一、歷史簡介
(一)西方的三角學
埃及文獻「萊因德紙草書」中記錄著埃及人懂得利用粗略的三角學概念來測 量每個金字塔的高度是否一致及是否能保有工程中的傾斜度，但在埃及的文獻 中，並無一處談到角的概念，所以埃及人不足以用具體的公式，描述三角學中角 與邊的關係。三角學一詞最初見於希臘文，由古希臘時代傑出的天文學家西帕霍 斯（Hipparchus，古希臘，約 180BC~125BC）、梅尼勞斯（Menelaus，古希臘，
約一世紀）和托勒密（Claudius Ptolemy，古希臘，約 100~170）等人研創的。最 先使用 trigonometry 這個詞的是德國人皮蒂斯楚斯（Bartholomeo Pitiscus，
1516~1613），他在 1595 年出版的一本著作《三角學：解三角形的簡明處理》中 創造了這個新詞。三角學由 triangulum（三角形）和 metricus（測量）兩字湊合 而成，因此解三角形問題便構成了古代三角學的實用基礎，而促使三角學產生的 主要動力來自於人們想測量和推算天體的位置和運行的軌道，藉以用來幫助報 時、計算日曆、發展航海、研究地理等，因此在相當長的一段時間裡，三角學隸 屬於天文學。
雖然後期的阿拉伯數學家已經開始對三角學進行專門的整埋和研究，但並沒 有創立起一門獨立的三角學。真正把三角學作為數學的一個獨立學科加以系統敘 述 的 ， 是 筆 名 為 約 翰 ． 謬 勒 的 德 國 數 學 家 雷 基 奧 蒙 坦 納 斯 （Johannes Regiomontanus，1436~1476）。他在 1464 年發表了《論各種三角形》的書中，
把以往散見在各種書上的三角學知識，系統地綜合了起來，給出了作為數學的一 個分支的三角學的基本面貌。
直到十八世紀，三角學是以幾何的面貌表現出來的，這也可以說是三角學的 古典面貌。即所有的三角量：正弦、餘弦、正切、餘切、正割和餘割，都始終被 認為是已知圓內與同一條弧有關的某些線段。三角學的現代特徵，起源於尤拉
（Euler）在 1748 年所發表著名的《無窮小分析引論》一書中，把三角量看作為 函數，即看作為是一種與角相對應的函數值，書中指出：“三角函數是一種函數 與圓半徑的比值”，若令半徑為單位長，那麼所有的六個三角函數又可大為簡化。
正如尤拉所說，引進三角函數以後，原來意義下的正弦等三角量，都可以脫離幾 何圖形去進行自由的運算。一切三角關係式也將很容易地從三角函數的定義出發 直接得出。這樣，就使得從希帕克起許多數學家為之奮鬥而得出的三角關係式，
有了堅實的理論依據，而且大大地豐富了。嚴格地說，這時才是三角學的真正確 立。
(二)中國的三角學
我國古代沒有有關角的函數概念出現，只用勾股解決了一些有關三角的問 題，據《周髀算經》記載，約與泰勒斯（Tales）同時代的陳子已利用勾股定理 測量太陽的高度，其方法後來稱為「重差術」。而三角學輸入中國，開始於明崇 禎4 年（1631），由傳教士鄧玉函、湯若望及中國的徐光啟合編《大測》作為歷 書的一部分呈獻給朝廷，但大測的名稱並不通行，根據徐光啟所編的三角函數表 叫做《測圓八線表六卷》、《測圓八線表立成表四卷》。後來三角學就叫做八線，
不過早在徐光啟時代，薛鳳祚（1600~1680）和波蘭傳教士穆尼閣（1611~1656）
在1653 年合著的《三角算法》就已用三角的名稱。以後許多書都沿用這一術語，
但一直到 1935 年，中國數學會名詞審查委員會將 trigonometry 定為三角學（或 三角法、三角術）。
二、高中課程在三角函數方面有關的歷史
(一)量角制度
１． 角：根據歐幾里得幾何原本的定義8，一個平面角就是平面上兩條相 交但不重疊的直線，彼此間的傾斜度；角的概念其實是模祾兩可的，一方面代表 兩相交的直線「分隔」的性質，另一方面也以數值代表其分隔的程度，即角的度 量。
２． 60 進制：我們用來量度角的單位為「度」據傳始於巴比倫是 1854 年 欣克斯（Edward Hincks，1792~1866）研究泥板上的楔形文字發現的，巴比倫的 60 進制後來為希臘天文學家托勒密所接受，他將圓周 360 等份，每一份又分成 60 小份，每一小份再分為更小的份，照此類推。。托勒密之後的 1400 百年，德 國天文學家萊因霍爾得（Erasmus Reinhold，1511~1553）在 1551 年開始用「°」、
「'」、「"」表示「度」、「分」、「秒」。
３． 弧度制：在1748 年，尤拉在他的名著《無窮小分析引論》（lntroduction in analysin infinitorum）中主張用半徑為單位（設半徑為 1）來量弧長，這就是現 在的弧度制。自此便將弧長和線段長的單位統一起來，這就是弧度制的關鍵所 在。而“弧度”（radian）一詞，是愛爾蘭工程師湯姆森（James Thomson，1822~1892）
在 1875 年首先創用的，由 radius（半徑）與 angle（角）兩字合成。在 1935 年 的《數學名詞》中，radian 曾譯為弳（弧與徑兩字合成，讀 jing）。
沒有人知道為什麼角的度量要採逆時針。這或許因為在我們所熟悉的座標系 統中，從正x軸逆時針轉90°，可以轉到正的y 軸；但如果順時針旋轉，則將正x 軸轉到負的y 軸。當然，這個選擇完全是任意的：如果當初我們最初以向左為正 的x軸方向，或以向下為正y 軸的方向，那麼情況自然就恰恰相反。（Eli Maor，
2000）
(二)三角函數的名稱、符號
盡管三角知識起源很早，但用線段的比來定義三角函數，是尤拉在《無窮小 分析引論》一書中首次給出。三角函數常用的有 4 個或 6 個，而歷史上曾出現 10 個以上。下面用三角圓(第一象限)內的線段來表示。
(1)正弦(sine)： sinα =MP (2)餘弦(cosin)： cosα =PN (3)正切(tangent)： tanα =AT (4)餘切(cotangent)： cotα =BS (5)正割(secant)： secα =OT
(6)餘割(cosecant)： csecα =OS
除了這六個函數外，還有「正矢」、「餘矢」、「外割」、「半正矢」、「古 德曼函數」、「反古德曼函數」等等十二個稱呼。這些函數的歷史長短不一，有 的可以追溯到公元前，有的近幾十年才出現。在1631 年的《大測》中前八種函 數已經齊備，分別叫做正弦（或弦）、餘弦、切線、餘切線、割線、餘割線、矢
（或倒矢）、餘矢。後來“八線”一度成為三角學的別名。特將現今常用的六個函 數介紹如下：
１． 正弦函數：正弦是最重要也是最古老的一種三角函數，古希臘天文學 家西帕霍斯（Hipparchus，約公元前 180~前 125）為了天文觀測的需要，做了一 個“弦表”，相當於現在
d=2 sin
r α2 ( r 表示圓半徑，α 表示圓心角，d表示α 所對的弦長)
Ｏ
r
d
這就是正弦表的前身，托勒密在《天文學大成》(Almagest)中給0 −90 每隔 半度的弦表，其作用相當於從0 −90 每隔1
4 的正弦函數表。這是世界最早的三 角函數表。他還利用“托勒密定理”（實出自希帕霍斯之手）推出若干三角恆等式，
包括相當於正、餘弦的和差公式。到了公元約400 年的印度天文書籍《蘇利耶曆 數書》（Surya Siddhanta）中，出現了一個根據托勒密弦長表而來的半弦表。
但是最早清楚寫出正弦函數的著作，則是，阿耶波多（Aryabhata，476~550）。
他計算半弦（相當於現在的正弦線，而不是希臘人的全弦），他用 jya-ardha 稱 半弦，簡寫為jiva，獵人弓弦的意思。後來印度的書籍經轉譯成，在轉譯成拉丁 文，展轉譯成 sinus，英文為 sine，意思是胸部、海灣或曲線（月球地圖上看似 海灣的地區現在仍稱為sinus）。而在 1631 年，鄧玉函、徐光啟的《大測》將 sinus 譯為“正半弦”或“前半弦”，簡稱“正弦”，這是我國“正弦”術語的由來。
至於簡寫成sin的符號，最早是由英國的天文教授岡特（Edmund Gunter，
1581~1626）所採用。他製作刻有對數尺度的尺「岡特尺」。1624 年，sin 及 tan 兩個符號，就是在「岡特尺」的圖示說明中首次出現。幾年以後，英國的奧特雷 德（William Oughtred）在《比例圓與水平儀器》（The Circles of Proportion and the Horizontal Instument，1632）中使用了 sin 這一縮寫，同時又簡寫成 S。同時，法 國的埃里岡（Pierre Herigoae）在《數學教程》（Cursus Mathematicus，1634）中 引入了一整套數學符號，其中包括sin。雖然後來又種符號來表示正弦，到了 18 世紀中葉以後，漸漸趨於統一用sin。
２． 餘弦函數：餘弦函數的重要性不亞於正弦函數，阿利耶巴陀稱餘弦為 kotijya，這是為了要計算餘角的正弦值而來的。這函數發展得較慢，名稱也很不 統一。普拉托（Plate，約 1120）稱之為“剩餘的弦”（chorda residui），雷基奧蒙 坦納斯（Johannes Regiomontanus，1436~1476，歐洲 15 世紀最重要的三角學者 之一）稱為“餘角的正弦”（sinus rectus Complementi，約 1463）。而 cosinus（餘 弦）這個名稱是岡特首先使用的，當初他寫為co. sinus，後來由約翰．牛頓（John
Newton，1622-1678） 在 1658 年改為 cosinus，這名稱才確定下來。1674 年由英 國數學家兼測量師摩爾爵士（Jonas Moore，1617~1679）率先使用，他創用 Cos﹒
表示餘弦，到18 世紀變成現在的 cos。
３． 正切與餘切函數：這兩個函數由日圭及投影的想法，也就是日影的測 量而引起，但是把這兩種比率視為角的函數，則是由阿拉伯人開始的。古人立竿 測日影以定時間，後來發展成為日晷（如下圖）。在中國有周公測景的記載（約 公元前 1100 年），古希臘泰勒斯（Thales）利用日影確定金字塔的高度（約公 元前 600 年）。第一個呈現正切和餘切表是由梅法茲（al-Mervazi）在公元 860 年左右製作出的，而天文學家巴坦尼（al-Battani），為了研究日晷，製作了每隔 1° 的「投影表」，也就是餘切函數表(920 年左右)，假設h為桿長，投影長度為s， 得出
s= sin(90 ) h sin θ
θ
× ° − 的關係式(其實就是s=h×cotθ )，
式中只用了正弦函數，這是因為其他的三角函數還 沒有名稱。
現代的名稱 tangent（正切），在 1983 年由丹麥數學家芬因克（Thomas Fincke,1561~1646）提出，至於 cotangent（餘切）這個字最早是在 1620 年由岡 特使用。正切（tangent）這個字來自拉丁文 tangege，是「碰觸」的意思，而這 個字之所以和正切函數產生關聯或許是因為以下的觀察：
現今在單位圓上定義三角函數的方法，就是利用此作圖法。
O
Q(1,tanθ
T(1,0)
h α s
４． 正割和餘割函數：正割、餘割函數出現的更晚，雖然正割、餘割約在 860 年由海拜什哈西卜首先提出，到艾布瓦法（約 980）正式使用，不過未給特 別名稱。這兩種函數沒有引起當時人們的注意，直到1551 年雷蒂克斯（Georg J.
Rhaticus，1514~1576）才在《三角學說準則》（Canon doctrinae triangulorum）中 完全收入正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割這6 種函數並附正割表。sec 符 號 則 是 出 生 於 法 國 而 在 荷 蘭 度 過 大 半 生 的 數 學 家 吉 拉 德 （Albert Girard ， 1595~1632）所使用，而餘割至今未有統一的符號，有 csc，cosec 等寫法。
(三)三角學的公式的發展
由早期的三角公式的發展歷史得知，托勒密、希帕霍斯等人士基於天文學計
由早期的三角公式的發展歷史得知，托勒密、希帕霍斯等人士基於天文學計