總結與建議 - 高中數學三角函數程序試題的研究

一、總結

由施測的結果可知，除了對數學學習毫無興趣的學生外，一般學生對本論文施測之程序性題目，答對率大多在0.2 至 0.8 之間，故所開發出的程序試題中大多數的題目屬於中偏易的題型，符合鑑別度在中上之水準，雖少數題目答對率高於0.8，甚至有些試題的答對率高達 0.9 以上且鑑別度低，這表示學生對於某一程序性試題皆可應付。由試題分析的訊息透露出，學生對於程序性知識的學習，

感覺較容易且有成就感，而我們對於程序試題的設計，也符合課程綱要所設定的學生學習目標。

在“銳角的三角函數”單元，由學生所書寫的計算過程或口頭訪談中，發現學生所用的程序性知識仍為國中階段的相似形對應邊成比例的程序，或許是學生剛接觸到一個陌生的三角函數，對於銳角三角函數邊角關係的程序性知識操作較不熟練，故他們常使用自己較熟悉的解題程序。在這個單元中，新的程序性知識的運用，對於某些同學而言是個生手，在處理所設定情境中解題的技巧，選擇了深根於記憶中的基模操作，而這些題目在國中階段應屬於解題能力的試題。這個事實告訴我們，隨著學習者所接觸到知識的累積，不同的程序操作，經過理解、熟練、整合，最後內化成另一個新的程序性知識，而程序性知識的反覆練習，可深根在記憶中，成為解題中的一個基模。

而在“廣義角的三角函數”單元，學生已能自由運用三角函數，這個演變過程，是學生經過程序性知識不斷練習，由淺層理解轉換成深層理解後，內化成為數學的一個基模，由試題的描述及解讀，已能跳脫相似形對應邊成比例的程序，

進而使用三角函數的操作程序。不同的是，除了銳角外，學生還要習得更多廣義角三角函數的正負值關係，並從中歸納出自以的一套正確的解題思路，才足以應付各類相關試題，符合我們所設定的教學目標。透過程序性知識的操作，學生在不斷的演練下，由一個新手變成老手，對於數學解題中的算則能瞭若指掌，便足以應付我們所設定的試題了。

由於整卷測驗的前四個單元為95 暫行綱要的第二冊第二章“三角函數的基本性質”，後四個單元為第三章“三角函數的性質與應用”，測驗結果分析，以論文所研究的程序題而言，後四個單元的答對率明顯比前四個單元為低。這個事實顯示，在後四個單元中的程序性知識對學生的學習而言，是感覺較困難的，原因如下：（一）公式太多，看完一道題目的敘述後，不知選擇哪個正確的程序操作；

（二）正餘弦的疊合與複數的極式程序性操作很類似，常會將兩者混淆；（三）

複數的極式中有些程序性知識操作過於複雜；（四）短時間內所學的知識內容過多，無法吸收整理。綜合上述之因素，教師在施行評量測驗時，建議將這些因素列入考量，開發出符合教學目標且適合當時學習情境的題目，以便了解及掌握學生的學習狀況。在論文中提供了歷史中三角函數定理的證明或一些今日所謂的

「無字證明」供參考，充分利用這些圖象來輔助公式的記憶，會讓學生有更具體的感受，相信幫助會很大的。他山之石可以攻錯，期望上述提供的淺見，會對教學同好或多或少有所助益。

在此八份由小組成員所開發並整卷的評量試卷中不難發現，學生對於程序性知識的學習成就較高，或許其對概念性知識並非理解透徹，對於解題能力也常有挫折感，但對公式不斷的演練及熟悉，仍可以獲得程序性知識，因此在評量中可獲得此方面的成就感，這好比學生能從某些公式操作的評量獲得高分，他對這方面的學習會特別有興趣。教師可趁此機會，順勢導入概念性知識及解題能力的教學，使學生充分獲得這三個層面的知識。

二、建議

傳統的班級教學中，教師在完成階段性的教學後會利用成就評量來驗收學生的學習成效，學生為了回應教師的期待，得到較高的分數，對三角函數可能流於對定義、定理做機械性的記憶操作及計算，難以建構完整的程序性知識，更無法發展出三角函數的概念性知識(施盈蘭，1995)。如何改善上述之問題，教師在三角函數的教學中扮演極重要的角色。根據不同單元子題類別的特性，在三角函數的教學中應採取不同的教學策略，就程序性知識而言，以下分為三階段說明：

第一階段是結合概念性知識發展出程序性知識。因為程序性知識學習的前身是概念性知識，教師於概念講解完畢之後，可設計與此概念相關的程序題，藉此可讓學生學習程序性知識並反思檢驗自身所理解的概念是否正確無誤，透過理解並能將觀念與計算結合，增強學生的演算能力，建立計算程序規則，使得數學運算或計算並不只是機械式的操作而已，而是能促成新舊觀念的連結與落實，這就是有意義的學習。例如教師講解完餘弦定理後，結合餘弦定理的程序題可為：

在ΔABC中，已知AB=8，AC=3，∠ =A 60°，求BC的長度。 (龍騰版) 解析：利用餘弦定理BC² = AB² +AC²−2AB AC⋅ ⋅cosA

得BC² =8² + − ⋅ ⋅3² 2 8 3cos 60° =64 9 24 49+ − =

即 BC=7

學生需要模仿一些含有一定技巧、公式的例題，進行適量的訓練，在頭腦中內化成解決問題相對應的基模，如此才能熟悉於探究過程中所需要的知識與技能，以提高學生的學習效率。所以此一階段的題目設計應與原先學習情境相似的問題情境進行練習，練習題之間要保持一定的同一性。

第二階段為熟練規則之後的變式練習。當概念性知識轉化為程序性知識後，

此時相對應的規則或步驟序列會開始支配學生解題的行為，規則或步驟會轉化成解題的技能。隨著知識的漸趨穩定，問題類型要有變化，可逐漸演變為與原先的學習情境不同的新情境，以促進學生習得的概念、規則、公式橫向遷移。教師要從變式練習題中讓學生得到反饋，學生才能對學習有促進作用，可以幫助學生即時發現、導正錯誤，調整教材、教法與學習進度，使學生找到合適的解題策略，

激發學生更進一步學習的欲望。例如：

在ΔABC中，∠BCA=120°且a=2b，求a b c: : 。 (翰林版) 解析：由於弦定理 c² =a²+b²−2abcosC

以a=2b，∠ =C 120°代入得出 c² =(2 )b ²+b²−2(2 ) cos120b ° c² =7b²⇒c= 7b

所以 : :a b c=2 : : 7b b b=2 :1: 7

第三階段為程序技能的自動化，在自動化階段中，整個程序本身得到進一步的精緻與協調，使解題既能逐步達到自動化。(喻平，2002) 當我們要求學生解決第一次遇到的新問題時，學生必須回憶並使用過去業已獲得的有關規則，才能著手解決問題，而問題一旦解決，學生將獲得某一高級規則；而高級規則特指同時運用幾條規則來處理問題。程序性知識教學的最終目標是：幫助學生將依些小程序合併成一個大程序，使學生可以對程序無需多做考慮，就能夠解決情境問題。

例如：

△ABC中﹐已知^b²^{− +}

(

^{c a}

)

²^{= −}^ca^﹐求^∠B= 。

解析：^b²^{− +}

(

^{c a}

)

² ^{= −}^ca(乘法公式的程序性知識)

^b²⁻

(

^c²⁺²^{ca a}⁺ ²

)

^{= −}^ca ^⇒^b²⁻^a²⁻^c²⁼^ca(化簡的程序性知識)

cos ² ² ² ¹

2 2 2

c a b ca

B ca ca

+ −

= = − = − ⇒ ∠ =B 120° (餘弦定理的程序性知識)

教師在教學歷程中，從教學前分析學生特質、教材的概念性質，教學發展中隨時監控學習者與教材、同儕互動反驗，學生的反思與回饋，以及教學後的評量結果。藉由上述三個階段的教學設計，發展學生的智能，使其透過學習、統整、

內化之後，展現數學解題的運算技能。

由文獻探討的內容，參考坊間七家出版社所編輯之教科書，對三角函數而言，許多例題都屬於程序性知識的教材，當學生為初學某一數學概念或公式的生手時，亟需程序性的操作，來對某概念或公式做深層的理解及建立新的基模，使之成為老手，以便應付情境設計的解題，也就是說，程序性知識是概念性知識獲得的幫手，而且是建構解題能力不可或缺的元素。不論是老師的教學過程、評量測驗卷上的題目及學生的學習，其實都跳脫不開程序性知識的訓練。透過程序性知識的建立過程，可以增強學生概念性知識的學習，並矯正一些迷思概念。而由程序性知識的熟練，連結相關的程序，又可以幫助我們解題。所以在老師的教學過程及同學的學習經歷中，程序性知識的確佔有重要的分量，不可小歔。

老師評量的目的是在檢驗學生對某種知識的了解與否，一份好的試卷，是由良好品質的試題所組成，試題內容應包含概念性、程序性及解題這三種題型，如此老師較能檢驗出學生學習上所碰到的困難，所出現錯誤的概念迷思，所選擇的程序是否正確，而學生藉由施測解題的過程中，亦可檢驗自己的學習狀況，作為調整學習的依據，增加學習的興趣及成就感。因此對於題目的設計，建議多數以中偏易為主，且以引導學生學習為導向，再穿插一些中偏難及較難的試題，以便加深加廣，其目的在提升學生對數學的學習興趣，期望學生能獲得完整的數學能力。雖然本論文僅以三角函數作為研究的題目，其理論基礎及施測後的數據，可供老師教學或設計評量時的參考，將其應用再各單元上亦可。惟評量時程序試題知識無法或不適合單獨成卷，需配合概念試題及解題能力試題，這三種題型相輔

相成，才能成為一份完整的評量的試卷，至於概念試題及解題能力試題兩種題型，請參考高嘉徽老師及方璞政老師的論文。

教師根據以往的經驗自編評量測驗試卷應該是駕輕就熟的事，而且評量目的

在文檔中高中數學三角函數程序試題的研究 (頁 86-92)