第四章 可程式類比陣列之應用規劃與佈局
4.2 各式濾波器之實現
4.2.1 一階濾波器之規劃
×
=
n
n n Gmx mbase
mx G d
G , 2 （4.1）
∑
⋅×
=
n
n n Cx base
x C d
C , 2 （4.2）
其中 dGmx,n、dCx,n ∈
{ }
0,1 其中 x 表示各元件的索引值，Gmbase與Cbase則分別為轉導器與電容的單位 基準值，dGmx,n與 dCx,n則是電路內部用來控制開關的數位訊號。所以各元 件對應的等效值便可輕易地以數學式完整表示，另外因為轉導值除以電容 值（Gm/C）可形成頻率參數，因此再定義出另一基準頻率參數如下base mbase
base =G C
ω （4.3）
此ωbase將有助於設計者設定FPAA 的預計工作頻率範圍，並藉此適當地選 擇電路元件基準值的大小。在完成以上的參數定義之後，接著便可以此為 基礎著手建構出較為複雜的電路形式與轉移函數表示式。
4.2.1 一階濾波器之規劃
首先考慮比較簡單的一階濾波器，由式（3.1）中可看出 CAB 本身即 具有直接實現一階函數的能力，因此對於一階以下的濾波器電路僅需使用 到一個 CAB 即可完成，算是 FPAA 應用中基本的使用類型。另外為了將 注意力直接放在實現等效轉移函數的電路設計方法，以下所推導的對象將
圖4.1 一階濾波器電路圖
另外雖然式（4.4）與（4.5）就數學上而言只是單純的變數轉換，但 若從電路的觀點出發卻可以分別解釋出不同意義。首先將式（4.4）與標準 轉移函數表示法對照後得到（Gm1/Gm3）與（Gm3/C1）分別為該濾波器的直 流增益與極點位置，所以當使用者根據所需給定這兩個參數之後，介面程 式便能藉此計算出相對應的 Gm1、Gm3和C1之值，並自行規劃出最有效距 離的開關以控制 FPAA。如此使用者便能在忽略內部詳細電路的情況下，
以系統整體需要滿足的規格為出發點來完成開發工作，所以能夠有效地加 快設計時程，並簡化大型系統設計的複雜度。至於由式（4.5）則可看出兩 點特性：
1. 濾波器直流增益（K1）與轉導器單位基準值（Gmbase）互不影響，
而是由開關控制訊號所構成的二進位數值直接決定。
2. 濾波器極點頻率乃是基準頻率 ωbase的倍數，而此倍數（K2）亦可 由開關控制訊號所構成的二進位數值決定。
因此濾波器的重要規格乍看下雖然好像都與電路內元件絕對值相關，但若 將式子經過化簡後便會發現實際上還是由元件相對值所決定，只不過再經 過數位訊號將其做倍率放大縮小的手續而已，如此可以有效地避免濾波器 效能受到製程漂移的嚴重影響，同時確保可規劃能力存在於電路內。
圖4.2、4.3 為所實現的一階濾波器波德圖模擬結果。首先圖 4.2 中藉
（ 頻 率 Hz）
（增益dB）
-9.5dB（ K1=1/3）
-6dB（ K1=1/2）
0dB（ K1=1）
6dB（K1=2）
9.5dB（ K1=3）
圖4.2 一階濾波器增益圖（改變直流增益）
（ ） 頻率 Hz
（相位 度）
K1=1/3 ,1/2 ,1 , 2 ,3
圖4.3 一階濾波器相位圖（改變直流增益）
由改變式（4.5）直流增益 K1中的數位訊號dGm1,n與dGm3,n來驗證是否具有 可規劃能力，可發現當 K1 依序向上遞增時並不會對極點位置引起連動效 應，所以透過此種調整機制便可在固定頻寬的要求下控制增益大小。另外 需要注意的是從圖4.3 的相位中可以看出在高過 30MHz 左右的頻率下，相 位的表現會受到寄生高頻極點影響而產生相位角偏移，所以在高過此邊界 頻率後濾波器整體表現便會偏離一階函數的趨勢。一般說來電路應盡量避 免使用該高頻區段，假若工作頻段必須涵蓋此區域時，除了以上所述的寄 生效應誤差外，對於訊號路徑中開關本身頻率響應的好壞也需一併考慮，
才足以確保系統穩定度位於可接受範圍內。至於圖4.4、4.5 則是將參數變 化對象改為式（4.5）極點位置的倍數 K2後所得到的增益與相位模擬圖，
亦可同樣得到在不干擾其他條件的前提下能夠單獨調整此變數之結論，所 以一階濾波器便能利用以上所介紹的方法自由地規劃頻率響應圖形。
（ ） 頻率 Hz
（增益dB）
K2=1 K2=2 K2=3 K2=4
圖4.4 一階濾波器增益圖（改變極點位置）
（ ）
+
至於圖 4.8 與 4.9 則分別為比例控制器與積分控制器的模擬增益與相
CAB1 CAB2
+