解題策略與相關研究

數 學 解 題 策 略 的 相 關 研 究 中 ， Schoenfeld (1985) 在 Mathematical problem solving 一書提到，他在 Berkeley 大學針對 大學生所做的解題相關研究發現，這群大學生常用的解題策略包括：

類 推 （ exploiting analogies ）、 引 入 輔 助 元 素 （ introducing auxiliary element）、輔助問題（working auxiliary problem）、歸 謬法（arguing by contradiction）、由已知來推論（working forward from data）、分解或重組（decomposing and recombining）、執行相 關問題（exploiting related problems）、畫圖（drawing figures）、

類化（generalizing）、使用反論（inventors paradox）、特殊化

（specializing）、簡化（using reduction and absurdum）、間接證 明（indirect proof）、變化問題（varying the problem），逆推

（working backward）。

劉貞宜（2001）綜合 Kilpatrick (1967)的解題策略、Webb (1975) 的特殊解題策略、及 Cyert (1980)解題的啟發策略後，將解題策略 歸納如下：(1)畫圖表徵；(2)以字詞、圖形、或符號等方式來簡化問 題；(3)回憶相關問題；(4)嘗試錯誤；(5)應用特殊化；(6)使用連續 漸進法；(7)從現狀向目標倒退思考；(8)使用演繹法；(9)使用歸納

推理法；(10)運用類化和隱喻法；(11)常常詢問自己問題解決方法的 存在性與唯一性；(12)以不同的方式提出問題，並口述問題；(13) 常自問所提問題的前提是否具有可靠性；(14)以算式檢查解答是合乎 條件；(15)與人談論問題解題方法。

除此之外，劉貞宜（2001）針對建中三位數理資優生研究發現，

數學資優生常利用解題策略來理解、探索方向及突破困難，且解題策 略的使用多元，也常利用解題策略來幫助自己理解、思考、探索、聯 結及推理，讓整個解題變得更順暢及快速。另外，劉貞宜發現能力特 優的數學資優生使用策略明顯多於能力中上及能力稍弱的資優生。另 外，Cohen 和 Stover (1981)發現，資優學生在解題時，會自行將較 難的字彙換掉，將句子的長度縮短，將無關資料刪除及作出輔助圖表。

綜合以上所述，可以瞭解解題策略的應用主要是幫助解題者對於 問題的瞭解，輔助解題的思考，有助於問題的解決。解題策略越能靈 活應用就越能幫助解題的流暢。研究者彙整上述學者（Kilpatrick, 1967; Webb, 1975; Cyert, 1980; Cohen & Stover, 1981; Schoenfeld, 1985）所提及到的解題策略如：繪圖表徵、逆推、引入輔助元素（替 代）、歸納找尋規律及嘗試錯誤等策略(見表 2-3)。說明如下：

一、繪圖表徵

所謂繪圖表徵就是以繪圖的方式來了解題意及輔助解 題。如研究者所蒐集的題目「一個井有 10 公尺深，一個蝸 牛總是在白天爬升 5 公尺，而在夜晚時滑下 4 公尺。如果這 個青蛙從井底爬起，則幾天後牠可爬出井外？」解題者會先 畫出一口井，接著以每一公尺劃上刻度，來呈現題意。之後，

依題意先畫五公尺，在向下畫四公尺，如此將問題解出。

二、逆推

逆推就是「由果推因」，也就是由結論倒推得已知條件 的逆向思考方式，有助於解題。如「正方形加 1 再減 2 等於 9」則我們可以先將 9 加 2 等於 11，再將 11 減 1，求得正方 形為 10。由結論求得已知的方法。

三、引入輔助元素（替代）

引入輔助元素就是將某一元素放入問題中，以便於解 題者解題。如「星星加正方形等於星星」，以上皆為抽象符 號，解題者會引入一元素，如假設星星為五，則五加正方形 等於五，則可以很容易推得正方形為零。

四、歸納找尋規律性

在數學問題有很多是具有規律性的線索，如九宮格，可 以先觀察其數字間的關係，如 9 加 1、8 加 2、7 加 3、6 加 4 等大數加小數的和相等。如計算星期幾，則我們可以覺查到 日曆是以七日為一週的週期性，來輔助解題。

五、嘗試錯誤

數學解題另一種策略，乃是嘗試錯誤。所謂嘗試錯誤就是試 探性的解題方式，從嘗試錯誤的解題過程中再去尋求解題的線索 性。如將 1 至 9 等九個數字填入九宮格內，使橫直斜的和相等，

解題者依題意，由數字「1」開始將數字逐一填入，或開始填入 其他數字。

表 2-3 數學解題策略

策略

學者

繪圖表 逆推 替代 尋求

規律性

嘗試

錯誤

Schoenfeld (1985) * * * *

Cohen, & Stover (1981) *

劉貞宜(2001)彙整 * * *

註:劉貞宜(2001)彙整 Kilpatrick (1967)、Webb (1975)、Cyert (1980)之解題策略。