一、正弦與餘弦定理
既然我們要探討三角函數的一些性質，那就脫離不開三角形，同學都知道任 一個三角形皆由三個邊和三個角所構成，到底邊和角之間有什麼關聯性呢？本單 元所要介紹的正弦定理與餘弦定理，和國中所學過的「畢氏定理」及「三角形的 邊角關係」有著密切的連結性，並可處理其他的三角形問題，更可以應用在日常 的測量問題上。
1.正弦定理
如圖所示，我們想開鑿連接山丘兩端城市A, 之間的隧道，並測得此隧道的B 直線距離AB，若我們從 A 城市走了 10 公里到觀測
站C處，而且已測知∠BAC=75°,∠ACB=60°，由 這些數據，我們是否能計算出此隧道的長度呢?
我們先從國中所熟悉的三角形面積及所學過的三角函數，看看之間是否有何 關聯性？在計算三角形面積時，同學最常使用的公式為
三角形面積 1
= × (底×高) 2
將這個公式搭配之前學過的三角函數，會有不同的計算方法。在ΔABC中，若AB 邊上的高為CD，如下圖所示，我們根據∠ 為銳角、直角與鈍角三種情形來討A
60°
75°
C
A B
10 km
論:
2
回到前面開鑿隧道的問題，我們將圖形畫出如右圖
解: ∠B=180°−∠A−∠B=60° 由正弦定理知
= °
° sin45 10 60
sin
AB ⇒
2 2 10 2
3 = AB
即得 AB=5 6
又由 10 2
2 2 10 45
2 sin = =
= AC°
R ，
得ΔABC的外接圓半徑R=5 2 隨堂練習
ΔABC之外接圓半徑為 10，若BC=10，求∠ 的度數。 A
例3.在ΔABC中，∠A=75°, ∠B=45°, AC =10，求AB 的長度與ΔABC的 外接圓半徑。
隨堂練習
在ΔABC中，AB=2, AC=2 2, ∠C =60°，求∠ 的角度與B ΔABC的外接 圓半徑。
2.餘弦定理
如果我們想開鑿連接山丘兩端的城市A, 之間的隧道，並測得此隧道的直線B 距離AB ，我們可找一觀測點C，使得此觀測點連接兩城市所成的角度為90°，
且量出觀測點C到兩城市A, 的距離B AC與BC，再利用畢氏定理就可求得此隧 道的長度了。但事實上並非那樣的完美，若觀測點連接兩城市所成的角度為120°
或其他非特殊角度θ時，我們是否亦能算出隧道的長度呢？我們現在來探討這個 問題。
(1)如圖所示，由觀測點C測得AC為2 6 公里，
BC為5公里，∠ACB= °90 ，求連接山丘兩端
的城市之間的隧道AB 的長。
解： 由畢氏定理知
AB= (2 6)2 +(5)2 = 49 =7 所以隧道長為7公里。
(2)如圖所示，由觀測點C測得AC為3公里，
BC為5公里，∠ACB=120°，求連接山丘
兩端的城市之間的隧道AB 的長。
解： 過 A 點作BC的垂直線，交BC的延長 線於D 點，則∠ACD=60°。
2 3 3 2 3 3 60
sin °= × = AD= AC
C
A B
120°
C
A B
A B
C
120°
D
邊邊長及其夾角，是否可求得第三邊呢？底下所介紹的餘弦定理將可解決這些問
用同樣的方法可以證得 b2 =c2+a2−2 cosca B 及 c2 =a2+b2−2abcosC
2
2. 如右圖，圓的半徑為r ，若∠AOB= , θ1 ∠BOC= , θ2 ∠COD= ，則 θ3
B、程序試題
6. 如圖，ABCD是邊長為2 的正方形，ΔBCE為一正三角形，求AE 的長。
7. 在ΔABC中，已知AB=8, ∠ =A 120°，且ΔABC之面積為12 3，求AC長。
8. 在ΔABC中，∠A=30°, BC =6公分，求ΔABC的外接圓半徑。
9. 在ΔABC中，BC=a,CA=b,AB=c，已知∠C =120°且a2 +b2 −c2 =−8，求 ΔABC的面積。
C、解題能力試題
10. 如下圖，三角形ABC之三邊長為AB=5, BC=6, CA=7，若四邊形ABDE , ACFG皆為正方形，求EG。
11. 有大小兩圓相交於 A , B 兩點，如右圖，過 B 有一線段CD交大圓於C，交小 圓於D ，且∠ACD=45°, ∠ADC=60°，求大圓與
小圓之面積比。
A
B C
E D
A
C 45° B 60°D
1 2 A
B P
S T
Q
A C B D
P
12. 如下圖，已知∠PAQ=60°，AB 平分 PAQ∠ ，並以P , Q 為圓心，並分別以 1 及 2 為半徑畫兩半圓，若兩半圓皆與AB 相切，且切點分別為S, T ，
(1)求 AP 的長 (2)求 PQ 的長
13. 兩張大小相同的紙，各折出 7 個大小相同的矩形，且其寬度為 1 公分(BC=1 公分)，放置如右圖，使頂點 A 重合，P 與另一張紙之折線重疊(點 P 落在CD 上)，則 (1)求cos∠PAC (2)求 BP 。
答案
1.(3) 2.(3) 3.(2)(4) 4.(2)(4) 5.(1)(3) 6. 13 7. 6 8. 6 9. 12 10. 4 7 11.
2
3 12.(1) 2 (2) 2 3 13.(1)5
7 (2) 5
二、複數的極式
)
解: (1)r = z = x2 + y2 = (−4)2 +(3)2 =5 (2)
5 cos = = −4
r θ x
(3)
5 sin = = 3
r θ y
(4)z=−4+3i在複數平面對應的點為P(−4,3) 故得θ 在第二象限
隨堂練習
將下列各複數化為極式？
i z = 3− )
1
( 1 (2)z2 = 1− +i (3)z3 = 1 (4)z4 =3i
隨堂練習 若 15 8
17 17
z= + i，且由查表知 15 cos 28
° =17 , 8 sin 28
° =17，則下列何者為z 的極 式之表示式？
(1)z=cos 28° +isin 28° (2)z=cosθ +isinθ，其中 15 8 cos ,sin
17 17 θ = θ = 例2.設複數z=−4+3i的極式為r(cosθ +isinθ)，若0≤ <θ 2π ，求 (1)r (2)cosθ (3)sinθ (4)θ在第幾象限。
2.複數的乘除
( ) ( )
這表示z1⋅z2的絕對值等於z1與z2絕對值的乘積，而其輻角為z1與z2輻角的
(2) 設r1 = z1 = (−1)2 +( 3)2 =2，
3.棣美弗定理
因此，棣美弗定理不但對於任何正整數次方都成立，對於負整數次方也都成
實軸 虛軸
O
(1) (2)
實軸 虛軸
O 實軸
虛軸
O
(3)
(4)
實軸 虛軸
O
(5)
實軸 虛軸
O
實軸 虛軸
O
習題
A、概念試題
1. 在複數平面上，將複數cos1+isin1對應的點，以順時針旋轉 2 弧度，則所對應的複數為下列何者？
(1)cos3+isin3 (2)−cos1−isin1 (3)cos1−isin1 (4)cos3−isin3 (4)−cos1+isin1。
2. 在複數平面上，若z=cosθ +isinθ ,
6 3
π ≤ ≤ ，且 θ π
z 點在複數平面上所畫出的圖形如右圖所示，則z 3 所畫出的圖形為下列哪個圖形(哪段弧)？
P( z )
(3)z2 =( )z2 8 (4)z4 =z2(cos120° +isin120 )°
(5)z4 =z1(cos 60° +isin 60 )° 3
10. 設方程式x6 =1的六個根為1, 1− ,ω ,1 ω ,2 ω3,ω 。設4 ω ,1 ω ,2 ω3,ω 的主輻角依 4 序為θ1,θ2,θ3,θ4，且θ1<θ2 <θ3 <θ4，求(ω2 +ω3)−(ω1+ω4)之值？
11. 已知 O 為原點，Z ,1 Z ,2 Z 是複數，若3 Z1 =1,Z2 =2 (cos 75Z1 ° +isin 75 )° ,
3 4 (cos( 45 )1 sin( 45 )) Z = Z − ° +i − °
(1)若Z 的主幅角為1 30°，則Z 的主輻角為多少度? 3 (2)求O,Z ,2 Z 在複數平面上所圍成的三角形面積的值? 3
答案
1.(3) 2.(3) 3.(1)(3)(5) 4.(3)(4)(5) 5.2 6.4 3
π 7. 1− 8.(1)
9.(1)(2)(3)(4)(5) 10. 2− 11.(1)345° (2) 2 3
參考資料
一、中文部分
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附錄
附錄一、銳角的三角函數
單元:銳角的三角函數 班級：____ 座號：____ 姓名：________________
一、單選題: 16%(每題 8 分，答錯不倒扣)
( )1.如圖所示，埃及金字塔是底為正方形，四個側面為全等等腰三角形的四 角錐，書中定義：
金字塔的「塞克特」=金字塔正方形之邊長的一半
金字塔的高度 (即FG AF )。
若古夫金字塔的每個側面與底面的夾角約為53°(即∠AGF)，則古夫金字 塔的「塞克特」為
(1)sin 37° (2)cos 37° (3)tan37°
(4)cot37° (5)sec37°。
( )2.天文學家巴塔尼曾經研究過日晷問題，如圖所示，若竹竿長h，在太陽 光下的投影長為s，太陽光與地面的夾角為θ ，則下列哪一個選項可以 表示三者的關係？
(1)s=hsinθ (2)s=hcotθ (3)s h= tanθ (4)s h= cscθ (5)s h= secθ 。
二、多選題: 24% (每題 8 分，錯 1 個選項給 4 分，錯 2 個選項以上得 0 分) ( )3.下列哪個選項與tan 20°一樣？
(1)cot 20° (2) 1
cot 20° (3)cot 70°
(4) 1
cot 70° (5)sin 20 cos 20
°
°。
A
B
C D
E
F G
s
h θ
6 7
11 12
C B
D A E
D. 如右圖，ΔABC中，AD ⊥BC，已知AB=25,
5 sinB= 3,
17
sinC=15，則BC＝ 。
E. 如右圖，在ΔABC中，已知∠BAC=90°，AC =15、
=17
BC ，且
5
sin∠CAE= 3，求DE 。 =
F. 如右圖，在ΔABC中，AC⊥BC，CD⊥ AB，已知
=1
AD ，BD=3，求tanA= 。
四、計算題: 12%
如下圖，ABCD是面積為9 正方形，在各邊上取一點EFGH 也形成一正方形，
且EFGH 的面積為的5。已知BE> AE， (1)試求 AE = 。(6 分)
(2)試求tan( BFE∠ )之值= 。(6 分)
A
F E
B
G C H D 13 14
15
17
18
A B
C
D 16
附錄二、廣義角的三角函數
( )5. 若θ 為廣義角，則下列敘述何者正確 ?
θ
A E
D C
B ( )11. 設cosθ =0,
2 ) 1
cos(θ+α = ，且0° ≤ <θ 360°,0° ≤ <α 360°，則α 的 可能角度為下列何者 ?
(1)30° (2)60° (3)90° (4)150° (5)210° 。
三、選填題: 16% (每題 8 分，每題全對才給分) A. 若(x,−4)為角θ 終邊上的一點，且
5
cosθ =−4，則x= 。
B. 如右圖，已知ABCD為矩形，E 為 AB 之中點，∠BED=θ，若AB=6,DE=5， 求tanθ = 。
四、計算題: 16%
如下圖，小思、小維兩人分別A 點、B 點出發( A 點在0°位置，B 點在90°位置)，
依逆時針方向跑圓形操場，若小思與小維的速度比是 5:2(即在同時間內，若小 思跑了5°，則小維跑了2 )，試求 °
依逆時針方向跑圓形操場，若小思與小維的速度比是 5:2(即在同時間內，若小 思跑了5°，則小維跑了2 )，試求 °