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國立中山大學 教育研究所 碩士論文
國小一般智能資優資源班新生數學解題歷程之分析
研究生：黃家杰撰 指導教授：梁淑坤博士
中華民國 九十三 年 六 月
國小一般智能資優資源班新生數學解題歷程之分析
黃家杰
國立中山大學教育研究所
摘 要
本研究透過 Schoenfeld 數學解題歷程，分析國小一般智能資優生 數學解題歷程、解題策略、及情意特質，再提供資優班與普通班教師 具體的教學建議。六位參與者為高雄市某國小三年級表達能力較佳的 資優生。以專家效度方式篩選出四題非例行性數學問題，再讓學生以 放聲思考的方式進行數學解題，並採專家信度進行原案分析。
研究結果發現，第一，資優生數學解題大都符合解題歷程六階 段，其中四位呈現較多歷程階段比較會解題；更有一位在各題解題過 程皆無驗證階段，答對二題；還有一位則較少出現分析、計畫、探討、
與驗證階段，僅答對一題。第二，資優生的解題策略具多元性且靈活，
資優生在各題解題過程中靈活運用抽象表徵、繪圖表徵、逆推、替代、
及嘗試錯誤等策略，來輔助瞭解及探索題意完成解題。第三，資優生 的情意特質均具正向態度。六位解題者均具毅力及堅持態度；另外，
有四位對數學感到有興趣；有四位對自己具有信心。這些正向態度的 情意特質符合 Sternberg 的創造力特質與 Krutetskii 的數學天才特質。
教學建議方面，雖然六位學生皆為資優生，但並未所有的一般智
能資優生其探討、計畫、與驗證等後設認知都具備。所以，建議資優 班教師，可利用數學來訓練學生探討、計畫與驗證等後設認知的能 力；善用團體討論的方式，讓學生獲得更多的解題策略；普通班教師 可利用資優生的解題思考特質，塑造同儕相互學習的機會與空間。
關鍵字：一般智能資優生、解題歷程、解題策略、情意特質
An analysis of Mathematics Problem-solving Processes of Gifted Primary School Children with General Intelligent Ability
Huang Chia-Chieh Graduate Institute of Education National Sun Yat-sen University
Abstract
The purpose of this research is to use Schoenfeld’s mathematics problem-solving model to analyze processes, strategies, and affective characteristics of children in a gifted primary program, and then, to propose concrete suggestions for gifted class and general class teachers. Participants were six third-grade gifted children who were great in articulation, and enrolled in one primary school in Kaohsiung. The investigator analyzed think-aloud protocols of them who solved four non-routine problems selected by several expert teachers.
The findings of this study were three. First, all six gifted students' thought processes mostly conformed to Schoenfeld’s problem-solving model, though with various differences by individuals, and by problems. One of them provided two correct answers, having no verification stage in all problems.
And one only provided one correct answer, had less analysis,
exploration, design, and verification stage in solving all problems.
Second, children exhibited diversified and flexible strategies.
They used representing, drawing figures, working backward, introducing auxiliary element, and attempting mistakes to solve four non-routine mathematical problems. Last, the affective characteristics of students were positive. They were patient and perseverant and showed personal mathematics curiosity, excitement, and confidence, which were given as creative characteristics by Sternberg, and as mathematical talent or characteristics by Krutetskii.
The investigator concluded that not all gifted students possessed meta-cognition ability: including exploration, design, and verification. The gifted class teachers could use non-routine mathematics problems to discipline students' meta-cognitive ability, including exploration, design, and verification, and encourage them to generate more solving strategies by group discussion in class. Finally, the general class teachers could adopt problem-solving characteristics of gifted students as materials for gifted students and general students to learn together in class.
Keywords: gifted children with general intelligent ability, problem-solving processes, problem-solving strategies, affective characteristics
目 錄
第一章 緒論……… 1
第一節 研究背景與動機……… 1
第二節 研究目的與待答問題……… 8
第三節 名詞釋意……… 9
第二章 文獻探討……… 11
第一節 數學解題的意義……… 12
第二節 解題歷程與相關研究……… 15
第三節 解題策略與相關研究……… 34
第四節 資優生解題特質與相關研究……… 38
第三章 研究方法與設計……… 43
第一節 研究方法……… 43
第二節 研究架構……… 45
第三節 研究對象……… 48
第四節 研究工具……… 49
第五節 資料蒐集與分析……… 55
第六節 研究步驟與流程……… 58
第四章 研究結果與分析……… 60
第一節 一般智能資優生數學解題歷程分析……… 60
第二節 一般智能資優生數學解題策略之分析……… 102
第三節 一般智能資優生數學解題之情意特質分析………… 108
第五章 結論與建議……… 113
第一節 有關資優生解題的發現……… 113
第二節 資優生教學與研究方向建議……… 115
參考書目……… 118
一、中文部分……… 118
二、英文部分……… 121
附錄……… 127
附錄一 專家篩選非例行性數學題目題本……… 127
附錄二 正式研究之情境佈題題本……… 129
附錄三 逐字稿……… 131
表目次
表 1-1 數學解題相關研究比較……… 7
表 2-1 經常使用的探索法（Heuristics）……… 20
表 2-2 數學解題歷程理論比較表……… 30
表 2-3 數學解題策略……… 37
表 2-4 資優生正向情意特質……… 42
表 2-5 正負向情意特質……… 42
表 3-1 Schoenfeld 六大階段及其各階段之任務分析表……… 45
表 3-2 專家勾選非例行性問題之數學能力分析表……… 50
表 3-3 專家選題結果分析表……… 50
表 3-4 情境問題分析表……… 54
表 3-5 研究流程與時間表……… 59
表 4-1 解題歷程階段統計表……… 97
表 4-2 解題者在各題使用的解題策略……… 102
表 4-3 六位解題者使用的解題策略……… 107
表 4-4 六位解題者的情意特質……… 108
圖目次
圖 2-1 Schoenfeld 解題基模大綱……… 19
圖 2-2 數學解題模式的基模表徵……… 25
圖 3-1 研究架構……… 47
圖 3-2 S01 第二題「直式加法題」解題歷程與時間量表……… 57
圖 4-1 小姮解題歷程圖……… 62
圖 4-2 小茹解題歷程圖……… 68
圖 4-3 小茹蝸牛題繪圖表徵……… 70
圖 4-4 小珍解題歷程圖……… 75
圖 4-5 小迅解題歷程圖……… 80
圖 4-6 小揚解題歷程圖……… 85
圖 4-7 小涂蝸牛題繪圖表徵……… 90
圖 4-8 小涂解題歷程圖……… 91
圖 4-9 蝸牛題解題歷程圖……… 98
圖 4-10 直式加法題解題歷程圖……… 99
圖 4-11 月曆題題解題歷程圖……… 100
圖 4-12 九宮格題題解題歷程圖……… 101
第一章 緒論
本章共分三節，分別為「研究背景與動機」、「研究目的與待答問 題」與「名詞釋意」。詳述本研究之研究動機與目的，以及針對「一 般智能資優生」與「數學解題」下操作定義。
第一節 研究背景與動機
我國資優教育自 1973 年實驗計畫至今，歷經三十年。吳武典
（2003）提到特殊教育基本理念在因材施教，注重個別化教學，無論 是能力分班、分化性課程或加速，均可提高資優教育這一類「特殊教 育需求」，學生挑戰性經驗或充實的機會，以盡展所能。我國特殊教 育法（1997）第一條開宗明義說明「為使身心障礙及資賦優異之國民，
均有接受適性教育之權利，充分發展身心潛能，培養健全人格，增進 服務社會能力，特制定本法。」資優教育以適性教育為出發點，以學 生為中心，重視因材施教與個別化教育的精神，在我國特殊教育法
（1984，1997）中明確地給予資優教育政策與制度的法源依據。
依據特殊教育法，資賦優異可區分為一般智能、學術性向、藝術 才能、創造能力、領導能力及其他特殊才能等方面。現今國小階段大 都 由 以 往 集 中 式 的 數 理 資 優 班 轉 為 招 收 一 般 智 能 （ general
intelligent ability）資優資源班， 採分散式的模式來進行教學，
而不再以「數理」資優生為主。以高雄市為例，根據高雄市 2003 年 特殊教育通報系統統計資料顯示，一共成立八十九班一般智能資優資 源班，約 2079 位學生接受該教育方案的服務。所謂的一般智能資優 生（gifted student）依據教育部頒鑑定標準第十四條規定是指在記 憶、理解、分析、綜合、推理、評鑑等方面較同年齡具有卓越潛能或 傑出表現者，其智力或綜合性向測驗得分在平均數正一點五個標準差 或百分等級九十三以上者。在國小階段以發展資優生潛能，拓展資優 生在應用、分析、綜合、評鑑等方面高層次的思考能力訓練，而不應 僅停留於知識記憶與理解的課程訓練。
強調以個別化與高層次思考能力訓練的資優教育觀點，我們發現 在國內外資優教育文獻（Gallagher,1985; 毛連溫，2001）都強調學 生問題解決（problem-solving）能力的培養，它是一種思考能力的 訓練。因此，有學者建議採行問題解決的評量，作為鑑定的依據。如 Reid 和 Romanoff (1997)提出要確認較小的資優生我們應採取問題 解決的評量（problem-solving assessment），這樣的評量透過創造 力、分析、實踐（practical）問題解決等能力的活動，去測量出語 言（linguistic）、邏輯數學（logical-mathematical）、特殊智能
（spatial intelligences）等方面的能力，不同於傳統採行標準智
力測驗及成就測驗來鑑定資優生。Reid 和 Romanoff 提出這樣的論點 乃是強調資優生在思考能力上的鑑定。
在資優教育教學歷程當中，「數學」也用來訓練學生問題解決與 發現問題的能力（Gallagher, 1985）。美國學者 Gallagher (1985) 提到「數學不只是計算、測量、運用公式（manipulating formulas）， 而 且 就 本 質 來 說 它 是 思 考 的 方 式 — 演 繹 （ deductive ） 及 歸 納
（inductive）的推理。」例如，香港特別行政區教育統籌局（2003）
為資優生設計數學教育的理念中提到：「數學是一種思考方式。…數 學教育的目的旨在培養學生構思、探究、推理、傳意、建立及解決問 題。…教師設計一些具挑戰性的活動，讓能力高的學生去探究及發現 一些數學規律，以擴展他們的知識領域及思考能力。施教時，教師可 因應情況在適當時機鼓勵學生對問題提出多種不同的解法，要對學習 過程、解題方法與答案同樣重視，並從解題的過程中，讓學生的高層 次思維能力得以提升。」我們可以看出美國與華人地區(如香港)在資 優教育方面，都應用「數學」來訓練學生的思考能力，發現數學的規 律性，養成學生去構思、探究、推理、及解決問題的能力。
數學大師 Polya (1945)強調「人是解題（problem-solving）的 動物」。數學解題的相關研究，深受到在 1975 年五月於 Georgia 大學
成立的「數學解題教育研究工作坊」（Research Workshop on Problem Solving in Mathematics Education）所影響（Lester, 1994）。Lester (1994)提到「大部分的數學教育者同意學生的解題能力發展是數學主 要的教學目標。」
美國全國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics﹝NCTM﹞, 2000）在所訂定的學校數學教育的原則與標 準（The Principles and Standards for School Mathematics）中 強 調 以 幫 助 學 生 發 展 精 密 （ sophistication ） 數 學 解 題
（problem-solving）歷程為目標，如表述（representation）、數學 推理（mathematical reasoning）、抽象化（abstraction）及類化
（generalization）等能力是數學能力的重要因子。
由於資優生的培育重視個別化與高層思考能力的訓練，在國小各 領域中，「數學」是適合培育資優生該能力的領域。在國外，Greenes (1981)曾指出數學資優生與非數學資優生之差異在於數學資優生具 有簡化（formulate）問題的能力、活化（flexibility）資料的管理 能力、抽象符號化（abstract）及類化（generalize）數學概念
（concepts）的能力。也有的實驗研究證實學前資優與非資優學習者 最大的差別在於類化能力（generalization）（Kanevsky, 1990）。蘇
俄學者 Krutetskii (1976)以臨床晤談法針對 19 位不同數學能力的 學生研究發現，數學能力強的學生（gifted），在形成數學類化
（generalization）又快又廣，並且在解題前能分辨出問題的結構；
一般的學生（average）總是無法覺察數學問題的要素；較差的學生
（incapable）則完全無法完成這項任務（task）。Sriraman (2003) 針對九位九年級新生進行數學資優生與非資優生之數學解題歷程與 數學概念形成之差異性比較。
在國內，孫達剛（1992）以雄中、雄女兩校學生為研究對象，發 現數學高成就組學生的解題風格十分接近 Polya 所認為的解題四階 段。謝淡宜（1998，1999）針對五年級（研究對象共 23 名）及四年 級（研究對象共 44 名）資優生與普通生（非資優生）在數學解題歷 程的比較，其藉由放聲思考法（thinking aloud）來了解學生的解題 歷程，該研究之資優生與普通生（非資優生）的區別乃針對學生的數 學總平均成績及瑞文氏智力測驗，並進行學業性向測驗綜合判斷出所 謂的數學資優生與普通生，其資料分析方式是依使用的策略、有效性 及答對率以不同層次解題品質分出十個等級標準，之後，再依該十等 級給予學生解題情形分類，並作各等級的次數統計。劉貞宜（2001）
以建中三位不同能力數學資優生的解題歷程作分析，主要探討解題之 認知特質、情意特質與社會資源之利用情形，執行方式採取讓學生當
場無法解完的題目帶回家繼續完成，並要作解題日誌，以了解回家後 是否尋求資源及情緒狀況，事後進行面談。
由上述數學解題相關研究（孫達剛，1992；謝淡宜，1998，1999；
劉貞宜，2001；Sriraman, 2003）發現（表 1-1），研究議題乃針對 數學資優（能力佳）與非數學資優生（能力差）的比較，而研究對象 大都以高年級以上的學生為對象，未針對中低年級一般智能資優生作 過相關研究。另外，許多的研究一再強調「探究解題歷程」，但在其 結果分析不是將資料量化就是未深入分析研究對象的解題歷程。本研 究則依據 Schoenfeld (1985, 1989)解題歷程的六階段，以質性研究 的方法分析學生的解題歷程，以探索學生解題的思考歷程。
本研究針對一般智能資優班作為研究對象，這些學生，是由高雄 市經一定程序（團體智力測驗與性向測驗）鑑定出來的國小中年級學 生，取樣本之範圍以三年級新生為對象，而非僅以數學單科較強者為 對象。在研究方法取質性，試以了解經過鑑定，在「記憶、理解、分 析、綜合、推理、評鑑」等方面較同年齡具有卓越潛能或傑出表現的 一般智能資優生，其數學解題能力的表現為何？探究資優生在數學的 解題歷程、解題策略、及解題歷程中所呈現的情意特質。
本研究主要探究國小資優班新生在數學解題上的表現，有利於未 來資優教班教師在規劃從數學解題來訓練國小資優生問題解決思考 能力的課程，並讓普通班教師了解資優生在數學解題方面的思考模 式，以建議普通教師如何擅用資優生之特質，輔助一般班級的數學教 學。
表 1-1 數學解題相關研究比較
研究者 研究題目 研究對象 解題理論
孫達剛(1992) 雄中、雄女學生數學解題之研究 高中生 Polya
謝淡宜(1998)
小學五年級數學資優生與普通生數學解題時
思考歷程之比較
五年級
謝淡宜(1999)
國小數學資優生及普通生「數學解題」歷程
之比較(四年級)
四年級
劉貞宜(2001)
數學資優生的解題歷程分析—以建中三位不
同能力的數學資優生為例
高中生 Schoenfeld
Siraman (2003)
Mathematical Giftedness, Problem
Solving, and the Ability to Formulate
Generalizations: The Problem-Solving
Experiences of four Gifted Students.
九年級
（國中生）
Lester
第二節 研究目的與待答問題
壹、研究目的
根據上述研究背景與動機，本研究針對高雄市經一定程序鑑定出 來國小一般智能資優班新生，在數學解題能力的表現為何？本研究之 研究目的如下：
一、 探究資優生數學解題歷程（processes）。
二、 探究資優生數學解題的策略（strategies）。
三、 探 究 資 優 生 在 過 程 中 所 展 現 的 情 意 特 質 （ affective characteristics）。
貳、待答問題
本研究採行質性研究的方法探究其如何進行數學解題，分別就歷 程、策略及情意特質等方面來分析，所以依據研究目的在資優生的解 題歷程中有以下幾項待答問題：
一、 資優生的解題的歷程為何？
二、 使用哪些解題策略？
三、 展現情意特質為何？
第三節 名詞釋意
一、國小一般智能資優生（gifted primary school children with general intelligent ability）
所謂的國小一般智能資優生，是依據教育部頒鑑定標準第十四條 規定，係指在記憶、理解、分析、綜合、推理、評鑑等方面較同年齡 具有卓越潛能或傑出表現者。這一些資優生，其智力或綜合性向測驗 得分在平均數正一點五個標準差或百分等級九十三以上的國小學童。
本研究之一般智能資優生乃是經高雄市九十二學年度一般智能 資優生鑑定合格之三年級學生。其在二年級經班級級任老師或家長推 薦，參加資賦優異鑑定初選「團體智力測驗」( 佔錄取總成績 40 % ) 及複選「綜合性向測驗」 ( 佔錄取總成績 60 % )，其二項成績加權 總合在平均數正 1.5 個標準差以上。
二、數學解題（problem solving）
本 研 究 之 數 學 解 題 指 的 就 是 非 例 行 性 問 題 （ non-routine problem）的數學解題能力。所謂非例行性問題，就是解題者未曾練 習過的問題，或者是曾經練習過，時間已久而全然忘記的問題。由於 是非例行性問題，解題者不能直接由題目馬上找到解題的途徑，需應 用曾經所學的數學知識或技能，並透過分析、綜合、評鑑等高層次的 思考活動，來解決目前新情境的問題。所以，本研究數學解題之非例 行性題目包含邏輯推理、數的概念、尋求規律性等數學能力。
第二章 文獻探討
美國數學教育強調解題能力，以發展學生的表述、抽象化、邏輯 推理、歸納、尋找規律性的數學能力，其是一種思考能力的訓練（NCTM, 2000）。
國內的數學教育也強調以解題為目標，在八二年國小數學課程標 準的修訂，將數學視為溝通工具，學生以自己的經驗來建構數學概 念，數學可說是「推理」能力的訓練的工具，也就是著重於數學解題 能力。而今，九年一貫教育改革強調學生問題解決的能力，黃敏晃
（1991）提到「解題（problem solving）就是解決問題。」所以數 學解題，可以訓練學生的思考並增進其問題解決的能力。
所謂解題或問題解決，在九年一貫課程綱要中，強調「問題解決，
就是運用個人先前已備的經驗、知識、技能和了解，去思索、探索、
推理，到新的或不熟悉的情境，去尋求解答的歷程。」（教育部，2000）
解題者對他所面臨的問題，可憑其自然的推理能力，先前學過的知識 或獲得的能力，或藉此問題之組織安排而加以了解，解題就是解題者 如何把自己從困境中解脫出來的過程（黃敏晃，1991）。
本章共分四節，主要根據國內外文獻探究「數學解題的意義」、
各專家學者的「解題歷程與相關研究」、「解題策略與相關研究」及「資 優生解題特質與相關研究」。
第一節 數學解題的意義
美國數學督導協會（The National Council of Supervisors of Mathematic﹝NCSM﹞, 1977）將數學解題界定為「運用個人先前獲得 的知識，去解決一個未知或不熟悉問題之歷程。Polya（1945）認為 解決問題就是為了要達到一個被清楚地意識到但又不能立即達到的 目標，期間沒有方法被告知，但卻要克服困難，繞過障礙去發現達到 此目標的方法。
Lester (1980)認為數學解題是指「個人面臨一種情境，在此種 情境下並沒有算式可以保證解答，個人必須利用所擁有的相關知識或 訊息，去獲得問題解答的過程。情境（situation）是否成為問題端 賴個人對情境反應（individual’s reactions）而定。Lester 進一 步說明，情境對個人來說若要形成問題的話，則個人必須要(1)覺知 這情境（be aware of the situation）(2)對解決這情境有興趣（be interested in resolving the situation）(3)不能直接找到解答（be unable to proceed directly to a solution）(4)有意圖去發現解
答（to make a deliberate attempt to find a solution）。
Mayer (1985)認為解題就是從已知情境移動到目標情境的過 程，一連串心智運作的活動。數學解題就是解題者試圖透過問題空間
（problem space）去尋求一條路徑。問題陳述轉換成內在心智表徵
（an internal mental representation），包括給予狀態（state）、 目 標 狀 態 （ state ）、 及 允 許 的 操 作 者 及 運 思 者 （ allowable operator）。問題空間能建立對主題（subject）的問題理解。解題者 應用操作者/運思者（operators）在問題的狀態（states），直到達 到目標（Mayer, 1982）。
美國學者 Kilpatrick (1985)指出「所有的數學都是數學家們在 形成問題及解題的過程中創造出來的。曾用以下三個不同觀點來敘述 數學解題：
一、 心理學觀點
數學解題常被定義為一個情境，在此情境中某人想要達到某一目 標，但直接通往此目標的路徑已經被阻塞了，也就是問題產生了，當 然在尋求答案的過程中，需要用到一些數學概念、原理、及方法等，
亦即把解題看成達到某種目的而做的一些活動。
二、 社會人類學觀點
把一個數學問題當作是老師給學生的一項任務，學生在接受此項 任務時與老師所產生的微妙關係，互相猜測對方的心意，即從自我觀 點出發來解釋對方的行為。
三、 數學及數學教學觀點
將數學問題當作是數學建構的泉源，以及數學教學進行的思考工 具，因為所有的數學，都是數學家們在形成問題及解題的過程中創造 出來的，所以，數學解題正是讓學生搭起數學鷹架很重要的工具。
綜合以上所述，數學解題就是「個人面臨一個問題情境或困境，
利用自己所擁有數學的知識與能力，透過心智運作善用推理、歸納、
尋求規律性等能力，將所面臨的問題解決，獲得答案的過程，其過程 未必需應用算式始能求得解答」。在此解題觀點，就是將數學視為思 考訓練的工具。當然，我們亦可利用數學來了解學生問題解決能力與 思考能力的工具，也就是了解學生在解題過程中的思考歷程、如何利 用策略、及面臨問題情境到解決問題過程中的特質。
第二節 解題歷程與相關研究
本節先後參考 Polya (1945)、Schoenfeld (1985)、Lester (1980) 等學者對解題歷程的論說，最後探討國內外解題歷程研究成果。將本 節分為 Polya 的數學解題歷程、Schoenfeld 的數學解題歷程、lester 的數學解題歷程、及數學解題歷程相關研究等四個部分。
壹、Polya 的數學解題歷程
Polya (1945) 針 對 解 題 歷 程 提 出 了 四 個 階 段 ： (1) 了 解 問 題
（understanding the problem）(2)擬定計畫（devising a plan）
(3)執行計畫（carrying out the plan）(4)回顧（looking back）。 Polya 的解題模式建議透這四解題階段是透過成功解題者所執行
（Lester, 1980）。Polya (1945)解題歷程四階段說明如下：
一、 了解問題
Polya 認為解題的時候，解題者必須了解問題，其內容包括：
1. 未知數是什麼？已知數（data）是什麼？條件是什麼？
2. 是否滿足條件？要確定未知數，條件是否充足？還是不夠？過 多？或是矛盾？
3. 畫一個圖，引入適當的符號。
4. 把條件的各部分分開，解題者能否將他們寫下來？
二、 擬定計畫
找出資料和未知數間的關係，如果找不到，可能要考慮輔助問 題，解題者應該有解決問題的計畫。
1. 解題者以前看過這個問題嗎？或看過形式稍微不同的問題？
2. 解題者知道相關的問題嗎？解題者知道可以派上用場的定 理？
3. 注視未知數！嘗試去想一個有相同或類似未知數的熟悉問題。
4. 這裏有一個解題者以前解過的相關問題，解題者能應用它嗎？
能應用它的結果嗎？能應用它的方法嗎？是否能引入輔助元 素？
5. 解題者能重述問題嗎？能用不同的方式來重新敘述它嗎？
6. 如果解題者不能解這個問題，嘗試去先解相關的問題。解題可 以想到一個更容易著手的相關問題？一個更普遍的問題？一
個更特殊的問題？一個相類似的問題？解題者能解這個問題 的一部分嗎？保留已知條件的一部分，捨去其他部分，這樣對 於未知數能確定到什麼程度？它會怎樣的變化？解題者能從 已知條件導出有用的結果嗎？能考慮其他已知數去決定未知 數？解題者能改變已知數和未知數嗎？如果必要的話兩個都 改變，如此新的未知數和已知數會更接近？
7. 解題者使用了所有的已知數嗎？使用了所有的條件嗎？解題 者已經考慮過這個問題所涉及的所有概念嗎？
三、 執行計畫
執行計畫，檢查每一步驟。解題者能清楚地知道每一步驟都正確 嗎？解題者能證明這一步驟是正確的嗎？
四、 回顧
1. 解題者能檢驗結果嗎？能檢驗論證嗎？
2. 解題者能用不同方法導出這個結果嗎？能一下子就了解他 嗎？
3. 解題者能把這結果或方法應用到別的問題嗎？
貳、Schoenfeld 數學解題歷程
Schoenfeld (1985)更進一步把 Polya 四階段解題歷程增加為讀 題、分析、探討、擬定計畫、執行、驗證六大階段，可參閱圖 2-1、
表 2-1。Schoenfeld (1985)在各階段也提出一些注意的相關問題：
一、 讀題
R1：注意到問題的所有條件嗎？
R2：正確了解目標狀態嗎？
R3：是否評估解題者自己現有知識與問題的關係？
二、 分析
A1：選擇什麼觀點？
A2：根據問題條件採取行動嗎？
A3：根據問題目標採取行動嗎？
A4：搜尋條件和目標間是否有關聯？
A5：解題者所採取的行動（A1-A5）是否合理？
資料來源： Schoenfeld A.H. (1985). Mathematical problem solving (p.110).
Orlando, Fl.: Academic Press.
分析 了解問題陳述
簡化問題 重構問題
計畫 建構解題的論點 問題層次分解：
整體到特殊性 佈題
可用的公式、原 則及結構
執行 逐步執行計畫
局部驗證 基模解答
驗證 特殊性檢測 一般性檢測 暫時性解答
探討 基本相似的問題 稍微地修改問題 廣泛地修改問題
驗證後答案
更多可用的 相關問題或 新資訊
較大困難 較小困難
圖 2-1 Schoenfeld 解題基模大綱
表 2-1 經常使用的探索法（Heuristics）
分析（Analysis）
1.盡所能地畫圖表（diagram）
2.檢查（examine）特殊案例（special case）
(1)選擇特殊評估（value）去例示（exemplify）問題並得到「感覺（feel）」
(2)檢查案例的限制去拓展可能性的範圍
(3)設定整數參數為 1,2,3…，有順序性的，歸納成一個題組（pattern）
3.設法簡化問題
(1)開拓對稱性（symmetry）
(2)「不要失去普遍性（generality）」的論據（arguments）
探討（Exploration）
1.考慮到同等的（equivalent）問題 (1)藉由同等的問題替代情境
(2)再次結合問題的要素用不同的方式 (3)導入輔助的要素
(4)再簡潔的陳述（re-formulate）問題
a.改變看法（perspective）或標記符號（notation）
b.藉由矛盾（contradiction）與負面（contrapositive）來思考衝突爭論（arguments）
c.假設你有答案並決定他的性質（properties）
2.考慮稍微修改問題 (1)選擇次目標
(2)鬆解（relax）情境然後設法重新加以利用（re-impose）
(3)分解問題範圍並一步接著一步來處理 3.考慮廣度的修改問題
(1)建構些許變項的類似問題
(2)掌握全部僅以其中一變項去決定變項的影響 (3)設法開拓任何有關問題的相似性（similar）
a.形式（form）
b.已知（givens）
c.結論（conclusions）
記住：當處理較簡單有相關的問題，設法拓展答案的結果（result）與方法（method）。
驗證答案
1.你的答案有通過特殊（specific）的檢測嗎？
(1)有使用所有相關的（pertinent）資料嗎？
(2)有合乎合理的檢查或預測（predictions）？
(3)經得起對稱（symmetry）、容積分析（dimension analysis）、尺規（scaling）的檢測？
2.能通過普遍性（general）的檢測？
(1)能被獲得差異性嗎？
(2)能被特殊案例證實？
(3)能被處於（be reduced）已知的結果？
(4)能被使用在你所知的事情？
資 料 來 源 ： Schoenfeld A.H. (1985). Mathematical problem solving (p.109). Orlando, Fl.: Academic Press.
三、 探討
E1：本階段是問題的條件導向？或目標導向？
E2：所採取的行動有方向或重點？
E3：有無監控行為？監控行為的有無對答案的結果有何影響？
E4：解題者所採取的行動（E1-E3）是否合理？
四、 計畫
P1：是否有計畫行為？
P2：計畫與解題間有關係嗎？是否有良好的架構？
P3：解題者是否評估計畫的相關性及結構性？
五、 執行
I1：執行是否依計畫有系統的進行？
I2：是否在局部或整體層次評估執行？
I3：答案的評估之有無對結果的影響如何？
六、 驗證
V1：是否重新檢查計算過程？
V2：有無驗證答案？如何驗證？
V3：是否對計算過程或對結果的信心程度作評估？
Schoenfeld (1985)除了提及以上六個階段之外，更提出數學解 題表現具備的知識與行為，如資源、啟發策略、控制力與信念信系統，
說明如下：
一、 資源（resource）：
就是個人所擁有的數學知識，能夠處理手邊的問題。包括：解題 領域的直覺（intuitions）與非正式的知識；已知的事實；運算的程 序（algorithmic procedures）；例行性非運算程序（ “Routine”
non-algorithmic procedures）；及對解題領域公認規則的了解或命 題知識。
二、 啟發策略（heuristics）：
就是用來解不熟悉或非標準問題的策略與技巧；也就是有效率的
解題主要法則，包括利用畫圖引入適當的符號（notation）；尋找相 關 問 題 ； 重 構 問 題 （ reformulating problem ）； 逆 推 （ working backwards ）； 及 檢 測 與 查 證 歷 程 （ testing and verification procedures）。
三、 控制力（control）：
就是有關於資源與策略的選擇與執行全面性的決斷力（global decisions），包括計畫；監控和評估；決策（decision-making）；及 有意識的後設認知行動。
四、 信念系統（belief systems）：
就是個人數學世界觀點，也就是一連串的個人行為決定，包括對 自己、環境、主題、及數學的觀點。
參、Lester 數學解題歷程
Lester (1980)以(1)問題的覺察（problem awareness）；(2)問 題理解（problem comprehension）；(3)目標分析（goal analysis）；
(4) 計 劃 的 發 展 （ plan development ）； (5) 計 畫 的 執 行 （ plan implementation）；(6)程序和解答的評估（procedures and solution
evaluation）等六階段來描述數學解題。Lester 強調這六個階段是 不同但卻互相關聯的（distinct but interrelated），圖 2-2 說明每 階段之間相關性。依據 Leste 的解題六階段，說明如下：
第一階段：問題的覺察
情境展示給學生，在這情境被當作問題前，學生必須了解困難的 存在，這情境並非立即且快速可解決的。這樣的認知通常從最初的失 敗到預達到的成功目標之間的感受。第二個覺察階段的要素，學生有 意願去解決這個問題。如果學生沒有意識到困難或沒意願去解決問 題，這整個歷程是無意義的。
第二階段：問題理解
一但學生覺察到問題情境以及有意願視為問題排除它，學生就會 開始去對這問題產生感覺（making sense out of the problem）。這 階段包含（involve）至少二個次階段：一為遷移（translation）二 為 內 化 （ internalization ）。 遷 移 包 括 詮 釋 由 問 題 提 供 的 資 訊
（information）到對學生有意義的術語。內化需要解題者把相關資 訊分類及決定如何使資訊彼此相互關連。
佈題
覺察
問題理解
目標分析
計畫的發展
計畫執行
目標達成？
歷程 評估
目標就是解答？
解答 評估 解答正
確？
完成
No
No
No Yes
Yes
Yes
圖 2-2 數學解題模式的基礎表徵
資料來源：F.K. Lester (1980). Problem Solving: Is it a problem? (p.36). In M.M.
Lindquist (Eds.), Selected issues in mathematics education. Berkeley, Calif: McC
更重要的，在這個階段個體形成內在問題描述/表徵（an internal representation of the problem），這樣的描述/表徵在第一次可能 是不正確的，但卻是提供了建立解決問題的目標或優勢（priorities）
的工具。解題者在尋求解答的過程中，其內在描述/表徵的準確性會 增加。因此，問題理解是解題歷程階段中的其中一項因子。
第三階段：目標分析
似乎解題者能夠來回地從這個階段跳到另一個階段。對於某些問 題適合建立次目標（subgoals），有些則不需建立次目標。這樣次目 標的確認（identification）及隨之的成就（subsequent attainment）
通常有助於問題理解及歷程發展。
目標分析被認為是試圖再將問題公式化表述，以至於能使用熟悉 的策略與技巧。這也包含了問題組成部分的確認（identification of the component parts of a problem）。這就是這樣的一個步驟，從 目標本身回溯，以達到能區分出問題不同的組成份子。因此，目標分 析包含了更多資訊的簡單詳述（simple specification of given information ）、 相 互 關 係 的 詳 述 （ specification of the interrelationship of information）、運作的詳述（specification of the operations）都是需要的。
第四階段：計畫的發展
計畫的發展包括了辨認更多可能性的策略（例如題組的發現及解 一個簡單相關的問題）這也包含次目標的安排及詳述（specify）運 作方法。或許在這階段對學生來說會產生困難，這也就是一般學生在 看完老師解題後會大喊著「他是如何想的？我從來沒想過那樣的方 法。」這困難的主要來源是如何從學生無法很容易的完成任務傾向放 棄的事實中規劃（formulate）出一個攻擊（attack）計畫。當然，
如果問題很容易解出，那就不是真正的問題。好的問題會產生最初的 失敗，常會導致拒絕繼續完成。這也是事實，學生無法策劃計畫，因 為在他們的處置過程中太少計畫了。
另一困難的來源是安置可被用的次目標及規劃運作方法，對許多 學生來說解題最難的部分是知道第一步該做什麼及組織他們的構想
（ideas）。教導學生策略，他們必須被幫助去組織他們的思考與計畫。
第五階段：計畫的執行
在這階段解題者試驗其已策劃出的計畫。執行錯誤的可能性提升 會混淆（confound）情境。學生正確地決定製作圖表及尋找組群
（pattern），會因為簡單計算錯誤而無法找到組群。
第六階段：程序和解答的評估
成功的解題通常會在解題歷程做系統性評估的決定及結果的檢 測。
另外，Lester (1980)在每一階段提出相關問題如下：
一、問題理解
(a)在問題當中相關與非相關的資料（data）是什麼？ (b)了解 資訊（information）間的關係嗎？ (c)了解當中所有術語（terms）
的意思嗎？
目標分析：(a)有任何次目標能幫助我達到目標嗎？ (b) 能安排
（order）這些次目標嗎？ (c)次目標的安排正確嗎？ (d)有正確地 確認出問題的操作情境嗎？
二、計畫的發展
(a)有其他的方法能解這個問題嗎？ (b)有最好的方法嗎？ (c) 我曾經解過這樣的類似題目嗎？ (d)這樣的計畫將會達到目標或次 目標？
三、計畫執行
(a) 使 用 的 策 略 正 確 嗎 ？ (b) 在 計 畫 中 每 一 步 驟 的 安 排
（ordering）適當嗎？或是能使用不同的安排方式？
四、解答的評估
(a)解答是否具一般性（generalizable） (b)解答是否符合問題 的條件（conditions） (c)解題者所學的能幫助我解其他的問題嗎？
除了 Polya、Schoenfeld、Lester 的數學解題歷程理論外，另外 還有一些學者對數學解題歷程的看法，例如，Mason (1985)把解題過 程分成進入（Entry）、攻擊（Attack）、回顧（Review）三個階段。
進入（Entry）階段思考的是「我的已知是什麼？」、「我的所求是什 麼？」、「我能引入些什麼？」；攻擊（Attack）階段會去「嘗試」、推 測「可能是…」、想著「為什麼？」；回顧（Review）階段則是會有「檢 查」、「反思」、「推展應用」等行為。
另外，如 Mayer (1992)從問題解決認知的觀點指出，解題包含兩 個步驟，第一步驟為「問題表徵」，其內涵包含問題的轉譯，及問題 整合二部分；第二步驟為「問題解決」，包括了計畫與監控，以及實 施。與 Schoenfeld (1985)數學解題六階段來比較，問題轉譯相當於
讀題階段，問題整合相當於分析階段，解題計畫與監控相當於探討與 計畫階段，實施則相當於執行階段。而 Schoenfeld 的驗證階段則包 含在計畫與監控階段的監控階段。
綜合以上所述，將 Polya (1945)、Schoenfeld (1985)、Lester (1985)、Mason (1985)及 Mayer (1992)之數學解題歷程列表比較如 表 2-2。以上各學者所提之歷程，研究者深入各學者所提出的解題歷 程的內容發現，其實彼此之間是相似的，只是階段分類不同。以 Schoenfeld 的解題歷程六階段的分類較為詳細，適合作為資優生數 學解題歷程分析的理論依據。
表 2-2 數學解題歷程理論比較表
理論提出者 階段一 階段二 階段三 階段四 階段五 階段六
Schoenfeld (1985) 讀題 分析 探討 計畫 執行 驗證
Polya (1945) 了解問題 擬定計劃 執行計劃 回顧解答
定向 組織 執行 驗證
Lester (1985)
問題覺察 目標分析
問題理解
歷程評估
計畫發展 執行 解答評估
Mason (1985) 進入 攻擊 回顧
Mayer (1992) 問題轉譯 問題整合 解題計劃與監控 實施
肆、數學解題歷程相關研究
孫達剛（1992）以雄中、雄女兩校數學科高成就組學生 93 名、
低成就組學生 77 名為研究對象，並採用「紙筆測驗和面談」，相互配 合的方式進行，其研究結果發現：高成就組學生的解題風格十分地接 近 Polya 所認為的解題四階段。
劉貞宜（2001）將數學解題區分為「閱讀題目、分析題目、整合 及探索問題、擬定計畫、執行計畫」等五個解題歷程階段，研究建中 三位不同能力的數學資優生發現，數學資優生解題歷程階段有其相同 及不同之處，大都在第二階段分析題目及第三整合及探索階段有所不 同。能力較高的學生解題路徑越多，其中能力最高的學生最能覺知、
掌握及分析題目與自己的能力；而能力中上的學生常透過具體表徵及 探索後，才會決定解題方法或方向；而能力較弱的學生則常使用無系 統的假設或嘗試錯誤來探索題目。
Sriraman (2003)就 Lester (1985)定向、組織、執行、驗證等 四個數學解題歷程來分析，以九位九年級新生（4 位數學資優生，5 位非資優生）為研究對象，發現資優生在各階段表現的行為：
一、 定向（問題覺察、目標分析、歷程評估）
能理解問題情境、檢核適合問題情境的資訊、確認了解問題情境的假 設、能區別疑問（interrogative）與敘述（declarative）的句子。
二、 組織（計畫發展）
全盤性的計畫、堅信著手執行（consistently planning to work their
“way up” or “starting out small”）、控制問題的變項。
三、 執行
正確局部行動（local action）的表現、監控歷程與一貫的計畫。
四、 驗證（解答評估）
局部行動結果的檢查、驗證執行計畫的結果、使用特殊案例更加了解 現象發生的原因。
從上述數學解題歷程相關研究發現，數學能力高的學生都能符合 數學家所提出的解題歷程。就 Schoenfeld (1985)的解題六階段而 言，一般智能的資優生，其思考能力優於一般人，在普通班的數學成 績亦在全班前 20%，所以，資優生的解題歷程也應該符合讀題、分析、
探索、計畫、執行、驗證等六階段。
第三節 解題策略與相關研究
數 學 解 題 策 略 的 相 關 研 究 中 ， Schoenfeld (1985) 在 Mathematical problem solving 一書提到，他在 Berkeley 大學針對 大學生所做的解題相關研究發現，這群大學生常用的解題策略包括：
類 推 （ exploiting analogies ）、 引 入 輔 助 元 素 （ introducing auxiliary element）、輔助問題（working auxiliary problem）、歸 謬法（arguing by contradiction）、由已知來推論（working forward from data）、分解或重組（decomposing and recombining）、執行相 關問題（exploiting related problems）、畫圖（drawing figures）、
類化（generalizing）、使用反論（inventors paradox）、特殊化
（specializing）、簡化（using reduction and absurdum）、間接證 明（indirect proof）、變化問題（varying the problem），逆推
（working backward）。
劉貞宜（2001）綜合 Kilpatrick (1967)的解題策略、Webb (1975) 的特殊解題策略、及 Cyert (1980)解題的啟發策略後，將解題策略 歸納如下：(1)畫圖表徵；(2)以字詞、圖形、或符號等方式來簡化問 題；(3)回憶相關問題；(4)嘗試錯誤；(5)應用特殊化；(6)使用連續 漸進法；(7)從現狀向目標倒退思考；(8)使用演繹法；(9)使用歸納
推理法；(10)運用類化和隱喻法；(11)常常詢問自己問題解決方法的 存在性與唯一性；(12)以不同的方式提出問題，並口述問題；(13) 常自問所提問題的前提是否具有可靠性；(14)以算式檢查解答是合乎 條件；(15)與人談論問題解題方法。
除此之外，劉貞宜（2001）針對建中三位數理資優生研究發現，
數學資優生常利用解題策略來理解、探索方向及突破困難，且解題策 略的使用多元，也常利用解題策略來幫助自己理解、思考、探索、聯 結及推理，讓整個解題變得更順暢及快速。另外，劉貞宜發現能力特 優的數學資優生使用策略明顯多於能力中上及能力稍弱的資優生。另 外，Cohen 和 Stover (1981)發現，資優學生在解題時，會自行將較 難的字彙換掉，將句子的長度縮短，將無關資料刪除及作出輔助圖表。
綜合以上所述，可以瞭解解題策略的應用主要是幫助解題者對於 問題的瞭解，輔助解題的思考，有助於問題的解決。解題策略越能靈 活應用就越能幫助解題的流暢。研究者彙整上述學者（Kilpatrick, 1967; Webb, 1975; Cyert, 1980; Cohen & Stover, 1981; Schoenfeld, 1985）所提及到的解題策略如：繪圖表徵、逆推、引入輔助元素（替 代）、歸納找尋規律及嘗試錯誤等策略(見表 2-3)。說明如下：
一、繪圖表徵
所謂繪圖表徵就是以繪圖的方式來了解題意及輔助解 題。如研究者所蒐集的題目「一個井有 10 公尺深，一個蝸 牛總是在白天爬升 5 公尺，而在夜晚時滑下 4 公尺。如果這 個青蛙從井底爬起，則幾天後牠可爬出井外？」解題者會先 畫出一口井，接著以每一公尺劃上刻度，來呈現題意。之後，
依題意先畫五公尺，在向下畫四公尺，如此將問題解出。
二、逆推
逆推就是「由果推因」，也就是由結論倒推得已知條件 的逆向思考方式，有助於解題。如「正方形加 1 再減 2 等於 9」則我們可以先將 9 加 2 等於 11，再將 11 減 1，求得正方 形為 10。由結論求得已知的方法。
三、引入輔助元素（替代）
引入輔助元素就是將某一元素放入問題中，以便於解 題者解題。如「星星加正方形等於星星」，以上皆為抽象符 號，解題者會引入一元素，如假設星星為五，則五加正方形 等於五，則可以很容易推得正方形為零。
四、歸納找尋規律性
在數學問題有很多是具有規律性的線索，如九宮格，可 以先觀察其數字間的關係，如 9 加 1、8 加 2、7 加 3、6 加 4 等大數加小數的和相等。如計算星期幾，則我們可以覺查到 日曆是以七日為一週的週期性，來輔助解題。
五、嘗試錯誤
數學解題另一種策略，乃是嘗試錯誤。所謂嘗試錯誤就是試 探性的解題方式，從嘗試錯誤的解題過程中再去尋求解題的線索 性。如將 1 至 9 等九個數字填入九宮格內，使橫直斜的和相等，
解題者依題意，由數字「1」開始將數字逐一填入，或開始填入 其他數字。
表 2-3 數學解題策略
策略
學者
繪圖表 逆推 替代 尋求
規律性
嘗試
錯誤
Schoenfeld (1985) * * * *
Cohen, & Stover (1981) *
劉貞宜(2001)彙整 * * *
註:劉貞宜(2001)彙整 Kilpatrick (1967)、Webb (1975)、Cyert (1980)之解題策略。
第四節 資優生解題特質與相關研究
壹、資優生創造力的特質
Renzulli (1978)提出資賦優異者三種具有條件：中等以上智 能、工作熱忱、及高創造力。在創造力方面，Sternberg (1987，2000) 提出的資優生具創造力的特質：
1. 受內在動機的驅策
具有創造性的人較不依賴外在的增強，雖然沒有別人注意，仍專 注於正在創作的事物。願意讓自己成長及相信自己有能力完成。並且 會適時地出售自己的創意點子。
2. 願意克服障礙
具有創造性的人，較有毅力與克服障礙與困難的意願。在過程中 他會分析自己的想法，並針對問題會重新定義問題，有助於期能順利 克服障礙。
3. 肯冒合理的風險
具有創造性的人，為了表現創造，必須做某種程度的冒險，且能 夠決定與判斷什麼是自己能夠承受的冒險。
4. 容忍模糊
Sternber 同意 Vernon (1970)、Gruber (1986)等人的見解，認 為創造性意念很少以成熟的形式出現，大部分有創意性的人，需要忍 受在發展創造性產品時，所必然面臨的模糊和不完全。之後，再逐漸 將作品精進，讓創意性的產品能更加完美。
5. 願意為爭取被認可而努力
有創造力的人雖然在作品的創造上被依賴內在動機，但他們也期 待別人欣賞、肯定與認可。當他們發現自己喜歡的事物，就會付諸實 踐，以爭取他人的認同。除此之外，具有創造性的人，期望作品被接 受，也會努力創造和改進作品，使自己的作品能夠被再接受。
貳、數學解題特質的相關研究
在資優生數學解題特質的相關研究方面，Krutetskii (1963)在 研究中指出，數學教師認為其有數學潛力學的特徵為(1)超強的記
憶；(2)求知的好奇心；(3)抽象思維的能力；(4)運用知識的能力；
(5)洞察答案的能力。研究中發現好的解題者：(1)從看似不相關的訊 息中區別出相關訊息的能力；(2)能很快而正確的看出問題的數學結 構；(3)能將大範圍類似問題一般化；(4)在經過一段很長的時間後，
仍能記住問題的正式結構。
Krutetskii (1976)在數學天才兒童的個案研究中亦指出：數學 天才在解答數學題時，有下列一些心理特點：(1)具有敏捷的推理和 心理定向；(2)具有邏思維，以及有系統、有順序的思考能力；(3) 具有數學抽象思考的能力，且能迅速面廣泛地組織材料；(4)具有靈 活的思維；(5)能自如地從正面的思維歷程轉換到反面的思維歷程；
(6)解答問題時，其有迅速且簡捷的推理能力，亦具有「壓縮」的傾 向；(7)對數學材料能夠迅速而牢固的記憶；(8)對數學作業很少感到 疲勞。另外，在解題之前，在初步分析階段，能力較佳的學生就迅速 地看出這一題目與那一題目之間類型上的相似處。另外，學生能抓到 題目結構一般性值得基礎上對這些題目作概括（Krutetskii, 1976）。
Vlahovic-Stetic 等（1999）針對 9 到 10 歲的 31 位數學高成就 資優生、31 位數學低成就的資優生及 85 位非數學資優生在數學成就 與動機特質的研究中發現，數學高成就的資優生有高層次的內在數學
傾向、低數學焦慮、低外控成敗歸因。
劉貞宜（2001）針對建中三位數理資優生研究發現，數學資優生 在歷程中遇到卡住或挫折時，大多抱持積極正向的態度及信念，且自 情緒反應方面大多無出現較大的負面情緒，有時反而覺得有趣及有挑 戰性，縱使出現負面情緒，也能很快的將其轉化。
Sriraman (2003)就 Lester (1985)定向、組織、執行、驗證等 四個數學解題歷程來分析，以九位九年級新生（4 位數學資優生，5 位非資優生）為研究對象，發現資優生在解題歷程中所展現的情意特 質（affective chacteristics）包括堅持（perseverance）、自信
（ confidence ）、興奮 （excitement）、好奇（curiosity）、挫敗
（frustration）、尊重溝通（valuing communication）、將數學視為 一種思考的方式（mathematics as a “way of thinking”）。其中 還是有學生缺乏自信心。另外，根據研究者的教學經驗發現，資優生 勇於挑戰困難，不輕易放棄；很有自信；對於很多事是充滿好奇心、
有興趣的。
綜合以上所述，學生在解題歷程中遇到非例行性問題時，其態度 可分為正向或負向的態度及信念。在正向方態度或信念面，如「堅持、
想繼續挑戰、有信心、興奮、情緒起伏低、好奇」；負向態度或信念
方面，如「覺得問題很難立即放棄、疲勞、挫敗、焦慮、沮喪、沒自 信、無聊」。（見表 2-4；表 2-5）
表 2-4 資優生正向情意特質
特質
相關研究 堅持、毅力 自信 情緒
起伏低 好奇、有興趣
Krutetskii (1963) *
Krutetskii (1976) *
Vlahovic-Stetic 等(1999) * *
劉貞宜(2001) * * *
Sriraman (2003) * * * *
表 2-5 正負向情意特質
情意特質
正向 堅持、毅力 自信 情緒起伏低 好奇、有興趣
負向 放棄、疲勞 沒自信 沮喪、挫敗、焦慮 無聊
第三章 研究方法與設計
本章研究方法與設計，一共分為六節。第一節「研究方法」部分，
本研究主要採質性的研究法，分析學生解題的思考歷程；第二節「研 究架構」主要是依據 Schoenfeld (1985)數學解題歷程六大階段為分 析架構，並探究資優生的解題策略及其情意特質；第三節「研究對象」
是針對高雄市九十二學年度資優班新生，採立意取樣選取六名學生為 對象；第四節「研究工具」部分主要依據佈題設計、與研究者本身為 工具之探討；第五節「資料蒐集與分析」，就是將蒐集到的學生解題 思考歷程資料轉為逐字稿來進行資料分析。第六節「研究步驟與流 程」，說明本研究之步驟與流程時間表。
第一節 研究方法
本研究之研究方法採質性研究的方法，以放聲思考（thinking aloud）與紙筆測驗蒐集學生解題歷程的資料，並輔以隨機訪談蒐集 相關資料。將資料依據 Schoenfeld (1985)的「讀題、分析、探討、
計畫、執行、驗證」等數學解題六階段編碼分析以了解學生的解題歷 程，並分析學生解題歷程中所使用的策略與情意特質。在信效度方 面，情境問題的效度採專家效度，另外，採專家評量一致性來增加原 案分析之信度。
質性研究的資料蒐集方面，研究者可仰賴案主（subjects）的放 聲思考活動紀錄及觀察結果來判斷解題歷程（Goldin, 1982, in Lester & Garofalo）。國內也有許多研究（劉貞宜，2001；謝淡宜，
1998，1999）採行這種放聲思考法（thinking aloud），蒐集解題歷 程的內部思考資料。例如，謝淡宜（1998，1999）在國小數學資優生 及普通生「數學解題」歷程之比較的二年期的研究中，以兒童解題策 略、解題行為、所使用的思考方式及答題比率作為探討的重點，採質 性為主，量化為輔的研究方向，實驗進行過程，學童被要求以放聲思 考（thinking aloud）方式來解釋其所有的解題活動及內在思考歷程。
研究工具的信效度方面，研究者可使用不同的方法蒐集不同來源 的資料，將可減低或避免研究者的偏見，而增進質性研究方法的信效 度。另外，研究者亦可將蒐集的資料請數位專家評量，由專家一致的 看法中，可確立問題之所在（黃瑞琴，1994），亦是增加研究的信效 度。此種方法就是所謂的三角檢證（triangulation），三角檢證首先 被社會科學所借用，其目的是要傳達一個重要的理念，就是為了建構 事實(黃光雄等譯，2001)。為了使質的研究更趨嚴謹，研究者以三角 檢證法作為提升研究的信度與效度。
第二節 研究架構
根據相關研究文獻分析與研究目的，本研究主要探討一般智能資 優生在解題歷程、解題策略、及情意特質等三方面為主要架構。在解 題歷程方面，探究國小一般智能資優新生在各階段解題歷程表現情 形。解題歷程依據 Schoenfeld (1985)「讀題、分析、探討、計畫、
執行、驗證」六大階段為主要觀察分析架構。如表 3-1：
表 3-1 Schoenfeld 六大階段及其各階段之任務分析表
階 段 任 務
讀題（R） 閱讀題目，了解題意與問題所在。
分析（A）
1.了解未知數是什麼？已知數（data）是什麼？條件是什麼？注意到問 題的所有條件。
2.畫一個圖，或引入適當的符號重構或簡化問題。如「蝸牛問題」用圖 表示出「題意」。「直式加法問題」以「幾十加幾十」詮釋題意。
探討（E）
1.探討檢視以前是否看過相類似問題問題嗎？或相關經驗。如解「日期 問題」可以聯想到平時看過的「月曆」。
2.有無監控行為？檢視解題每一步驟。如「三月是大月還是小月」；「四 月好像是 30 天我多加了一天」。
3.探索嘗試錯誤，以數字代入抽象符號。
計畫（P） 1.確認目標擬定計畫。
2.根據已知條件，列出算式或解題計畫。
執行（I） 1.執行計畫
2.能清楚地知道每一步驟的執行。
驗證（V） 在解題結束後，檢驗結果。如用不同方法驗證這個結果；重新檢查計算 過程。
在數學策略方面，主要是分析學生在解題歷程中擅用哪些策略輔 助解題，根據文獻整理在數學解題方面的策略包括：抽象表徵、繪圖 表徵、逆推、歸納找尋規律、嘗試錯誤及替代等。
在情意特質方面，透過學生解題歷程中分析學生情意方面所表現 的行為，而情意特質在文獻資料整理其包括遇到問題困境時所展現的
「堅持、自信、受挫力（情緒起伏）」等，對於問題本身的「好奇心、
是否感到興奮」。研究架構請參閱圖 3-1。
非例行性數學解題
解題歷程
解題策略
情意特質
Schoenfeld 讀題 分析 探討 計畫 執行 驗證
繪圖表徵 抽象表徵
逆推 歸納尋找規律性
嘗試錯誤 替代
正向態度：
1.堅持 2.自信
3.有興趣、好奇的 負向態度：
1.放棄、疲勞 2.沒自信
3.挫敗、沮喪、焦慮
圖 3-1 研究架構
第三節 研究對象
本研究以高雄市九十二學年度鑑定合格的某國小三年級資優生 為對象。考量研究之方便性，以研究者任教學校為取樣之樣本對象。
因學生為鑑定合格之一般智能資優生，其成績表現皆在班級前 20%，
團體智力測驗在 1.5 個標準差以上。所以，研究對象挑選以語言表達 能力較佳的學生為主，有利於放聲思考之資料蒐集。研究對象一共挑 選六位學生，其中有小迅、小揚、小涂等三位男生，及小姮、小茹、
小珍等三位女生。
研究對象命名原則是以解題者特徵給予命名。如小迅則是因為其 解題過程迅速，故以迅速的「迅」命名；小揚則是有新的發現或解題 完成時就會「啊哈！」上揚的聲調，故以「揚」命名；小涂（圖）則 是常利用繪圖表徵來進行解題，故以諧音「涂」命名；小姮（恆）相 當有恆心堅持一定要解出來才可離開，故以「姮」諧音命名；小茹（如）
則是在解題過程常有假設性語氣「如果…」，故以諧音「茹」命名；
小珍則是解題失敗或放棄，依然開朗天真地說「沒關係回家問媽媽就 好了！」，所以就以「珍」諧音命名之。
第四節 研究工具
壹、 非例行性數學問題設計
一、 佈題設計
(一) 問題來源與專家效度
問題以非例行問題為主，所謂非例行性問題，就是解題者 未曾練習過的問題，或者是曾經練習過但時間已久而全然忘記 的問題。問題設計主要參考二年級及三年級數學奧林匹克（徐 則洲、陳潔雲、李金生、李濟元，2000a，2000b）、黃敏晃（2000）
規律的尋求，解題相關研究文獻（Schoenfeld, 1985; 謝淡 宜，1998，1999）等。挑選出十題非例行性問題如附錄一，該 十題問題之數學能力區分為：尋求規律、數的概念、邏輯推理 等三類（詳見表 3-2）。
接著，研究者請三位任教於國小低年級五年以上且具碩士 學位之教師，依據「問題篩選標準」及學生語文能力與數學能 力，篩選出適合且非學校內數學教學的例行性問題，也就是非 例行性問題。從三位教師勾選的八題題目中挑選六題得票數較 高的問題（見表 3-3）進行預測。在進行預測之前，研究者先
請六位三年級普通班學生進行數學題目語意的修正，以符合三 年級學生在數學問題題意的理解。題意修正完畢後，研究者請 二位資優生進行預測（pilot study）篩選出四題題目作為本 研究解題佈題的「情境問題」。
表 3-2 專家勾選非例行性問題之數學能力分析表
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 題號
數學 能力
九宮格 數三
角形
月曆 鷄生蛋 直式
加法
運算
符號
兄弟 蝸牛 糖果 挑水
尋求規律 ＊ ＊
邏輯推理 ＊ ＊
數的概念 ＊ ＊ ＊ ＊ ＊
表 3-3 專家選題結果分析表
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
題號
專家
九宮格 數三
角形
月曆 鷄生蛋 直式
加法
運算
符號
兄弟 蝸牛 糖果 挑水
甲 ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊
乙 ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊
丙 ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊
(二) 非例行性問題的篩選標準
謝淡宜（1998，1999）「在國小數學資優生及普通生數學 解題歷程之比較」之問題篩選標準：
1. 題目的解決需具備多重的數學技巧，不是一步即成。
2. 學生無法用他們學過的數學知識立即答出。
3. 題目能激發並測出其天生的數學能力，如反推能力、綜合 各條件能力、演繹能力、以大推小能力、應用能力以符合 研究目的。
4. 題目必須具備適當的困難度及挑戰性來測出四、五年級，
數學資優生及普通生的數學思考能力。
本研究參照謝淡宜（1998，1999）之問題篩選標準，並 考量研究對象為三年級新生，且本研究著重解題歷程與策略 之應用及解題歷程中的特質或態度，特訂定以下篩選非例行 性問題標準：
1. 利用國小一、二年級所學的數學技巧即可解決問題，但不 是利用已學過之數學知識看到題目立即可回答出來。
