第四章 研究結果與分析
第一節 一般智能資優生數學解題歷程分析
一般智能資優生數學解題的歷程分析，本節主要分成二個部分，
一為個別解題者的解題歷程分析，二為整組解題者的綜合分析。
壹、資優生數學解題整體歷程分析
由於六位學生在解題的表現有其特色，所以研究者以學生個人特 色取假名，並以代表性的形容詞說明六位學生的解題歷程，分別是：
堅持的小姮、頭痛的小茹、放棄的小珍、抽象表徵的小迅、從不驗證 的小揚、繪圖表徵的小涂。本節將介紹個別學生四題解題歷程的綜合 特色，再來分段說明學生在每一題的解題歷程。
一、堅持的小姮
小姮（恆）相當有恆心堅持一定要解出來才可離開，故以「姮」
諧音命名。從圖 4-1，縱軸的六個歷程階段中，發現小姮整體解題過 程有讀題、分析、探討、計畫、執行、驗證等階段。從逐字稿中，可 以發現小姮在探索階段有監控行為出現，來檢視其過程是否有計算錯 誤。在分析歷程階段部分，雖然未明顯聽到小姮分析問題的過程，但 研究者猜測其應是在讀題過程或停下來思考階段中進行分析之工 作。另外，圖 4-1 橫軸表示解題者的解題流程，可以發現小姮在過程 中常常出現計畫與執行階段相互交錯的解題過程。
第一題：用抽象表徵解蝸牛題
一個井有 10 公尺深，一隻蝸牛總是在白天往上爬 5 公 尺，而在夜晚時往下滑 4 公尺。如果這個蝸牛從井底開 始爬，請問蝸牛幾天後就可以爬出井外？（蝸牛爬到井 口後就不會再往下滑了）。
小姮本題的解題歷程是讀題、分析、執行，最後驗證。在過程中 小姮未有較明確展現「計畫階段」的表達內容。
圖 4-1 小姮解題歷程圖
蝸牛題
驗證
執行 計畫
探討 分析 讀題
直式加法題
驗證
執行
計畫
探討 分析 讀題
月曆題
驗證
執行
計畫
探討
分析
讀題
九宮格題
驗證
執行
計畫
探討
分析 ＊
讀題
解題成功 解題失敗 ＊給學生提示
小姮讀題（1-1-01）完後，趴在桌上分析題目「應該是 10 公尺，
一天爬五 5 公尺的話，第二天就會爬 6 公尺，再滑下來就 2 公尺，一 天 1 公尺。(1-1-02)」，研究者請小姮試著寫下來，小姮就開始執行，
用抽象表徵的方式「5 加 1，6；6 再減 4，2；……；然後 9 減 4 等於 5，還剩 5 公尺，再算一次，5 加 5 等於 10。」(1-1-03)之後，很懷 疑已經解出答案了，「5 加 5 等於 10，到了啊！ㄟ∼6 天耶！」(1-1-04) 小姮最後還做了二次的驗證才結束。
第二題：個位開始邏輯推理的直式加法
下面直式加法算式中△、☆、□這三個符號各代表 0、1、
2、3、4、5、6、7、8、9 中的某一個數字，△、☆、□
這三個符號代表的數字不可以重複，請找出△、☆、□
這 三 個 符 號 各 代 表 哪 一 個 數 字？
小姮無明顯的計畫階段，但解題過程都會「先分析再執行」。另 外，在讀題時小姮會適時地縮減句子並探討與過去解題的經驗相結 合。在本題中小姮無驗證之行為。
小姮讀題時縮減句子「下列直式加法算式中三角形、星星、正方 形這三個符號代表，代表的數字不可以重複，請找出符號的代表哪一 個 數 字 ？ (1-2-01) 」， 探 討 問 題 與 過 去 曾 經 做 過 的 相 似 問 題
△ ☆
＋ ☆ □ ☆ □ ☆
(1-2-02)，停下來想一下後，小姮分析「這個星星加正方形等於星星。
(1-2-04)」，接著執行「星星、正方形（在紙上畫星星、正方形），正 方形等於『0』。(1-2-05)」分析「三角形加星星等於『0』（十位）。
如果說是『0』的話，那幾加幾會等於『0』，這又不是減。(1-2-06)」
小姮都分析後再執行來求得答案(1-2-07)。但是，小姮解題後並未驗 證，以下是她的原案：「這裡是三角形跟星星（個位），這裡 1 個是 4，
一個是 6（十位），如果這裡是 7 跟 3，如果星星（停下來在想），星 星如果是 6，這樣就變六百多（停下來想一想）。可是我覺得這兩個
（加數與被加數）加起來應該是一百多，那這裡就擺 1（和的百位數
﹍星星）。這裡、這裡、這裡都是 1（星星的位置），三角形就是 9。
對！就是這樣。」(1-2-07)
第三題：逐日計算月曆的星期幾
2003 年 3 月 1 日是星期三，請問 2003 年 7 月 9 日是星 期幾？
小姮讀題後(1-3-01)，想了一下，「如果三月一日是星期三，如 果把中間這幾天都算出來應該容易找得到。(1-3-04)」計畫將三月一 日至七月九日之間的天數計算出來，但小姮並未將其要如何計算天數 的計畫表達出來。
小姮計畫後開始執行，利用各月份為大月或小月的天數來計算之 間的總天數「三月是大月 31 天，減掉一號（三月一日）就是 30 天；
然後那個四月是小月所以是 30 天，所以等於 60；……；這中間一共 有 129 天。（1-3-05）」
「我本來要用 100 除以 7，但是很難」（1-3-11）。小姮將 129 天 先扣除剩 100 天，但她覺得用 100 除以 7 很難，而改用乘法的方式來 逆推，「100 天，一個星期有 7 天(1-3-06)」；「如果 7 乘 9 是 63，再 加 35 就是 98。(1-3-07)」；「如果 7 乘 5 等於 35，37 天有二天還沒 算到(1-3-07)」。小姮想了一下(1-3-08) ，「三月一日是星期三，如 果再加七天還是星期三(1-3-12)」，計算出來的六月三日是星期三。
但是三月一日至五月三十一日共 92 天，可推得出六月一日正確答案 為星期四。小姮在此就計算錯誤。接著小姮由六月一日星期三，逐日 計算至七月九日為星期六（1-3-10），比正確答案星期日少了 1 天。
後來，研究者請小姮在說明解題過程，小姮就從三月一日加 7 至 五月三十一日。自己發現六月一日應該為星期四，所以將答案改為七 月九日星期日(1-3-14)。
第四題：一定可以試出九宮格的答案
請將 1、2、3、4、5、6、7、8、9 這九個數字填入空格 中，使橫、直、斜加起來的和相等。
小姮很有恆心，堅持要完成。在解題過程可以看到小姮的每一個 歷程，讀題、分析、探討、計畫、執行、驗證。並且小姮會將過程中 發現的線索條件應用於之後的解題歷程當中。
小姮讀題後，畫了一個九空格，觀察一至九數字的關係並分析「九 加一等於十，二加八等於十，三加七等於十，四加六等於十，剩下五。
(1-4-02)」。計畫「把五放在這裡（中間格）看看。(1-4-03)」。接下 來小姮將其餘空格以「一、九；二、八；…」加起來和為十的配對方 式填入空格中，在執行過程中小姮會有監控行為檢視解題過程是否有 誤，若發現有誤，小姮會再分析「八加一等於九、七加二等於九、六 加三等於九、五加四等於九。(1-4-06)」且更改計畫「九在中間 (1-4-07)」，之後才執行與監控(1-4-08)。
研究者提示小姮橫、直、斜的和為十五。小姮一聽到十五立刻與 剛開始將五放在中間的計畫相結合，並探討與比較「每一個都一定要 是十五。九加一會等於十，這個好像只是錯了一點點（指第一次做的 九宮格，將五放在中間）。(1-4-10)」。計畫「把五還是放在中間，將 這邊調整一下（指將周圍數字先湊成十五）。(1-4-11)」。依計畫執行，
先將填入九宮空格周圍的數字和加起來為十五。「三個數字加起來是
十五，一加八是九，我再加一個六就可以了。二九四等於十五。七和 三和五在一起。(1-4-12)」但小姮找到後，就趴在桌上。
「一定要寫出來才可以走！」(1-4-16)小姮堅持要完成解題，計 畫要用嘗試錯誤的方式解題，一直到答案解出來為止，於是開始計算 需要嘗試幾次來完成。「一個要排一次二次三次四次五次六次，一個 要排六次的話，六乘以三就要排十八次我先寫十八個五（也就是十八 個九宮格，而五在中間。小姮並無畫出九宮格只寫了十八個五）。因 為一定有答案，所以我將所的都試試看」。(1-4-13)
小姮在執行與監控的過程會發現新線索，根據新線索，如「六跟 九不能在一起」(1-4-14)、「九跟八不可能在一起」(1-4-17)等，來 輔助解題。最後小姮還是完成了解題，完成解題後，計算橫、直、斜 的和是否相等來驗證解題是否正確(1-4-18)。
二、頭痛的小茹
小茹（如）在解題過程常有假設性語氣「如果…」，故以諧音「茹」
命名。小茹四題的解題，大致讀題、執行、驗證，而分析與計畫則非 固定經常性的出現。在九宮格題發現，小茹就僅有一次地分析，之後 就不斷地計畫執行，還說自己解題解到頭痛，一直堅持到最後未解題 成功才宣告放棄。（圖 4-2）
圖 4-2 小茹解題歷程圖
蝸牛題
驗證 執行 計畫 探討 分析 讀題
直式加法題
驗證
執行 計畫 探討 分析 讀題
月曆題
驗證
執行 計畫
探討 分析
讀題
九宮格題
驗證
執行 ＊ ＊
計畫 探討
分析 讀題
解題成功 解題失敗 ＊給學生提示
第一題：繪圖表徵的蝸牛
一個井有 10 公尺深，一隻蝸牛總是在白天往上爬 5 公 尺，而在夜晚時往下滑 4 公尺。如果這個蝸牛從井底開 始爬，請問蝸牛幾天後就可以爬出井外？（蝸牛爬到井 口後就不會再往下滑了）。
小茹在本題的解題歷程，以繪圖表徵（圖 4-3）的方式來分析、
計畫與執行，過程中可以看到小茹會有監控行為，來監控自己所執行 的行動，並有驗證行為。
小茹讀題後(2-1-01)，畫了一口井進行分析與計畫「所以一口井 有 10 公尺深，畫長一點。….三、四……。 (2-1-02)」、「一隻蝸牛 每天往上爬 5 公尺。夜晚掉了 4 公尺(2-1-03)」，並解開始執行「所 以他到了這邊。然後他早上又爬了 5 公尺，後來晚上又掉了 4 公尺，
4 公尺到這邊。……(2-1-04)」最後 5 公尺爬到井口。此時，小茹滿 臉疑惑地回頭看自己的解題過程，並說「ㄟ∼好像已經爬上了耶？
(2-1-05)」又再回頭監控一次自己的解題過程，接著「一二三四五∼
六，就出來了。(2-1-08)」蝸牛一共花了 6 天的時間爬出井外。小茹 又再數了一次天數(驗證)，很沒信心地說「好像 6 天耶！(2-1-09)」
圖 4-3 小茹蝸牛題繪圖表徵
第二題：以假設性語氣計畫的直式加法
下面直式加法算式中△、☆、□這三個符號各代表 0、1、
2、3、4、5、6、7、8、9 中的某一個數字，△、☆、□
這三個符號代表的數字不可以重複，請找出△、☆、□
這 三 個 符 號 各 代 表 哪 一 個 數 字？
小茹就解題歷程來說，都可以看到讀題、分析、計畫、執行、驗 證、探討監控等階段。一開始是讀題後就執行(2-2-04)，發現自己嘗 試錯誤後。我們可以看到小茹開始會以「假設性的語氣」先提出計畫，
如「如果把他變成 13（加數為 13）的話(2-2-07)」、「那『1』呢？
(2-2-12)」，之後，再執行計畫。
小茹在讀題時將某些內容略讀，「請找出（略讀）這三個符號各 代表哪一個數字？(2-2-02)」而不影響其了解題意。讀完題後，小茹 停了一下 (2-2-03)，立即執行將加數的個位數星星填「9」，被加數 個位數正方形填「1」，「9 加 1，10。嗯！ㄟ∼好像不對喔！星星不可 以是 10。(2-2-04)」小茹監控到「和」加起來星星是「10」，與原本 的「9」不同，於是又回到題目分析「星星是（停下來在想）中的某 一個數字喔！(2-2-06)」，接著又提出計畫「如果把他變成 13（加數 為 13）的話(2-2-07)」，但是小茹執行時只有將加數的個位數星星寫
△ ☆
＋ ☆ □ ☆ □ ☆
上 3(2-2-08)，之後，將所有的星星都填上 3，「然後….那 3（被加 數的十位星星）會加什麼等於 10（和的百位是一與十位是零）？
(2-2-09)」
後來，小茹自己監控到這樣是錯誤的，因為「我假設這個（被加 數十位正方形）是零的話。那三角形（加數十位）是 7。73 加 30 等 於……。ㄟ！那也不可能變成 303，也不可能變 30（指被加數）啊！
所以這個是不對的。(2-2-10)」。
「那『1』呢？(2-2-11)」小茹又提出一個計畫就是星星為「1」， 於是小茹就開始執行寫上星星為「1」，正方形為「0」(2-2-12)。當 星星與正方形數字都填上時，小茹就發現三角形為「9」。並將 91 加 上 10 等於 101 確定後，再將所有解題過程檢視一遍，驗證確定後宣 告完成(2-2-13)。
第三題：先一再七的月曆
2003 年 3 月 1 日是星期三，請問 2003 年 7 月 9 日是星 期幾？
小茹在本題的歷程表現，主要是讀題、執行、監控與驗證。並無 看到有分析與計畫的歷程。而小茹以抽象表徵的方式，記下日期，並 非畫下月曆。
小茹讀題(2-3-01)後就立即執行，以逐日計算的方式進行，到了
三月十二日(2-3-03)，小茹回頭監控了之前所做的歷程(2-3-04)，之 後就改以七日為單位進行解題(2-3-05)，到了三月二十七日又開始逐 日 計 算 至 四 月 九 日 (2-3-07) ， 接 著 又 改 為 以 七 日 為 單 位 計 算 (2-3-08)。小茹先以逐日再以七日為單位來解題(2-3-08∼2-3-13)，
並且日期都控制在星期日。七月時，小茹發現星期日的日期與四月相 同(2-3-14)，就直接比對四月的紀錄，將答案求出七月九日為星期 日。小茹在回頭驗證確定後，結束該題的解題。
第四題：從總和十開始嘗試錯誤的九宮格
請將 1、2、3、4、5、6、7、8、9 這九個數字填入空格 中，使橫、直、斜加起來的和相等。
小茹從總和「十」開始嘗試錯誤尋求解答。雖然小茹從依讀題、
分析、計畫、執行等歷程來進行解題，但其缺乏方向或重點地去解題，
只是一味地湊數字來符合原先計畫的總和，當遇到湊起來的數字無法 符合原先計畫的總和時，就立刻宣稱放棄，而無再進一步地分析與探 討。即使後來發現「一加九，二加八，三加七，四加六。都可以變成 十。(2-4-14)」的關係，但仍未善用此線索關係時，就放棄了。
小茹在讀題階段常會有略讀的部分「請將（省略）這九個數字填 入空格中，使橫、直、斜加起來和相等(2-4-01)。」接著分析「橫的、
斜的….，橫直斜加起來都要相等。(2-4-02)」確認解題的目標。暫 停的一會，小茹提出計畫「當（作）加起來是十好了。(2-4-04)」，