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一般智能資優生數學解題策略之分析

第四章 研究結果與分析

第二節 一般智能資優生數學解題策略之分析

本研究發現這六位一般智能資優班新生最常善用的策略為抽象 表徵、逆推、歸納尋找規律性、及嘗試錯誤(表 4-2)。針對蝸牛、

直式加法、月曆、九宮格等四題,說明解題者所使用的策略如下:

表 4-2 解題者在各題使用的解題策略

題號

策略 學生 蝸牛 直式加法 月曆 九宮格

抽象表徵 姮、珍、迅、涂、

繪圖表徵 茹、涂

逆推 迅 茹、迅 姮

歸納尋找規律性 姮、茹、迅、揚 姮、珍、迅、揚、

嘗試錯誤 茹、珍、涂 姮、茹、珍、迅、

揚、涂

替代 姮、茹、揚

一、蝸牛題

一個井有 10 公尺深,一隻蝸牛總是在白天往上爬 5 公 尺,而在夜晚時往下滑 4 公尺。如果這個蝸牛從井底開 始爬,請問蝸牛幾天後就可以爬出井外?(蝸牛爬到井 口後就不會再往下滑了)。

六位解題者在本題的解題策略大致可分為二類:一為抽象表徵;

二為繪圖表徵。另外,還有應用逆推的策略。

(一) 抽象表徵:小姮、小珍、小迅、小揚利用抽象表徵的 方式進行解題,根據問題「蝸牛白天往上爬五公尺,

夜晚往下滑四公尺」,以「加五」代表往上爬五公尺;

以「減四」代表往下滑四公尺。另外,小涂雖以繪圖 表徵來進行解題,但其亦採用抽象表徵的方式來進行 驗證。

(二) 繪圖表徵:小茹、小涂以繪圖表徵的方式進行解題,

他們依題意先畫下一口十公尺的井,再從井底每日往 上畫五公尺、往下畫四公尺,以求得答案為六天。

(三) 逆推:這六位解題者當中,小迅還應用了逆推的策略。

小迅「那他最後一次要爬的時候他直接跳上去,就不 會再往下滑了。(4-1-04)他之前無法一口氣跳到上面 去 , 一 次 只 能 先 跳 五 公 尺 , 所 以 十 要 先 減 五 。

(4-1-05)」。以目標十公尺先扣除最後一次往上爬行的 距離五公尺。剩餘的五日再逐日爬行。

二、直式加法

下面直式加法算式中△、☆、□這三個符號各代表 0、1、

2、3、4、5、6、7、8、9 中的某一個數字,△、☆、□

這三個符號代表的數字不可以重複,請找出△、☆、□

這三個符號各代表哪一個數字?

六位解題者在本題的解題策略的應用大致可分為三類:一為逆 推;二為嘗試錯誤;三為替代。

(一) 逆推:小茹、小迅使用逆推策略,如小茹「三加多少 等 於 十 ? (2-2-10) 」、 小 迅 「 一 加 多 少 等 於 一?(4-2-04)」。

(二) 嘗試錯誤:小茹、小珍、小涂會嘗試將所有可能的答 案填入的方式來進行解題。如:小茹「九(個位數字 星星是九)加一(被加數的個位數正方形)(2-2-04)」; 小珍「三角形是 9,隨便猜的(3-2-04)」;小涂「先把 一放在星星(加數的個位)的中間(星星為一)。因為 他說從零開始嘛!所以把零先放在三角形(加數的十

△ ☆

+ ☆ □ ☆ □ ☆

位)這邊。(6-2-03∼6-2-05)」

(三) 替代:小姮、小茹、小揚以假設性的數字當作輔助元 素填入,以幫助解題。如:小姮「星星如果是六,這 樣就變六百多(1-2-07)」;小茹「我假設這個(被加數 十位正方形)是零的話。那三角形(加數十位)是七 (2-2-10)」;小揚「多少加多少等於多少,譬如說六要 加多少等於六(5-2-03)」。

三、月曆

2003 年 3 月 1 日是星期三,請問 2003 年 7 月 9 日是星 期幾?

六位解題者在本題的解題策略的應用大致可分為四類:一為繪圖 表徵;二為逆推;三為歸納尋求規律性;四為嘗試錯誤。

(一) 繪圖表徵:小涂以繪製月曆的方式來求得七月九日為 星期日。

(二) 逆推:小姮「我本來要用一百除以七,但是這樣很難,

所以我就改成七乘以九等於六十三,然後七乘以五等 於三十五,然後加二等於一百,再加二十九天就是一 百二十九,這樣就可以開始算是星期幾。(1-3-11)」

(三) 歸納尋求規律性:小姮、小茹、小迅、小揚皆以一週

有七天的週期規律性來解題。如小姮、小迅以除七的 方式,而小茹、小揚則以加七的方式來解題。

(四) 嘗試錯誤:小珍以嘗試錯誤的方式解題,有時加七,

有時加每個月的天數,用直覺在解題(3-3-13)。

四、九宮格:

請將 1、2、3、4、5、6、7、8、9 這九個數字填入空格 中,使橫、直、斜加起來的和相等。

六位解題者在本題的解題策略的應用大致可分為二類:一為歸納 尋求規律性;二為嘗試錯誤。

(一) 歸納尋求規律性:小姮、小珍、小迅、小揚、小涂等,

大都會先觀察數字間的關係再進行解題,如「一加九、

二加八、三加七、四加六都等於十,只有五未配對,

所以選擇五為中間。」或其他的配對組合。

(二) 嘗試錯誤:因為沒有解題者針對九宮格的橫、直、斜 的「和」先做計算,所以大都是用猜的嘗試錯誤法進 行解題。

從表 4-2,研究者發現,蝸牛題六位解題者以抽象表徵的方式進 行解題者較多,如小姮、小珍、小迅、小揚。小涂除了利用繪圖表徵 的方式解題外,還應用抽象表徵的方式來進行驗證。而小茹採用繪圖

表徵的方式來進行解題。小迅亦採取逆推的方式來完成解題。

在直式加法題方面,解題者大多採用嘗試錯誤和替代的策略來輔 助解題,僅有小茹與小迅應用逆推的方式協助解題。在月曆題方面,

則以歸納尋找規律性的策略來進行解題,只有小涂以繪製月曆的方式 進行解題。在九宮格題方面,則以嘗試錯誤與尋求數字間的規律性來 進行解題的策略應用。

從以上結果及表 4-3,可以發現六位資優生的解題過程中,在解 題策略方面的應用,是具多元與靈活。資優生利用多元解題策略來理 解問題、探索方向,與劉貞宜(2001)針對建中三位數學資優生的研 究結果相符合,他們的解題策略也是較為多元與靈活。劉貞宜表示資 優生利用解題策略來幫助自己理解、思考、探索、聯結及推理,讓整 個解題更舒暢與快速。

表 4-3 六位解題者使用的解題策略

學生

策略 小姮 小茹 小珍 小迅 小揚 小涂

抽象表徵 * * * * *

繪圖表徵 * *

逆推 * * *

歸納尋找規律性 * * * * * *

嘗試錯誤 * * * * * *

替代 * * *