解題方法合理，套用數值驗算時錯誤

1500×0.7= 1050 1550×0.7=1085 1600×0.7=1120 1700×0.7=1190

答：1700 修正：1700 不是精確解

【題教 9】平常考滿分解 100 分，小傑在班上的前三次的平常考成績分別解 50、

60、90 分，但不小不的教標不平均 85 分以上，問小傑至少需要再考幾次小考才 有可能達成教標？

錯誤類型－(E1)不了解題目：不知道解題目標，不等式或計算式不符 題意者。

錯誤類型－(E2)誤用符號：誤解題意將不等符號錯用以致結果錯誤。

錯誤類型－(E3)錯誤組合數值：不了解題意，沒有明顯目標，依題目 出現的數字以計算式湊出一個答案。

錯誤類型－(E5)誤判解答：列式正確計算正確答案決定錯誤 3 85

100 200 ≥

+ +

X X

200+100X≧255+85 15X≧55

X≧ 3 11

答：7 正確答：4

錯誤類型－(E6)假設錯誤：誤解題意不正確列式

X X +

+ 3

200 ≧85 正確:

X X + + 3

100

200 ≧85 50+60+90+X≧85 正確:

X X + + 3

100

200 ≧85

錯誤類型－(E9) 數值運算：計算方法合理，數值計算時發生錯誤

，未得到正確解答者。

3 85 100 200 ≥

+ +

X X

200+100X≧225+85X 正確：200+100X≧255+85X

錯誤類型－(E11) 誤用運算規則：正確列式，但運算過程因規則誤用 發生錯誤者。

3 85 100 200 ≥

+ +

X X

200+100X≧255+X 正確：200+100X≧255+85X

【題教10】某旅行團想參觀天文館，天文館的入場券每張40元，規定50人以上可 享八折的優待，100人以上可享七五折優待，確果使旅行團人數在50到100人之間

，請問使團體_____人以上時，買100張入場券反而便宜。【舉確：50人需50×40×

0.8=1600元，100人需100×40×0.75=3000元，95人需95×40×0.8=3040元】

錯誤類型－(E1) 未了解題意:未了解題意，套用數值驗算未找到正確 解

100×40×0.7=2800 50×40×0.8=1600 95×40×0.8=23040 90×40×0.8=2880 85×40×0.8=2720 ……

錯誤類型－(E3)錯誤組合數值：不了解題意依題目數字計算找答案 依題目出現的數字以計算式湊出一個答案。

錯誤類型－(E5)誤判解答：列式正確計算正確答案決定錯誤 X×40×0.8＞2800

X＞87.5

答：87 正確答：88

錯誤類型－(E6)假設錯誤：誤解題意不正確列式(如實例 23) X×40×0.7＞4000 正確: X×40×0.8＞2800

40X＜2800 正確: X×40×0.8＞2800

錯誤類型－(E9) 數值運算：數值計算時發生錯誤 計算方法合理但未得到正確解答。

二、錯誤類型討論

(一) 在甲類-以文字符號列式問題中學生所呈現的錯誤類型 中，第 2 題學生平均分數問題在表示全班平均分數時最常 出現的兩種錯誤，一種是沒有將全班的總分除以全班人數 或將全班人數乘以全班平均分數，另一種是把全班的人數 乘到女生的平均分數使總數表示式錯誤，而在不等符號上 幾乎沒有學生出錯，這意謂此題中學生能了解「不低於 72 分」的不等量意義與表示，卻不熟悉分組平均數的意 義；在第 7 題玻璃珠問題中學生必須觀察圖形中的不等量 關係以結合文字敘述，大部分(佔 0.79)學生都能作出正 確表示式，但在最後的結論時發生錯誤，研究者認為可能 原因有 4 個：(1)不熟悉範為解的表式法(2)缺乏解集合的 概念(3)缺乏合併兩不等式的技巧或經驗(4)不習慣不等

式的範圍解概念。

(二)乙類-不等式運算法則問題的第一題為選擇題，學生選答呈 現的錯誤中可發現兩個現象，第一是對口訣背誦或對規則 的理解，課程教學中學生已經熟悉不等式兩邊同乘一個負 數會使不等符號的方相改變，卻有很多學生選擇錯誤的選 項 C：

a

²

c < b

²

c

，研究者認為可能是學生很自然的以正數 來考量任意兩個數的大小關係，沒有探討過 a 為正數，b 為負數也符合的此不等式的條件而發生錯誤；第二是對運 算規則記憶的迷失，認為 C＜0，所以當看到不等符號兩邊 都有 C 就立即判斷要改變不等符號的方向，而沒有去判斷 其他已知條件，研究者在學生的解題行為中發現，當學生 得到自己熟悉的性質或規則，為了迅速求解，會選擇忽視 其他條件而求解。

第 5 題的求解運算中，學生最常發生的錯誤分別為運 算規則的錯誤與答案的選擇，有時學生雖然知道運算規 則，但於實際運算時還是會不自覺地犯錯，忘記負號移項 的檢查動作。有時也因學生對於不等符號的最大解或最小 解容易判斷錯誤，因為沒有將大小關係結合數線的概念，

在文檔中 國中三年級學生一次不等式解題策略及錯誤類型之研究 (頁 84-107)